数理方程第1讲典型方程建立

数学物理方程1.王元明《数学物理方程与特殊函数》东南大学数学系2.谢鸿政等《数学物理方程》哈尔滨工业大学数学系3.谷超豪等《数学物理方程》复旦大学数学系4.王明新《数学物理方程》哈尔滨工业大学数学系课程内容：研究数学物理方程的建立、求解方法和解的物理意义分析。Green方程的导出和定解问题行波法分离变量法解析法函数法数学物理方法基本解法积分变换法差分法数值法有限元法第一章典型方程和定解条件的推导§1基本方程的建立导出数学物理方程的一般方法：确定所研究的物理量；建立适当的坐标系；划出研究单元，根据物理定律和实验资料写出该单元与邻近单元的相互作用，分析这种相互作用在一个短时间内对所研究物理量的影响，表达为数学式；简化整理，得到方程。第一章典型方程和定解条件的推导例1.弦的微小横振动设有一条拉紧的弦，长为l，平衡位置与x轴的正半轴重合，且一端与原点重合,确定当弦受垂直外力作用后的运动状态。假设与结论：（1）横振动坐标系Oxu，位移u(x,t)2uds=1+dxxtan1,uxax1x2T(x1)T(x2)ux（2）微小振动第一章典型方程和定解条件的推导（3）弦柔软、均匀.张力,密度；)(xT建立方程：取微元MM’，研究在水平方向和垂直方向MM’在不受外力的情况下的运动情况。'uxT(x)MM’xx+dx)('dxxTsgd第一章典型方程和定解条件的推导牛顿运动定律：F=m·a作用在弧段上的水平方向的力为'MM0cos'cos'TT倾角很小，即0',0近似得'TT垂直方向的力为22(,)sin'sin'uxtTTgdsdst（1）第一章典型方程和定解条件的推导sintg,sin'tg',.dsdx(,)(,),'.uxtuxdxttgtgxx22(,)tgtg'uxtTTgdxdxt于是等式（1）变成由微积分知识可知，在时刻t有（2）等式（2）可以写成1||xxdxxxttguuudxTT'uxT(x)MM’xx+dx)('dxxTsgd由于很小令，取极限得0dxxxttguuTT略去重力，可得方程,22222xuatu其中Ta2(3)弦振动方程（3）中只含有两个自变量和，其中表示时间，表示位置。由于它们描述的是弦的振动或波动现象，因而又称为一维波动方程。xttx注1.如果在弦的每单位长度上有外力作用，则方程（3）具有下列形式：F（4）2,ttxxuauf其中Ff，而外力可以是压力、重力、阻力等。第一章典型方程和定解条件的推导注2.非齐次方程齐次方程；,0,0ff例2.传输线方程研究高频传输线内电流流动规律。第一章典型方程和定解条件的推导待研究物理量:电流强度i(x,t),电压v(x,t)xRxLxGxCiiivvvR—每一回路单位的串联电阻,L—每一回路单位的串联电感，C—每单位长度的分路电容，G—每单位长度的分路电导，xxx第一章典型方程和定解条件的推导Kirchhoff第一,二定律tixLixRvvvvxGtvxCiii)()(00RitiLxvGvtvCxi微分两端对x微分两端对t微分*C相减GRvtvGLRCtvLCxvGRitiGLRCtiLCxi)()(22222222—传输线方程2222222211xvLCtvxiLCti高频传输，G=0,R=0—高频传输线方程与一维波动方程类似例3.声学方程第一章数学物理方程的导出和定解问题022sastt)(002pas0p0—声波中的空气密度相对变化量，－空气定比热与定容比热之比值，－空气处于平衡状态时的压强，－空气处于平衡状态时的密度。其中2222222zyxLapalce算子三维波动方程第一章数学物理方程的导出和定解问题dVzyxdSnE),,(44静电学基本定律：穿过闭合曲面向外的电通量等于区域内所含电量的倍，即例4静电场的势方程在区域内,静电场强度为,介电常数,电荷密度为,求静电场的势满足的方程E1),,(zyx),,(4divzyxE即dVEdVzEyExEdSznEynExnEdSnEzyxzyxdiv][)],cos(),cos(),cos([奥氏公式故dVdVE4div第一章数学物理方程的导出和定解问题),,(4graddivzyxu),,(4222222zyxzuyuxu0222222zuyuxu故即—Laplace方程—Poisson方程当内没有电荷时EuEgrad静电场是有势场，故存在势函数u,有例5.热传导方程dSdtnuzyxkdQ),,(21]),,([1ttdtdSnuzyxkQ21)]()()([ttdtdVzukzyukyxukxFourier定律：V温度温度u(xu(x,,yy,,zz;;t)t)，通过对任意一个小的体积微元通过对任意一个小的体积微元内的内的热平衡关系的研究，建立方程热平衡关系的研究，建立方程。奥高公式第一章典型方程和定解条件的推导],[21tt内，通过曲面S流进V的热量其中,c分别是物体的比热和密度。温度由),,,(1tzyxu变到),,,(2tzyxu吸收热量tVtucdVtzyxutzyxucQtt21dd)],,,(),,,([122第一章典型方程和定解条件的推导热量守恒定理21QQdtdVtucdtdVzukzyukyxukxtttt2121})]()()([{0)(2222222zuyuxuatu化简三维齐次热传导方程2ack)(如果所考察的物体内部有热源,则热传导方程为tzyxF,,,其中ctzyxFtzyxf/,,,,,,第一章典型方程和定解条件的推导fzuyuxuatu)(22222220)(22222yuxuatu二维热传导方程0)(222xuatu―维热传导方程第一章典型方程和定解条件的推导0)(2222222zuyuxuatu三维热传导方程当我们考察气体的扩散,液体的渗透,半导体材料中的杂质扩散等物理过程时,若用表示所扩散物质的浓度,则浓度所满足的方程形式和热传导方程完全相同.所以热传导方程也叫扩散方程.u第一章典型方程和定解条件的推导波动方程—声波、电磁波、杆的振动；热传导方程—物质扩散时的浓度变化规律,长海峡中潮汐波的运动，土壤力学中的渗透方程;Laplace方程—稳定的浓度分布,静电场的电位,流体的势.总结：第一章典型方程和定解条件的推导