杆件的内力计算

第三章　杆件的内力计算内力的大小及其分布规律与杆件的变形与失效密切相关，因此内力分析是解决构件承载能力的基础。本章主要研究杆件的内力及其沿杆件轴线的变化规律，以便为杆件的强度、刚度和稳定性计算提供基础。内容提要一、内力与截面法１畅内力的概念作用于杆件上的载荷和支座约束力称为外力。由外力引起的杆件内部作用力的改变量，称为附加内力，简称为内力。机械工程力学主要研究受力杆件横截面上的内力。根据连续性假设可知，内力在横截面上是连续分布的，组成一分布内力系，通常所说的内力是指该分布内力系的简化结果。２畅截面法将杆件假想地截开以显示内力，并由平衡方程确定内力的方法，称为截面法，它是计算杆件内力的基本方法，其步骤可归结为：（１）截———沿欲求内力的截面假想地将杆件截为两部分；（２）取———任取其中一部分为研究对象；（３）代———用欲求的内力代替另一部分对研究对象的作用；（４）平———列出研究对象的平衡方程，确定内力的大小和方向。应用截面法时应注意：（１）截面不能取在集中力或集中力偶的作用面上；（２）未知的内力均设为正。二、轴向拉压杆的内力与内力图１畅轴向拉压杆件的受力与变形特征杆件是直杆，作用于杆件上的外力合力作用线与杆件轴线重合，杆件变形是沿轴线方向的伸长或缩短。这种变形形式称为轴向拉伸或轴向压缩，这类杆件称为拉杆或压杆。２畅拉压杆横截面上的内力———轴力杆件轴向拉伸或压缩时，横截面上的内力与轴线重合，这种与杆件轴线重合的内力称为轴力，用FＮ表示。使杆件受拉伸时的轴力为正，此时轴力背离截面，称为拉力；使杆件受压缩时的轴力为负，此时轴力指向截面，称为压力。·45·截面法是计算轴力的基本方法。在截面法的基础上可总结出由截面一侧的外力直接计算轴力的方法，称为简捷法。拉压杆任一截面的轴力，等于该截面一侧（左侧或右侧）杆上所有外力的代数和。其中，背离截面的外力产生正的轴力，指向截面的外力产生负的轴力。３畅轴力图用平行于杆件轴线的x轴表示横截面的位置，垂直于x轴的FＮ表示横截面上轴力的大小，在x－FＮ坐标系中按选定的比例画出轴力沿轴线方向变化的图形，称为轴力图。画轴力图的步骤：求约束力→分段（外力作用点为分界点）→求各段的轴力→逐段作出轴力图。三、梁的内力与内力图１畅弯曲变形的概念杆件受到垂直于轴线的外力或作用面在轴线所在平面内的外力偶作用时，杆件的轴线将由直线变为曲线，这种变形称为弯曲变形。以弯曲变形为主的构件称为梁。２畅平面弯曲的概念工程中常见的梁，其横截面大多至少有一根对称轴，如图３－１（ａ）所示。截面的对称轴与梁的轴线所确定的平面称为梁的纵向对称面，见图３－１（ｂ）。若梁上所有外力（包括外力偶）都作用在梁的纵向对称面内，则变形后梁的轴线将是位于纵向对称面内的一条平面曲线，这种弯曲称为平面弯曲，它是弯曲问题中最常见和最简单的情况。图３－１３畅单跨静定梁的基本形式作用在梁上的外力包括载荷与支座约束力，仅由平衡方程可求出全部支座约束力和内力的梁称为静定梁。单跨静定梁按其支座形式可分为以下三种：（１）简支梁———一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座的梁。（２）外伸梁———一端或两端有外伸部分的简支梁。（３）悬臂梁———一端固定，另一端自由的梁。４畅梁的内力———剪力和弯矩一般情况下，平面弯曲梁截面上有两个内力分量，如图３－２所示。与截面相切的内力分量，·55·称为剪力，用FＱ表示；作用面在纵向对称面内的内力偶，称为弯矩，用M表示。图３－２剪力和弯矩的正、负号规定：在横截面的内侧截取微段梁，凡使微段梁发生左侧向上、右侧向下相对错动变形的剪力为正，反之为负，分别如图３－３（ａ）、（ｂ）所示；使微段梁产生上凹下凸弯曲变形的弯矩为正，反之为负，分别如图３－３（ｃ）、（ｄ）所示。按此规定，正的剪力使微段梁产生顺时针方向的转动。如果将梁设想成由无数纵向纤维所组成，正的弯矩使梁下侧的纵向纤维受拉，上侧的纵向纤维受压。图３－３截面法是计算梁剪力和弯矩的基本方法。