2019年4月海淀区一模数学试题及答案理科

海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科）2019.4一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。(1)已知集合04Pxx，且MP，则MP可以是(A)1，2(B)2,4(C)1,2(D)0,5(2)若角的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是(A)sin(+)2(B)s(+)2co(C)sin()(D)s()co(3)已知等差数列na满足324=3aa，则na中一定为零的项是(A)6a(B)8a(C)10a(D)12a(4)已知xy，则下列各式中一定成立的是(A)11xy(B)12xy(C)11()()22xy(D)222xy(5)执行如图所示的程序框图，输出的m值为(A)18(B)16(C)516(D)13(6)已知复数()zaiaR，则下面结论正确的是(A)zai(B)1z(C)z一定不是纯虚数(D)在复平面上，z对应的点可能在第三象限(7)椭圆221:14xCy与双曲线22222:1xyCab的离心率之积为1，则双曲线2C的两条渐近线的倾斜角分别为(A)6，6(B)3，3(C)6，56(D)3，23(8)某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A层班级，生物在B层班级，该校周一上午课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有(A)8种(B)10种(C)12种(D)14种第一节第二节第三节第四节地理B层2班化学A层3班地理A层1班化学A层4班生物A层1班化学B层2班生物B层2班历史B层1班物理A层1班生物A层3班物理A层2班生物A层4班物理B层2班生物B层1班物理B层1班物理A层4班政治1班物理A层3班政治2班政治3班二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．(9)已知,4,ac成等比数列，且0a，则22loglogac____．(10)在△ABC中，14,5,cos8abC，则=c，ABCS(11)已知向量ar=（1，-2），同时满足条件①ar∥br，②abarrr的一个向量br的坐标为(12)在极坐标系中，若圆2cosa关于直线cos3sin10对称，则a(13)设关于,xy的不等式组00,1xyykx，表示的平面区域为．记区域上的点与点(0,1)A距离的最小值为()dk，则(I)当=1k时，(1)=d；(Ⅱ)若()2dk，则k的取值范围是____．(14)已知函数()fxx，2()gxaxx，其中0a.若12[1,2],[1,2]xx，使得1()fx2()fx1()gx2()gx成立，则a____．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明~演算步骤或证明过程。(15)（本小题满分13分）已知函数()22cos()cos4fxxxa的最大值为2．(Ⅱ)求a的值；(Ⅱ)求函数()fx的单调递增区间．(16)（本小题满分13分）据《人民网》报道，“美国国家航空航天局(NASA)发文称，相比20年前世界变得更绿色了.卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿．”据统计，中国新增绿化面积的42%来自于植树造林，下表是中国十个地区在2017年植树造林的相关数据．（造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和）单位：公顷造林方式地区造林总面积人工造林飞播造林新封山育林退化林修复人工更新内蒙61848431105274094136006903826950河北58336134562533333135107656533643河南14900297647134292241715376133重庆2263331006006240063333陕西297642，184108336026386516067甘肃325580260144574387998新疆2639031181056264126647107962091青海178414160511597342629宁夏91531589602293882981335北京1906410012400039991053(I)请根据上述数据分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大和最小的地区；(Ⅱ)在这十个地区中，任选一个地区，求该地区人工造林面积占造林总面积的比值超过50%的概率是多少？(Ⅲ)在这十个地区中，从新封山育林面积超过五万公顷的地区中，任选两个地区，记X为这两个地区中退化林修复面积超过六万公顷的地区的个数，求X的分布列及数学期望．(17)（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABCABC中，1,2ACBCACBCCC，点,,DEF分别为棱11111,,ACBCBB的中点．(Ⅱ)求证：1AC∥平面DEF(Ⅱ)求证：平面1ACB平面DEF;(Ⅲ)在线段1AA上是否存在一点P，使得直线DP与平面1ACB所成的角为300?如果存在，求出线段AP的长；如果不存在，说明理由．(18)（本小题满分14分）已知函数2()ln(1)fxxxax.(I)求曲线()yfx在点(0,(0))f处的切线方程；(Ⅱ)当0a时，求证：函数()fx存在极小值；(Ⅲ)请直接写出函数()fx的零点个数．(19)（本小题满分13分）已知抛物线2:2Gypx，其中0p．