同构式下的函数体系

学习数学领悟数学秒杀数学第五章导数315专题6同构式下的函数体系秒杀秘籍：第一讲关于同构式下的“亲戚函数”陈永清老师对同构式的评价及总结：同构解题，观察第一同构新天地，单调大舞台.明确提示要同构，五脏俱全立同构，无中生有再同构，放缩有方可同构！秒1中我们介绍了同构“母函数”以及同构的一些技巧，在这里我们继续欣赏同构对称之美，领略同构波澜壮阔之势.同构式下我们分为两条主线1．顺反同构：顺即为平移拉伸后的同构函数，反即为乘除导致的凹凸反转同构函数.2．同位同构：①加减同构是指在同构的过程中“加减配凑”，从而完成同构；②局部同构是指在同构过程中，我们可以将函数的某两个或者多个部分构造出同构式，再构造同构体系中的亲戚函数即可；③差一同构是指指对跨阶以及指数幂和对数真数差1，我们往往可考虑用同构秒杀之.关于xexxf的亲戚函数如图1：根据求导后可知：xexxf在区间1,，在区间,1，efxf11min．图1图2图3图4考点1平移和拉伸得到的同构函数如图2：1111xefexeexxx，即将xf向右平移1个单位，再将纵坐标扩大为原来的e倍，故可得xexy1在区间0,，在区间,0，当0x时，1miny．如图3：222222xfeexeexxx，即将xf向右平移2个单位，再将纵坐标扩大为原来的2e倍，故可得xexy2在区间1,，在区间,1，当1x时，eymin．如图4：111111xfeexeexxx，即将xf向左平移1个单位，再将纵坐标缩小为原来的e1倍，故可得xexy1在区间2,，在区间,2，当2x时，2min1ey．考点2乘除导致凹凸反转同构函数图5图6图7图8学习数学领悟数学秒杀数学第五章导数316如图5：xfexexyxx，即将xf关于原点对称后得到xexy，故可得xexy在区间1,，在区间,1，当1x时，ey1max．如图6：11111)1(xfeexeexyxx，即将xf关于原点对称后，向右移一个单位，再将纵坐标缩小e1倍，得到xexy1，故可得xexy1在区间2,，在区间,2，当2x时，2max1ey．如图7：110xxeyxxxefx，属于分式函数，将xf1关于原点对称后得到，故可得xeyx在区间1,0，在区间,1，当1x时，eymin．如图8：111110111xxeyxxexeefx，属于分式函数，将xf1关于原点对称后，左移一个单位，再将纵坐标缩小e1倍，故可得1xeyx在区间0,1，在区间,0，当0x时，1miny．考点3顺反同构函数图9图10图11图12如图9：xfxexxxlnlnlnln，当1,lnx，即ex1,0，当,1lnx，即,1ex，ey1min．如图10：xfxxxxlnlnln11，实现了凹凸反转，原来最小值反转后变成了最大值，当1,lnx，即,ex，当,1lnx，即ex,0，ey1max．如图11：exefexexexxlnln1ln，当1,lnex，即,1x，当,1lnex，即1,0x，1maxy．如图12：2222ln21ln21lnxfxxxx，当1,ln2x，即,ex，当,1ln2x，即ex,0，ey21max．【例1】（2019•凌源市一模）若函数2()xfxeax在区间(0,)上有两个极值点1x，212(0)xxx，则实数a的取值范围是（）A．2ea„B．aeC．ae„D．2ea【例2】（2019•广州一模）已知函数||2()xfxeax，对任意10x，20x，都有2121()(()())0xxfxfx，则实数a的取值范围是（）学习数学领悟数学秒杀数学第五章导数317A．]2,(eB．(,]2eC．[0,]2eD．[,0]2e【例3】（2019•荆州期末）函数1()lnxfxxx的单调增区间为（）A．(,1)B．(0,1)C．(0,)eD．(1,)【例4】（2019•广州期末）函数2()fxxlnxmx有两个极值点，则实数m的取值范围是（）A．1(0,)2B．(,0)C．(0,1)D．(0,)【例5】（2019•深圳月考）已知函数()lnxfxkxx在区间14[e，]e上有两个不同的零点，则实数k的取值范围为（）A．1[4e，1)2eB．1(4e，1)2eC．21[e，1]4eD．21[e，1]e【例6】（2019•陕西一模）已知函数()()xefxklnxxx，若1x是函数()fx的唯一极值点，则实数k的取值范围是（）A．],(eB．(,)eC．(,)eD．),[e【例7】（2019•保山一模）若函数lnxfxeaxx有两个极值点，则a的取值范围是（）A．(,)eB．(,2)eC．(,)eD．(2,)e【注意】关于xxyln与xxyln均可以成为模型函数，也可以作为模板来进行同构，本专题之所以这样设计是让读者思考这一系列函数的同构效用，达到举一反三的目的。例题中我们会以xxyln为模板进行求最值讨论.常用的几个以()xfxxe=?为母函数的“亲戚函数”！