在截面法的基础上可总结出由截面一侧的外力直接计算剪力和弯矩的方法，称为简捷法。（１）梁内任一横截面上的剪力等于该截面一侧（左侧或右侧）所有横向外力的代数和。其中，截面以左向上的外力或截面以右向下的外力在该截面上产生正的剪力，即“左上右下，剪力为正”；反之，则产生负的剪力。（２）梁内任一横截面的弯矩，等于截面一侧（左侧或右侧）所有外力（包括外力偶）对该截面形心力矩的代数和。其中，截面以左对截面形心顺时针的力矩或截面以右对截面形心逆时针的力矩，在该截面上产生正的弯矩，即“左顺右逆，弯矩为正”；反之，产生负的弯矩。或向上的外力产生正弯矩，向下的外力产生负弯矩。５畅梁的剪力图和弯矩图一般情况下，梁横截面上的剪力、弯矩随截面位置而变化。若以梁的轴线为x轴，坐标x表示横截面的位置，则剪力和弯矩可表示为x的函数，即FＱ＝FＱ（x），　M＝M（x）这种内力随截面位置变化的函数关系式，分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。梁的内力随截面·65·位置变化的图线，称为梁的内力图，包括剪力图和弯矩图。由内力图可以确定梁的最大剪力和最大弯矩及其所在截面（危险截面）的位置，以便进行梁的强度计算。由内力方程画梁内力图的步骤：求支座约束力（悬臂梁可以不求）→分段（集中力、集中力偶作用点及分布载荷的起、止点为分界点）→逐段列出内力方程→由内力方程判断各段剪力图、弯矩图的形状→求控制截面（分界点、极值点所在的截面）的剪力值、弯矩值→逐段作出剪力图、弯矩图。６畅剪力图和弯矩图的规律梁的内力是由外力产生的，因此梁的剪力图、弯矩图与梁所受外力之间存在着一定规律，现将外力与剪力图、弯矩图之间的规律总结如下：（１）对于无分布载荷作用的梁段，剪力等于常数，剪力图是一条水平直线；弯矩图是一条斜直线，其斜率等于剪力。若FＱ（x）＝常数，且大于０，M图为一条上斜直线（／）；若FＱ（x）＝常数，且小于０，M图为一条下斜直线（＼）；FＱ（x）＝常数且等于０，M图为一条水平直线。（２）对于均布载荷作用的梁段，剪力图是一条斜直线，其斜率等于载荷集度，弯矩图为二次抛物线。若均布载荷向下，剪力图为下斜直线，弯矩图为下凹二次抛物线（　　），犹如下雨打伞一样，如图３－４（ａ）所示；若均布载荷向上，剪力图为上斜直线，弯矩图为上凹的二次抛物线（　　），犹如用锅烧水一样，锅如抛物线，水蒸气如载荷集度，如图３－４（ｂ）所示。图３－４（３）在剪力等于零的截面上，弯矩取极值。（４）在集中力作用的截面上，剪力发生突变，突变值等于集中力的大小，自左向右突变的方向与集中力的指向相同，弯矩图出现尖点。（５）在集中力偶作用的截面上，剪力图无变化，弯矩图发生突变，突变值等于集中力偶矩的大小。当集中力偶为顺时针时，自左向右弯矩图向上突变；反之，则向下突变。上述规律列于表３－１中。利用上述规律，既可以校核梁的内力图是否正确，也可以不列内力方程直接画出内力图。这种利用内力图的规律画梁的剪力图和弯矩图的方法，称为作梁内力图的控制截面法或简捷法。控制截面法或简捷法作梁内力图的步骤为：求梁的支座约束力（悬臂梁可不求）→分段→判断各段剪力图、弯矩图的形状→求控制截面（分界点、极值点所在的截面）的剪力值和弯矩值→逐段画出剪力图和弯矩图。·75·表3－1　剪力图和弯矩图的规律载荷类型无载荷段q（x）＝０均布载荷段q（x）＝常数集中力集中力偶FＱ图倾斜线产生突变无影响M图FＱ＞０FＱ＝０FＱ＜０二次抛物线，FＱ＝０处有极值在C处有折角产生突变倾斜线水平线倾斜线　　四、受扭圆轴的内力与内力图１畅圆轴扭转的概念杆件受到作用面与轴线垂直的外力偶作用时，各横截面将绕轴线发生相对转动，杆件的这种变形称为扭转变形。工程中以扭转变形为主的构件称为轴。机械工程中的轴，多数是圆截面或圆环截面，称为圆轴。２畅外力偶矩的计算在工程实际中，作用于轴上的外力偶矩一般并不直接给出，而是根据轴的转速和轴传递的功率来确定，其计算公式为M＝９５５０Pn式中：M———外力偶矩，Ｎ·ｍ；P———功率，ｋＷ；n———转速，ｒ／ｍｉｎ。