利用换元法解方程(组)

..第6讲利用换元法解方程一、方法技巧（一）换元法解方程是用新元代替方程中含有未知数的某个部分，达到化简的目的.（二）运用换元法解方程，主要有三种类型：分式方程、无理方程、整式（高次）方程.解分式方程、无理方程、整式(高次)方程的基本思想是将分式方程化为整式方程、无理方程化为有理方程、整式（高次）方程逐步降次.（三）换元的方法是以所讨论方程的特有性质为依据的，不同的方程就有不同的换元方法，因此，这种方法灵活性大，技巧性强．恰当地换元，可将复杂方程化简，以便寻求解题的途径．常用换元方法有局部换元、均值换元、倒数换元、常数换元等．例如：①256011xxxx，可使用局部换元法，设1xyx②22110xxxx，变形后也可使用局部换元法，设1xtx③222212219116xxxxxxx，看着很繁冗，变形整理成222211191116xxxxxx时，就可使用局部换元法.④443182xx，可设3122xxyx，方程变成441182yy，使方程变得易解，这是均值换元法.⑤4326538560xxxx，符合与中间项等距离的项的系数相等，如46x与6，35x与5x系数相等，可构造1xx换元，是倒数换元法.⑥32233310xxx，不易求解，若反过来看，把设x看作已知数，把3设为设t，则方程就变成2232110xtxtx，数字换元法不常用，但不失为一种巧妙的解题方法.有时根据方程各部分特点可设双元，达到化繁为简，求解的目的.例如：..222222223232321321451xxxxxxxxxx观察发现22232321451xxxxxx，故可设232xxu，2321xxv，原方程变为222uuvvuv，方程由繁变简，可得解.（四）本讲注重研究用换元法解方程的技能、技巧．拓宽学生知识面，培养学生学习和研究数学的兴趣.二、应用举例类型一局部换元（高次方程）【例题1】解方程：42320xx【答案】11x，21x，32x，42x【解析】试题分析：通过观察发现242xx，故设2xy，原方程变形为2320yy，可把高次方程降次，转化为可解的一元二次方程.试题解析：解：设2xy，则原方程变形为2320yy，解得，11y，22y，由11y得21x，解得11x，21x，由22y得22x，解得32x，42x，∴方程的解是11x，21x，32x，42x【难度】较易（分式方程）【例题2】解方程：256011xxxx【答案】134x，223x【解析】..试题分析：括号里的分式相同，由这个特点，可以用换元法来解.试题解析：解：设1xyx，于是原方程变形为2560yy解得13y，22y当13y时，31xx，解得134x，当22y时，21xx，解得223x经检验134x，223x均为原方程的根.∴方程的解是134x，223x【难度】较易【例题3】已知实数x满足22110xxxx，那么1xx的值是（）【答案】2【解析】试题分析：由于222112xxxx，故设1xtx，可解.试题解析：解：设1xtx，原方程化简得21120xxxx，∴220tt，解得11t，22t由11xx化简得210xx，△＜0，无解，舍去∴12xx点评：方程中并无“相同”的部分时，可通过代数式间的关系变形构造出“相同”部分，设元.【难度】一般（无理方程）..【例题4】解方程：210123xxx【答案】114x，294x【解析】试题分析：这是一个根号里含有分式的无理方程，也可通过换元后求解，通过变形发现221xxx，与2xx互为倒数，可设21yx，则原方程变形为1103yy，无理方程化为有理方程.试题解析：解：设210yyx＞，则原方程变形为1103yy整理得231030yy解得13y，213y当13y时，213x，解得114x当213y时，2113x，解得294x经检验114x，294x都是原方程的根.原方程的解是114x，294x【难度】一般【例题5】解方程1310xx【答案】1712x，2712x【解析】试题分析：注意到原方程可变为131xx，可设两个未知数，利用韦达定理求解.试题解析：解：设1xm，3xn，..原方程变为1mn又∵2222mnmnmn∴142mn，即32mn根据韦达定理，mn、是方程2302zz的根解得1172z，2172z∵1702＜，∴2z舍去即172m或172n故1712x或1732x解得1712x，2712x经检验1712x，2712x是原方程的解∴方程的解是1712x，2712x【难度】一般类型二均值换元【例题6】解方程：443182xx【答案】10x，24x【解析】试题分析：观察方程可知312xx，适合使用均值法换元，故设3122xxyx可达到降次目的...