2016年高考浙江卷压轴题的分析与解

Math173|Thejourneyofmathematics2016年全国⾼考数学压轴题的分析与解兰琦2016年6⽉9⽇⺫录12016年浙江卷理科数学222016年浙江卷⽂科数学9112016年浙江卷理科数学2试卷点评今年的浙江卷似乎迷上了“绝对值”，选择最后⼀题，填空最后⼀题，函数⼤题，数列压轴题都和绝对值相关，并且需要对绝对值不等式的要求很⾼．但由于平时的模拟考试对绝对值不等式的要求相对较低，同学们掌握的也不是⾮常精纯，因此难免会有题⽬难爆了的感觉．事实上，选择最后⼀题主要考查的是对变量的感觉以及估算能⼒，对解题不够灵活的同学打击不⼩，但称得上是精彩好题．函数⼤题主要考查分类讨论能⼒，将含参⼆次函数，绝对值和分段函数有机的结合起来，题⽬不难，需要沉⼼静⽓的展开讨论．压轴题又是考查对数列的界的估计，颇有竞赛数学的感觉，对有竞赛基础的同学⾮常有利．总的来说，今年的浙江卷较之其他各卷可谓是逆流⽽上，难度不降反升，但命题⽔平仍然保持在很⾼的⽔准．12016年浙江卷理科数学试卷点评题(理8).已知实数a;b;c．A.若ja2+b+cj+ja+b2+cj⩽1，则a2+b2+c2100B.若ja2+b+cj+ja2+bcj⩽1，则a2+b2+c2100C.若ja+b+c2j+ja+bc2j⩽1，则a2+b2+c2100D.若ja2+b+cj+ja+b2cj⩽1，则a2+b2+c2100解从分析变量a;b;c的界⼊⼿．选项A，取a=b，c=(a2+a)，则ja2+b+cj+ja+b2+cj=0⩽1;⽽此时由于a可以任取，因此c⽆界，显然⽆法得到a2+b2+c2100，如取a=10即可推出⽭盾；选项B，取c=0，b=a2，则ja2+b+cj+ja2+bcj=0⩽1;⽽此时b⽆界，如取a2=10即可推出⽭盾；选项C，与选项B类似，取c=0，b=a，则ja+b+c2j+ja+bc2j=0⩽1;⽽此时b⽆界，如取a=10即可推出⽭盾；⾄此可得正确的答案是D．下⾯证明选项D的正确性．⾸先根据绝对值不等式，有1⩾ja2+b+cj+ja+b2cj⩾ja2+a+b2+bj;12016年浙江卷理科数学3⽽a2+a;b2+b⩾14，因此可得14⩽a2+a;b2+b⩽54;即1p62⩽a;b⩽1+p62:为了便于计算，取a;b2[2;2]，进⽽由绝对值不等式，有1⩾ja2+b+cj+ja+b2cj⩾ja2a+bb2+2cj;⽽a2a;b2b2•14;6˜[6;6]，于是13⩽2c⩽13，从⽽c2[7;7]，此时必然有a2+b2+c2⩽22+22+72100;命题得证．题(理15).已知向量#a;#b，#a=1，#b=2，若对任意单位向量#e，均有#a
#e+#b
#e⩽p6，则#a
#b的最⼤值是．解由绝对值不等式，有p6⩾#a
#e+#b
#e⩾#a
#e+#b
#e=(#a+#b)
#e;于是对任意单位向量#e，均有(#a+#b)
#e⩽p6，⽽#a+#b=√#a2+#b2+2#a
#b=È5+2#a
#b;因此(#a+#b)
#e的最⼤值È5+2#a
#b⩽p6;从⽽#a
#b⩽12．下⾯证明#a
#b可以取得12．(1)若#a
#e+#b
#e=#a
#e+#b
#e，则显然符合题意；(2)若#a
#e+#b
#e=#a
#e#b
#e，此时#a#b=√#a2+#b22#a
#b=2;于是#a
#e+#b
#e=#a
#e#b
#e⩽2;符合题意．综上所述，#a