1.111ln1lnlnlnlnxxyxxexfxx2.1ln11111lnln1lnlnxxyxfxexxx3.11xxeyxxefx4.xxxxyxexefxe学习数学领悟数学秒杀数学第五章导数318秒杀秘籍：第二讲同构式下的常见“同构体系”考点1顺反同构【例8】（2019•南康月考）已知函数()fxxlnx，()fx为()fx的导函数．（1）令2()()gxfxax，试讨论函数()gx的单调区间；（2）证明：2()2xfxe．【例9】（2019•长春二模）已知函数()1()xfxebxbR．（1）讨论()fx的单调性；（2）若方程()fxlnx有两个实数根，求实数b的取值范围．考点2加减同构【例10】（2019•广州越秀）已知函数ln1fxxx，1xgxex．（1）求函数fx的单调区间；（2）若gxkfx对0,x恒成立，求实数k的取值范围．【例11】（2019•聊城期末）已知函数1ln(2)xfxaxbeaxa．（,ab为常数）（1）当0a时，讨论函数fx在区间(1,)上的单调性；（2）若2b，若对任意的1,x，0fx恒成立，求实数a的取值范围.学习数学领悟数学秒杀数学第五章导数319考点3局部同构【例12】（2019•广东四校）已知函数ln0xfxxeaxxx.（1）当ae时，求函数fx的单调区间；（2）讨论函数fx的零点个数.【例13】（2019•清远期末）已知函数ln,xefxaxxaRx.（1）当ae时，求fx的最小值；（2）若fx有两个零点，求参数a的取值范围.【例14】（2019•东城月考）已知函数1ln1xfxxegxkxkx，．（1）求fx的单调区间；（2）设hxfxgx，其中0k，若0hx恒成立，求k的取值范围.【例15】（2019•全国模拟）已知函数2axfxxe.（1）讨论函数fx的单调性；（2）已知函数2lngxfxxax，且函数gx的最小值恰好为1，求a的最小值.学习数学领悟数学秒杀数学第五章导数320【例16】（2019•云南调研）已知函数xfxxe，lngxaxx，aR.（1）已知00Txy，为函数fx，gx的公共点，且函数fx，gx在点T处的切线方程相同，求a；（2）若fxgx在1,上恒成立，求a的取值范围.【例17】（2018•石家庄模拟）已知函数lnfxxaxxaR.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数lnfxxaxxaR存在极大值，且极大值为1，证明2xfxex.考点4差一同构【例18】（2019•宜春月考）已知函数1xfxemx，其中e是自然对数的底数.（1）若me，求函数fx的极值；（2）若关于x的不等式ln10fxx在0+，上恒成立，求实数m的取值范围.【例19】（2019•惠州月考）已知函数xfxeaexb的图像与曲线2yx在1x处相切.（1）求实数a、b的值；（2）证明：当0x时，ln1fxxx.学习数学领悟数学秒杀数学第五章导数321【例20】（2019•衡水金卷）已知lnfxxaxa．（1）若212Fxfxx，求Fx的单调区间；（2）若1xgxefx的最小值为M，求证1M．【例21】（2019•佛山二模）已知函数ln1cosxfxexaxx，其中aR.（1）若1a，证明：fx是定义域上的增函数；（2）是否存在a，使得fx在0x处取得极小值？说明理由.五零点问题同构【例22】已知0x是方程222ln0xxex+=的实根，则关于实数0x的判断正确的是．A．0ln2x³B．01xe£C．002ln0xx+=D．002ln0xex+=【例23】若关于x的方程33klnxx只有一个实数解，则k的取值范围是．【例24】已知方程2lnlnlnxxaaax=-有3个实根，则实数a的取值范围是．【例25】已知方程22lnlnlnxaxxax=+有3个实根，则实数a的取值范围是．【例26】已知函数2lnxfxxxa，关于x的方程fxa有四个不同的实根，则实数a取值范围是（）A．()e(0，1)1，B．1e（0，）C．1e（，1）D．（0，1）学习数学领悟数学秒杀数学第五章导数322达标训练1．（2019•武汉期末）已知函数lnxfxxxae（e为自然对数的底数）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A．1(0,)eB．1(,e)eC．1(,)eD．(,)e2．（2018•荆州期末）函数1()lnxfxxx的单调增区间为（）A．(,1)B．(0,1)C．(0,)eD．(1,)3．（2018•沈阳期末）函数2()xefxx在(,)m上单调递减，则实数m的最大值为（）A．12B．0C．12D．14．已知0x是方程222ln0xxex+=的实根，则关于实数0x的判断正确的是（）A．0ln2x³B．01xe£C．002ln0xx+=D．002ln0xex+=5．已知ln0mbamem，且0ab恒成立，则实数m的取值范围为（）A．1+e，B．12+e，C．1e，D．1ee，6．设0k，若存在正实数x，使得不等式2log20kxxk…成立，则k的最大值为．7．设实数0，若对任意的(0,)x，不等式202xlnxe…恒成立，则的最小值为．8．已知