二次函数对称轴与区间的关系分析

1二次函数对称轴与区间的关系分析（1）轴定，区间定方法：可以对其二次函数配方处理或者是结合二次函数图形求解，例1若实数yx,满足06222yxx，则xyx222的最大值是.解：由2262yxx得22222262026228xxxyxxxxxxx问题转化为求2()8fxxx，当[0,3]x中的最大值，易的max()(3)15fxf.设计意图：利用消元思想将问题简化，但是其中必须注意的是消元之后的自变量的取值范围，进而转化为二次函数在闭区间上的最值。设计意图:结合韦达定理转化成为有关m的二次函数，但是其中的隐含条件：二次方程有实根，从而确定m的取值范围。（2）轴定，区间变方法：结合二次函数的图象，讨论对称轴与区间的相对位置关系：①轴在区间右边②轴在区间左边③轴在区间内例2已知2()22fxxx在[,1]xtt上的最大、最小值分别为()()Mtmt、，求()()Mtmt、的解析式.活动：师生一起合作求解函数的最小值()mt的表达式，并作小结，再让学生板书求解函数的最大值()Mt的表达式，和下面例题4的最小值)(tg的表达式设计意图:（1）通过讲解让学生体会解题过程中注意分哪几类讨论，做到不遗漏不重复，同时怎样结合图像求解函数的最值，并且引导学生注意解题的规范性（2）学生求解例3函数中最大值的表达式中讨论轴在区间内的可能遇到阻碍，讲解过程中启发学生结合函数的图像和性质：如果我们俩个自变量的值到对称轴的距离相等，则我们的函数值也相等，离对称轴的距离越远，我们的函数值越大的性质来求解函数的最大值的表达式（3）根据物理中动、静（定）的相对原理，那么例题4的轴变区间定的题型可以类比成轴定区间动的这种题型求解，培养学生的发散思维和类比能力解：对称轴为1x，分4种情况讨论（另解：最大值可以分2种情况，最小值可以分3种情况）：（1）11t，即0t时，22()()-22()(1)1Mtftttmtftt、（2）1t时，22()(1)1()()-22Mtfttmtfttt、（3）011-1-1ttt，且，即112t时，2()(1)1()(1)1Mtfttmtf、2（4）011-1-1ttt，且，即112t时，2()()22()(1)1Mtftttmtf、综上，22122()2()11()2tttMttt，221(0)()1(01)22(1)ttmttttt（3）轴变，区间定方法:与情形2一样.例4已知22)(2txxxf在]1,0[x上的最小值为)(tg，求)(tg的解析式.解：对称轴xt，分三种情况讨论（1）0t时，()(0)0gtf（2）01t时，2()()2gtftt（3）1t时，()(1)32gtft综上，22(0)()2(01)32(1)tgttttt例5设3)(2axxxf，当]2,2[x时恒有axf)(，求a的范围.变式一：若将axf)(改为axf)(时，其它条件不变，求a的范围变式二：若将axf)(改为axf)(时，其它条件不变，求a的范围变式三：若将]2,2[x改为)2,2(x时，其它条件不变，求a的范围设计意图：通过讲解例题5和变式一，让学生体会解不等式中的一种转化思想并一起总结归纳：若axfaxfaxfaxfmaxmin)()(;)()(，通过变式二、三和原题的思考对比让学生体会相似题型的解法的相同点和不同点分析：axf)(恒成立axfmin)(解：对称轴为2ax，分三种情况讨论（1）max4227(2)273aaaffaa3222min2244442(2)42624120()3242aaaaaaaaaaffa（3）min427427(2)27aaaaffaa综上，72a，即a的值域为[7,2]a（4）轴变，区间变例6已知)0)((42aaxay，求22)3(yxu的最小值。分析：将)(42axay代入u中，得)[812)]23([)(4)3(222，，axaaaxaxaxu分①aa23、②aa23讨论解：将)(42axay代入u中，得222(3)4()[(32)]128uxaxaxaaa由24()0yaxa得xa22[(32)]128uxaaa的对称轴为32xa，分两种情况①320aa时，即01a时，2min(32)812ffaaa②aa23时，即1a时，2min()69ffaaa综上，)1()3()10(812)(22minaaaaaxf（5）二次函数的逆向最值问题例7已知二次函数1)12()(2xaaxxf在区间]223[，上的最大值为3，求实数a的值。分析：这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分0a与0a两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪。若注意到)(xf的最值总是在闭区间的端点或抛物4线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程简明。解：（1）令3)212(aaf，得21a此时抛物线开口向下，对称轴为2x，且]223[2，故21a不合题意；（2）令3)2(f，得21a，此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴远些，故21a符合题意；（3）若3)23(f，得32a，经检验，符合题意。综上，21a或32a