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/2020年高三一模理科数学试卷（大教育全国名校联盟）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。）1.A.B.C.D.已知集合，,则（）．2.A.B.C.D.若复数是纯虚数，则（）．3.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件已知，是两条不同的直线；、是两个不同的平面．且，，，，则””是”的（）．4.A.B.C.D.函数的图象大致为（）．5.马林·梅森（，）是世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物．梅森在欧几里得，费马等人研究的基础上对作了大量的计算，验证工作，人们为纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如（其中）的素数，称为梅森素数．若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是（）．是.素.数./A.B.C.D.开始结束输出是否6.A.B.C.D.小明有本作业本，小波有本作业本．将这本作业本混放在一起，小明从中任取两本，则他取到的均是自己的作业本的概率为（）．7.A.B.C.D.设等差数列的前项和为，且，，则（）．8.A.B.C.D.在平面直角坐标系中，已知椭圆的右焦点为．若到直线的距离为，则的离心率为（）．9.A.B.C.D.已知函数．则下列结论错误的是（）．函数的最小正周期为函数的图象关于点对称函数在上单调递增函数的图象可由，的图象向左平移个单位长度得到10.A.B.C.D.已知函数（，均为常数）的图象关于点对称，则（）．/11.A.B.C.D.已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线上的一点，且，若直线与双曲线的渐近线交于点，且为的中点，则双曲线的渐近线方程为（）．12.A.①③B.②④C.①②③D.②③④数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面．一些优美的曲线是数学形象美，对称美，和谐美的结合产物．曲线恰好是四叶玫瑰线．给出下列结论：①曲线经过个整点（即横，纵坐标均为整数的点）；②曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过；③曲线围成区域的面积大于；④方程表示的曲线在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是（）．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）13.已知向量，，且与的夹角为，则．14.定义在上的函数满足：①对任意的，，都有；②当时，，则函数的解析式可以是．15.设数列的前项和为，且，若，则．16.已知四棱锥的底面是边长为的正方形，且，若四棱锥的五个顶点在以为半径的同一球面上，当最长时，则；四棱锥的体积为．/三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分。）17.（1）（2）我国在贵州省平塘县境内修建的米口径球面射电望远镜（）是目前世界上最大单口径射电望远镜．使用三年来，已发现颗优质的脉冲星候选体，其中有颗已被确认为新发现的脉冲星．脉冲星是上世纪年代天文学的四大发现之一，脉冲星就是正在快速自转的中子星，每一颗脉冲星每两脉冲间隔时间（脉冲星的自转周期）是一定的．最小小到秒，最长的也不过秒．某一天文研究机构观测并统计了颗已被确认为新发现的脉冲星的自转周期，绘制了如图的频率分布直方图．自动周期秒频率组距在颗新发现的脉冲星中，自转周期在至秒的大约有多少颗？根据频率分布直方图，求新发现脉冲星自转周期的平均值．18.（1）（2）在中，内角，，的对边分别为，，，且满足．求．若，为边上的中线，当的面积取的最大值时，求的长．19.（1）（2）在三棱柱中，，，，且．求证：平面平面．设二面角的大小为，求的值．20.（1）已知动圆经过定点，且与定直线相切（其中为常数，且），记动圆圆心的轨迹为曲线．求的方程，并说明是什么曲线？（2）设点的坐标为，过点作曲线的切线，切点为，若过点的直线与曲线交于，两点，则是否存在直线，使得？若存在，求出直线斜率的取值范围；若不存在，请说明理由．21.（1）（2）已知函数，．讨论的单调性．若，设，证明：，使．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，计10分。）选修4-4：坐标系与参数方程22.（1）（2）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系相等的长度单位，建立极坐标系．设直线的极坐标方程为，若直线与曲线交于两点、，求的长．设、是曲线上的两点，若，求面积的最大值．选修4-5：不等式选讲23.（1）（2）已知不等式对于任意的恒成立．求实数的取值范围．若的最大值为，且正实数，，满足，求证：．/2020年高三一模理科数学试卷（大教育全国名校联盟）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。）1.A.B.C.D.【答案】【解析】已知集合，,则（）．D因为，所以．故选．2.A.B.C.D.【答案】【解析】若复数是纯虚数，则（）．C由是纯虚数，得且，所以，，因此:．故选．3.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】【解析】已知，是两条不同的直线；、是两个不同的平面．且，，，，则””是”的（）．D当时，与可能相交；当时，与可能为异面直线．故选．/4.A.B.C.D.【答案】【解析】函数的图象大致为（）．C，则，所以为偶函数，故可排除选项和；当时，，故可排除选项．故选．5.A.B.C.D.马林·梅森（，）是世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物．梅森在欧几里得，费马等人研究的基础上对作了大量的计算，验证工作，人们为纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如（其中）的素数，称为梅森素数．若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是（）．开始结束输出是否是.素.数./【答案】【解析】A（不是素数），（不是素数）；，；，；，；（不是素数），（不是素数），此时，不适合，循环结束，输出的数中，符合题意的梅森素数分别为，，，共个．故选．6.A.B.C.D.【答案】【解析】小明有本作业本，小波有本作业本．