点(2,0)M在G的焦点F的右侧，且M到G的准线的距离是M与F距离的3倍．经过点M的直线与抛物线G交于不同的AB，两点，直线OA与直线2x交于点P，经过点B且与直线OA垂直的直线l交x轴于点Q.(I)求抛物线的方程和F的坐标；(Ⅱ)判断直线PQ与直线AB的位置关系，并说明理由．(20)（本小题满分13分）首项为O的无穷数列na同时满足下面两个条件：①1nnaan；②12nna(Ⅱ)请直接写出4a的所有可能值；(Ⅱ)记2nnba，若1nnbb对任意*nN成立，求nb的通项公式；(Ⅲ)对于给定的正整数k，求12...kaaa的最大值．海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数学（理科）2019.04阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.A2.D3.A4.D5.B6.B7.C8.B二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.410.1576,411.(1,2)（答案不唯一）12.113.2,[1,)14.32三、解答题:本大题共6小题，共80分.15.（共13分）解：（Ⅰ）因为()22cos()cos4fxxxa(2sin2cos)cosxxxa22sincos2cosxxxasin2cos21xxaπ2sin(2)14xa所以函数()fx的最大值为21a所以10a所以1a（Ⅱ）因为sinyx的单调递增区间为ππ(2π,2π)22kk，kZ令πππ2π22π242kxk所以31ππππ88kxk函数()fx的单调递增区间为31(ππ,ππ)88kk，kZ16.（共13分）解：(Ⅰ)人工造林面积与总面积比最大的地区为甘肃省人工造林面积与总面积比最小的地区为青海省(Ⅱ)设在这十个地区中,任选一个地区，该地区人工造林面积占总面积的比值超过为事件A在十个地区中，有7个地区（内蒙、河北、河南、陕西、甘肃、宁夏、北京）人工造林面积占总面积比超过50%，则7()10PA（Ⅲ）新封山育林面积超过五万公顷有7个地区：内蒙、河北、河南、重庆、陕西、甘肃、新疆、青海，其中退化林修复面积超过六万公顷有3个地区：内蒙、河北、重庆，所以X的取值为012,,所以242712(0)42CPXC，11342724(1)42CCPXC,23276(2)42CPXC随机变量X的分布列为X012P1242244264212246366012424242427EX17.（共14分）解：(Ⅰ)方法一：连结1BC因为,DE分别为11AC,11BC中点,所以11//DEAB又因为11//ABAB，所以//DEAB因为,EF分别为11BC,1BB中点，所以1//EFBC又因为DEEFEDE平面DEF，EF平面DEFAB平面1ABC，1BC平面1ABC所以平面1ABC平面DEF又1AC平面1ABC，所以1AC平面DEF方法二：取1AA中点为G,连结FG由11AABB且11AABB又点F为1BB中点，所以11FGAB又因为,DE分别为11AC,11BC中点,所以11DEAB所以DEFG所以,,,DEFG共面于平面DEF因为D,G分别为111,ACAA中点,所以1ACDG1AC平面DEFDG平面DEF所以1AC平面DEF方法三：在直三棱柱111ABCABC中，1CC平面ABC又因为ACBC以C为原点，分别以1,,CACBCC为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Cxyz由题意得1(2,0,0),(0,0,2),(1,0,2)ACD,(0,1,2),(0,2,1)EF.所以(1,1,0)DE,(0,1,1)EF设平面DEF的法向量为111(,,)xyzn，则00DEEFnn，即111100xyyz令11x，得111,1yz于是(1,1,1)n又因为1(2,0,2)AC所以12020ACn又因为1AC平面DEF，所以1AC平面DEF（Ⅱ）方法一：在直棱柱111ABCABC中，1CC平面ABC因为ACABC，所以1CCAC又因为ACBC，且1CCBCC所以AC平面11BBCCEF平面11BBCC，所以ACEF又1BCCC，四边形11BBCC为正方形所以11BCBC又1BCEF，所以1BCEF又ACEF，且1ACBCC所以EF平面1ACB又EF平面DEF所以平面1ACB平面DEF方法二：设平面1ACB的法向量为222(,,)xyzm，1(2,0,0),(0,2,2)CACB100CACBmm，即22220220xyz令21y，得220,1xz于是(0,1,1)m(1,1,1)(0,1,1)0nm即nm，所以平面1ACB平面DEF（Ⅲ）设直线DP与平面1ACB所成角为，则30设1(01)APAA，则(0,0,2)AP(1,0,22)DP所以2221cossin30221(22)DPDPmm解得12或32（舍）所以点P存在，即1AA的中点，1AP18．（共14分）解：（Ⅰ）2()ln(1)fxxxax的定义域为{|1}xx因为2(0)0ln(01)00fa所以切点的坐标为(0,0)因为()ln(1)+21xfxxaxx0(0)ln(01)+20001fa所以切线的斜率0k，所以切线的方程为0y（Ⅱ）方法一：令()()ln(1)21xgxfxxaxx211()+21(1)gxaxx因为1x且0a，所以101x，210(1)x，20a从而得到()0gx在(1,)上恒成立所以()0fx在(1,)上单调递增且(0)0f，所以x，'()fx，()fx在区间(1,)的变化情况如下表:所以0x时，()fx取得极小值，问题得证方法二：因为()ln(1)21xfxxaxx当0a时，当0x时，ln(1)0,0,201xxaxx，所以()0fx当0x时，ln(10,0,201xxaxx，所以()0fx所以x，'()fx