在确定外力偶矩的转向时应注意，轴上主动轮的输入功率所产生的力偶矩为主动力偶矩，其转向与轴的转向相同；而从动轮的输出功率所产生的力偶矩为阻力偶矩，其转向与轴的转向相反。在空间问题中，力偶对物体的作用效应取决于三个要素：力偶矩的大小、力偶的转向和力偶作用面的方位。空间力偶的三要素可以用力偶矩矢量M表示。矢量M的大小表示力偶矩的大小，即M＝Fd（式中F为力偶中力的大小，d为力偶臂）；矢量M的方位垂直于力偶的作用面，指向与力偶的转向符合右手定则，如图３－５所示。３畅扭矩与扭矩图·85·图３－５受扭圆轴横截面上的内力偶矩称为轴的扭矩，用T表示。通常用右手定则确定扭矩的正负号：用右手四指沿扭矩的转向握着轴，大拇指的指向（扭矩的矢量方向）背离截面时，扭矩为正，见图３－６（ａ）；反之，扭矩为负，见图３－６（ｂ）。图３－６计算扭矩的基本方法为截面法。在截面法的基础上可总结出由截面一侧的外力偶直接计算扭矩的方法，称为简捷法。轴任一截面的扭矩等于该截面一侧（左侧或右侧）轴段上所有外力偶矩的代数和。其中，矢量方向背离截面的外力偶矩产生正的扭矩；反之，则产生负的扭矩。为形象地表示扭矩随截面位置变化的情况，画出扭矩沿轴线变化的图线，称为扭矩图。画轴扭矩图的步骤为：计算外力偶矩→分段（外力偶作用面为分界点）→计算各段的扭矩→逐段画出扭矩图。基本要求（１）理解轴向拉压、平面弯曲、圆轴扭转的受力特点和变形特征。（２）理解杆件的内力（轴力、剪力、弯矩）的概念及其正、负号规定。（３）掌握内力的计算方法（截面法、简捷法）。（４）能正确熟练地画出杆件的内力图。典型例题分析例3－1　等截面直杆受力如图３－７（ａ）所示，试求各杆段横截面上的轴力，并画出轴力图。·95·解　（１）应用截面法求各段横截面上的轴力。以外力作用的截面为分界点，将杆件分为AB、BC、CD三段。在AB段，用１－１截面将杆件截为两段，取左段为研究对象，右段对截面的作用力用FＮ１来代替，并设FＮ１为正，如图３－７（ｂ）所示。由平衡方程∑Fx＝０，即FＮ１－６ｋＮ＝０得FＮ１＝６ｋＮ在BC段，用２－２截面将杆件截为两段，取左段为研究对象，右段对左段的作用力用FＮ２来代替，并设FＮ２为正，如图３－７（ｃ）所示。由平衡方程∑Fx＝０，即FＮ２－６ｋＮ＋１０ｋＮ＝０得FＮ２＝－４ｋＮ负号表示FＮ２的方向与假设的方向相反，为压力。在CD段，用３－３截面将杆件截为两段，取右段为研究对象，左段对右段的作用力用FＮ３来代替，并设FＮ３为正，如图３－７（ｄ）所示。由平衡方程∑Fx＝０，即－FＮ３＋４ｋＮ＝０得FＮ３＝４ｋＮ（２）画轴力图（如图３－７（ｅ）所示）。图３－７例3－2　试画出图３－８（ａ）所示杆件的轴力图。·06·图３－８解　（１）分段并计算各段的轴力。以外力作用的截面为分界点，将杆件分为AB、BC、CD三段，设截面１－１、２－２、３－３分别为AB、BC、CD段上的任一截面，由简捷法可得FＮ１＝４ｋＮ，　FＮ２＝－３ｋＮ，　FＮ３＝２ｋＮ　　（２）画轴力图，如图３－８（ｂ）所示。讨论：对于拉压杆，在集中力作用的截面上，其轴力图发生突变，突变值等于该集中力的大小。如本例中，B截面左侧的截面属于AB段，其轴力为４ｋＮ；B截面右侧的截面属于BC段，其轴力为－３ｋＮ。在B截面处轴力图有突变，从４ｋＮ突变到－３ｋＮ，其突变量正好等于B截面处的外力７ｋＮ，而在B截面上轴力是不确定的。例3－3　用截面法求图３－９（ａ）所示悬臂梁C截面上的内力。解　为避免求支座B的约束力，用截面C截取左段梁为研究对象，如图３－９（ｂ）所示由∑Fy＝０，即F１－F２＋F３－q×２ｍ－FＱC＝０，得FＱC＝F１－F２＋F３－q×２ｍ＝－４ｋＮ由∑MC＝０，即－F１×６ｍ＋F２×５ｍ－M１－F３×３ｍ＋M２＋q×２ｍ×１ｍ＋MC＝０得MC＝－４ｋＮ·ｍ图３－９例3－4　用简捷法计算图３－１０所示梁各指定截面的内力。·16·图３－１０解　（１）计算梁的支座约束力。取梁整体为研究对象，由∑MB＝０可得：F×８ｍ－FA×６ｍ－M＋q×６ｍ×３ｍ＝０