#b的最⼤值为12．12016年浙江卷理科数学4题(理18).已知a⩾3，函数F(x)=minf2jx1j;x22ax+4a2g，其中minfx;yg=8:x;x⩽y;y;xy:(1)求使得等式F(x)=x22ax+4a2成⽴的x的取值范围；(2)(i)求F(x)的最⼩值m(a)；(ii)求F(x)在[0;6]上的最⼤值M(a)．分析此题是经典的的含参⼆次函数的讨论问题，注意分析区间端点展开讨论即可．解(1)根据题意，有x22ax+4a2⩽2jx1j．情形⼀x⩾1．此时不等式等价于x2(2a+2)x+4a⩽0，即(x2)(x2a)⩽0;解得2⩽x⩽2a:情形⼆x1．此时不等式等价于x2+(22a)x+4a4⩽0;考虑到左侧函数的对称轴为x=a1，又该函数在x=1处的函数值为2a10，此时⽆解．综上所述，x的取值范围是[2;2a]．(2)(i)根据第(1)⼩题的结论，我们有F(x)=8:x22ax+4a2;x2[2;2a];2jx1j;x2(1;2)[(2a;+1);该函数在第⼀段上的最⼩值m1(a)=a2+4a2(a⩾3)，在第⼆段上的最⼩值m2=0．由于函数m1(a)在a2[3;+1)上的零点为a=2+p2，于是m(a)=8:0;a2”3;2+p2—;a2+4a2;a2(2+p2;+1):(ii)由于函数y=x22ax+4a2的对称轴为x=a，于是在x2[2;6]上，函数y=x22ax+4a2或者递减，或者先递减再递增，因此在该区间上F(x)的最⼤值必然在区间端点处取得，从⽽可得M1(a)=maxf2;348ag=8:348a;a2[3;4];2;a2(4;+1):12016年浙江卷理科数学5⽽函数F(x)在[0;2)上的最⼤值是2，于是M(a)8:348a;a2[3;4];2;a2(4;+1):12016年浙江卷理科数学6题(理19).如图，设椭圆C:x2a2+y2=1(a1)．(1)求直线y=kx+1被椭圆截得的弦长（⽤a;k表⽰）；(2)若任意以点A(0;1)为圆⼼的圆与椭圆⾄多有三个公共点，求椭圆的离⼼率的取值范围．分析第(1)小题是基础的弦长问题，联立即可；第(2)小题需要构造函数，将圆与椭圆的公共点与函数的零点对应起来．解如图．xyOy=kx+1联⽴直线与椭圆的⽅程，可得(1+a2k2)x2+2a2kx=0;从⽽所求的弦长为√1+k2
2a2jkj1+a2k2=2a2jkj
p1+k21+a2k2:(2)如图，设M(x;y)是椭圆上⼀点，连接MA．xyAOM由于jMAj2=x2+(y1)2=a2(1y2)+(y1)2=(1a2)y22y+a2+1:考虑函数t=(1a2)y22y+a2+1;1⩽y⩽1的图象与直线t=r2的公共点，其中a1，r为圆的半径．当公共点对应的y=1时，⼀个公共点对应圆与椭圆的⼀个公共点；当公共点对应的y2(1;1)时，⼀个公共点对应圆与椭圆的两个公共点．根据题意，可得函数t=(1a2)y22y+a2+1;1⩽y⩽1为单调函数，否则必然存在直线t=r2与之有两个公共点，且其对应的y均在区间(1;1)．考虑到其对12016年浙江卷理科数学7称轴为y=11a2，⽽a21，因此11a2⩽1;解得1a2⩽2;进⽽可得椭圆的离⼼率e的取值范围是‚0;p22™．12016年浙江卷理科数学8题(理20).设数列fang满⾜anan+12⩽1;n2N．(1)求证：janj⩾2n1(ja1j2)(n2N)；(2)若janj⩽32‹n;n2N，证明：janj⩽2;n2N．分析第(1)小题是对数列fang的⼀个上下界估计，利用好递推结构不难证明；第(2)小题可以考虑用反证法，若janj1，那么第(1)小题结论给出的界和条件给出的界有冲突，从⽽推出⽭盾．解(1)根据已知，有an+12n+1an2n⩽12n;n=1;2;