试题解析：解：设3122xxyx，原方程变为441182yy整理得222221121182yyyy2222412182yy426400yy解得210y（舍），24y即12y，12y由22x，得10x由22x，得24x∴原方程的解为10x，24x点评：一般形如44xaxbc的方程可用均值法，设22xaxbabyx进行代换，化原方程为双二次方程求解.【难度】较难类型三倒数换元【例题7】解方程：4326538560xxxx【答案】112x，22x,33x，413x【解析】试题分析：本题的特点是：按x降幂排列后，与中间项等距离的项的系数相等，如46x与6，35x与5x系数相等，可构造1xx换元.试题解析：解：显然0x不是方程的解，故用2x除方程两边，整理得221165380xxxx，..设1yxx，则22212xyx，上式变为2625380yy，整理得265500yy解得152y，2103y，由152xx，解得112x，22x由1103xx，解得33x，413x点评：形如4320axbxcxbxa的方程称为倒数方程，其特点是，按某一字母降幂排列后，与中间项等距离的项的绝对值相等，其解法是，用2x除各项，构造1xx，使原方程变为一元二次方程得解.【难度】较难类型四常数换元【例题8】解方程32233310xxx【答案】113x，4213122x，4313122x【解析】试题分析：这是三次方程，且系数中含无理数，不易求解，若反过来看，把设x看作已知数，把3设为设t，则方程就变成关于t的一元二次方程.试题解析：解：设3t则原方程变形为322210xxtxtt即2232110xtxtx2110xtxxtx231310xxxx整理得2311310xxx..23110xx或310x解得113x，4213122x，4313122x【难度】困难三、实战演练类型一局部换元（高次方程）1.已知2222138xyxy，则22xy的值为（）【答案】1【解析】试题分析：解题时把22xy当成一个整体考虑，再求解就比较简单.试题解析：解：设22xyt，0t，则原方程变形为138tt，整理得510tt，解得15t，21t，∵0t∴1t∴22xy的值是1【难度】较易2.解方程：2222360xxxx【答案】10x，22x，33x，41x【解析】试题分析：观察可知，方程整理后2222320xxxx，可用换元法降次.试题解析：..解：方程整理后2222320xxxx设22xxy，则原方程变为230yy解得10y，23y由10y，得220xx，解得10x，22x由23y，得223xx，解得33x，41x∴原方程的解是10x，22x，33x，41x【难度】较易3.方程22235320xx，如果设23xy，那么原方程可变形为（）A．2520yyB.2520yyC.2520yyD.2520yy【答案】D【解析】试题分析:注意到23x与23x互为相反数，只有符号要变化，可利用换元法变形.试题解析：解：设23xy，则23xy用y表示23x后代入方程得2520yy故选D.【难度】较易4.解方程：22213xx【答案】11x，21x【解析】试题分析：1.以21x为一个整体换元，因此要对方程进行变形使其含有21x.2.把方程展开成标准的双次方程，再对2x进行换元.试题解析：..解法一：原方程可化为2221120xx，设21xy，得220yy，解得12y，21y由212x，解得11x，21x由211x，22x无实根∴方程的解是11x，21x解法二：由方程得4220xx，设2xy得220yy，解得11y，22y（舍去）由21x，解得11x，21x∴方程的解是11x，21x点评：换元的关键是善于发现或构造方程中表达形式相同的部分作为换元对象.在解方程的过程中换元的方法常常不是唯一的，解高次方程时，只要能达到将次目的的换元方法都可以应用.【难度】较易（分式方程）5.解方程2261xxxx【答案】12x，21x【解析】试题分析：方程左边分式分母为2xx，可将右边2xx看成一个整体，然后用换元法解.试题解析：解：设2xxy，则原方程变形为61yy解得13y，22y..当13y时，23xx，△＜0，此方程无实根当22y时，22xx，解得12x，21x经检验，12x，21x都是原方程的根.【难度】较易6.解方程：2221xxx【答案】112x，212x【解析】试题分析：整理后发现222xxxx，故2211xxx，就可换元解题了试题解析：解：方程整理后变为22221xxx，两边加1得222111xx设21xy，则原方程变为21yy整理得220yy解得12y，21y（舍去）由12y得212x，解得112x，212x经检验112x，212x是原方程的解∴方程的解是112x，212x【难度】较易..7.解方程222212219116xxxxxxx【答案】121xx，3352x，4352x【解析】试题分析：观察到2222222112211111xxxxxxxxxxxx，设2211xxyx