将这本作业本混放在一起，小明从中任取两本，则他取到的均是自己的作业本的概率为（）．A．故选．7.A.B.C.D.【答案】【解析】设等差数列的前项和为，且，，则（）．A设公差为，则，解得所以．故选．8.A.B.C.D.在平面直角坐标系中，已知椭圆的右焦点为．若到直线的距离为，则的离心率为（）．/【答案】【解析】A由到直线的距离，得直线的倾斜角为，所以，即，解得：．故选．9.A.B.C.D.【答案】A选项：B选项：C选项：D选项：【解析】已知函数．则下列结论错误的是（）．函数的最小正周期为函数的图象关于点对称函数在上单调递增函数的图象可由，的图象向左平移个单位长度得到D由题知，最小正周期，所以正确；当时，，所以正确；当时，，所以正确；由的图象向左平移个单位，得，所以错误．故选D.10.A.B.C.D.【答案】【解析】已知函数（，均为常数）的图象关于点对称，则（）．C将曲线先向左平移个单位，再向下平移个单位，可得的图象，而是奇函数，其图象关于原点对称，所以，，从而，/所以．故选．11.A.B.C.D.【答案】【解析】已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线上的一点，且，若直线与双曲线的渐近线交于点，且为的中点，则双曲线的渐近线方程为（）．C根据题意，点一定在左支上．由及，得，，再结合为的中点，得，又因为是的中位线，又，且，从而直线与双曲线的左支只有一个交点，在中，由，得，由①②，解得，即，则渐近线方程为．故选．12.数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面．一些优美的曲线是数学形象美，对称美，和谐美的结合产物．曲线恰好是四叶玫瑰线．给出下列结论：①曲线经过个整点（即横，纵坐标均为整数的点）；②曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过；③曲线围成区域的面积大于；④方程表示的曲线在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是（）．/A.①③B.②④C.①②③D.②③④【答案】【解析】B，解得（当且仅当时取等号），则②正确，将和联立，解得，即圆与曲线相切于点，，，，则①和③都错误；由，得④正确．综上，选．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）13.【答案】【解析】已知向量，，且与的夹角为，则．由题知，，所以．故答案为：．14.【答案】【解析】定义在上的函数满足：①对任意的，，都有；②当时，，则函数的解析式可以是．（或，也可以写成分段函数形式，答案不唯一）．/15.【答案】【解析】设数列的前项和为，且，若，则．由，得，两式相减，得，即；又，解得，数列为首项为，公比为的等比数列，所以．故答案为：．16.【答案】【解析】已知四棱锥的底面是边长为的正方形，且，若四棱锥的五个顶点在以为半径的同一球面上，当最长时，则；四棱锥的体积为．;如图：由及，得平面，即点在与垂直的圆面内运动，易知，当、、三点共线时，达到最长，此时，是圆的直径，则；又，所以平面，此时可将四棱锥补形为长方体，其体对角线为，底面边长为的正方形，易求出，高，故四棱锥体积．故答案为：；．三、解答题/（本大题共5小题，每小题12分，共60分。）17.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】我国在贵州省平塘县境内修建的米口径球面射电望远镜（）是目前世界上最大单口径射电望远镜．使用三年来，已发现颗优质的脉冲星候选体，其中有颗已被确认为新发现的脉冲星．脉冲星是上世纪年代天文学的四大发现之一，脉冲星就是正在快速自转的中子星，每一颗脉冲星每两脉冲间隔时间（脉冲星的自转周期）是一定的．最小小到秒，最长的也不过秒．某一天文研究机构观测并统计了颗已被确认为新发现的脉冲星的自转周期，绘制了如图的频率分布直方图．自动周期秒频率组距在颗新发现的脉冲星中，自转周期在至秒的大约有多少颗？根据频率分布直方图，求新发现脉冲星自转周期的平均值．．秒．第一到第六组的频率依次为，，，，，，其和为，所以，．所以，自转周期在至秒的大约有（颗）．新发现的脉冲星自转周期平均值为（秒）．故新发现的脉冲星自转周期平均值为秒．18.（1）（2）（1）（2）【答案】在中，内角，，的对边分别为，，，且满足．求．若，为边上的中线，当的面积取的最大值时，求的长．．．/（1）（2）【解析】由正弦定理及已知得，结合，得，因为，所以，由，得．在中，由余弦定理得，因为，所以，当且仅当时，的面积取得最大值，此时．在中，由余弦定理得．即．19.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）【解析】在三棱柱中，，，，且．求证：平面平面．设二面角的大小为，求的值．证明见解析．．在中，，所以，即．因为，，，所以≌，所以，即，又，所以平面．又平面，所以平面平面．/（2）由题意知，四边形为菱形，且，则为正三角形，取的中点，连接，则，以为原点，以，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，设平面的法向量为，且，，由，得，取，由四边形为菱形，得，又平面，所以，又，所以平面，所以平面的法向量为，所以，故．20.已知动圆经过定点，且与定直线相切（其中为常数，且），记动圆圆心的轨迹为曲线．/（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】求的方程，并说明是什么曲线？设点的坐标为，过点作曲线的切线，切点为，若过点的直线与曲线交于，两点，则是否存在直线，使得？若存在，求出直线斜率的取值范围；若不存在，请说明理由．，是以为焦点，以直线为准线的抛物线．存在直线，使得，此时直线斜率的取值范围为．设，由题意，得，化简得，所以动圆圆心的轨迹方程为，它是以为焦点，以直线为准线的抛物线．不妨设，因为，所以，从而直线的斜率为，解得，即，又，所以轴．要使，只需．设直线的方程为，代入并整理，得．首先，，解得或，其次，设，，则，．．故存在直线，使得，此时直线斜率的取值范围为．21.（1）（2）已知函数，．讨论的单调性．若，设，证明：，使．/（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数．证明见解析．．①当时，恒成立，当时，；当时，．所以，在上是减函数，在上是增函数．②当时，，．当时，；当时，；当时，．所以，在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数．③当时，，则在上是减函数．④当时，，当时，；当时，；当时，，所以，在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数．由题意，得．由（）可知，当，时，，．令，，则，故在上是减函