累加，有an2nan12n1+an12n1an22n2+


+a222a12⩽12n1+12n2+


+12=112n1;由绝对值不等式可得an2na12⩽112n1;再由绝对值不等式可得ja1j2janj2n⩽112n1;即janj⩾2n1(ja1j2)+2;这样就证明了janj⩾2n1(ja1j2)(n2N)．(2)在(1)的基础上，不难证明对任意n;m2N，有jan+mj⩾2m(janj2);只需要取n;n+1;


;n+m的情形累加即得．结合已知条件，有32‹n+m⩾2m(janj2);即34‹m⩾23‹n(janj2):若janj2，那么对任何正整数n，右侧为确定的正数，记为f(n)，此时取m=”log34f(n)—+1，则有34‹mf(n)=32‹n(janj2);⽭盾．因此原命题得证．22016年浙江卷⽂科数学922016年浙江卷⽂科数学题(⽂8).如图，点列fAng;fBng分别在某锐⾓的两边上，且jAnAn+1j=jAn+1An+2j;An̸=An+2;n2N;jBnBn+1j=jBn+1Bn+2j;Bn̸=Bn+2;n2N;其中P̸=Q表⽰P与Q不重合．若dn=jAnBnj，Sn为△AnBnBn+1的⾯积，则()B1B2B3BnBn+1A1A2A3AnAn+1














S1S2SnA.fSng是等差数列B.fS2ng是等差数列C.fdng是等差数列D.fd2ng是等差数列解由于△AnBnBn+1(n=1;2


)的底jB1B2j=jB2B3j=


，⽽顶点A1;A2;


共线，因此这些底边上的⾼成等差数列，进⽽fSng构成等差数列，选A．对于选项B，由于fSng是等差数列，于是fS2ng只有当fSng是常数列时才为等差数列，此时直线A1A2与B1B2平⾏，与已知不符，因此选项B错误；对于选项C,D，过A1作B1B2的垂线，取垂⾜为B2，在H的左侧取⼀点为B1，则jA1B1jjA1Hj，因此在A1右侧必然可以找到⼀点A2，使得jA2B2j=jA1B1j，此时数列fdng和fd2ng必然均不是等差数列，因此选项C,D错误．A1B1B2A222016年浙江卷⽂科数学10题(⽂15).已知平⾯向量#a;#b，#a=1，#b=2，#a
#b=1．若#e为平⾯单位向量，则#a
#e+#b
#e的最⼤值是．解当#a
#e与#b
#e同号(认为0与任何数同号)时，有#a
#e+#b
#e=#a
#e+#b
#e⩽#a+#b
#e=√#a2+#b2+2#a
#b=p7:取#e为与#a+#b同向的单位向量可以使得上述不等式取得等号．当#a
#e与#b
#e异号时，有#a
#e+#b
#e=#a
#e#b
#e⩽#a#b
#e=√#a2+#b22#a
#b=p3:综上所述，所求代数式的最⼤值为p7．22016年浙江卷⽂科数学11题(⽂19).如图，设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于jAFj1．xyOFABNM(1)求p的值；(2)若直线AF交抛物线于另⼀点B，过B于x轴平⾏的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M．求M的横坐标的取值范围．分析第(1)小题考查抛物线的定义；第(2)小题涉及到⼀些简单的坐标运算，利用《⾼考数学压轴题的分析与解》中破解压轴题的有效10招中的第6招“抛物线的性质”可以快速解决．解(1)根据抛物线的定义可得p2=1，于是p=2；(2)抛物线⽅程为y2=4x，焦点F(1;0)