RLC串联和并联谐振电路谐振时的特性解析

§12－3谐振电路含有电感、电容和电阻元件的单口网络，在某些工作频率上，出现端口电压和电流波形相位相同的情况时，称电路发生谐振。能发生谐振的电路，称为谐振电路。谐振电路在电子和通信工程中得到广泛应用。本节讨论最基本的RLC串联和并联谐振电路谐振时的特性。一、RLC串联谐振电路图12－15(a)表示RLC串联谐振电路，图12－15(b)是它的相量模型，由此求出驱动点阻抗为图12－15)2412()(|)j(|)1(j)j(ZCLRIUZ其中)2612()1arctan()()2512()1(|)j(|22RCLCLRZ当，即时，()=0,01ωCωLLC1ω)2712(10LC式中称为电路的固有谐振角频率。LCω1＝0|Z(j)|=R,电压u(t)与电流i(t)相位相同，电路发生谐振。也就是说，RLC串联电路的谐振条件为1.谐振条件)2812(210LCff当电路激励信号的频率与谐振频率相同时，电路发生谐振。用频率表示的谐振条件为RLC串联电路在谐振时的感抗和容抗在量值上相等，其值称为谐振电路的特性阻抗，用表示，即)2912(100CLCL2.谐振时的电压和电流RLC串联电路发生谐振时，阻抗的电抗分量0100CωLωX)3012()j(0RZ导致即阻抗呈现纯电阻，达到最小值。若在端口上外加电压源，则电路谐振时的电流为)3112(SSRUZUI电流达到最大值，且与电压源电压同相。此时电阻、电感和电容上的电压分别为)328(SRUIRU)338(jjjSS00LUQURLILU)348(j1jj1SS00CUQURCICU其中)358(ρ100RRCωRLωQQ称为串联谐振电路的品质因数，其数值等于谐振时感抗或容抗与电阻之比。从以上各式和相量图可见，谐振时电阻电压与电压源电压相等，。电感电压与电容电压之和为零，即，且电感电压或电容电压的幅度为电压源电压幅度的Q倍，即SR＝UU0CLUU)3612(RSCLQUQUUU若Q1,则UL=UCUS=UR，这种串联电路的谐振称为电压谐振。图12－163.谐振时的功率和能量设电压源电压为uS(t)=Usmcos(0t)，则：)90cos()()()90cos()()cos()cos()(0SmLC0SmL0Sm0mtQUtututQUtutRUtIti由于u(t)=uL(t)+uC(t)=0(相当于虚短路)，任何时刻进入电感和电容的总瞬时功率为零，即pL(t)+pC(t)=0。电感和电容与电压源和电阻之间没有能量交换。电压源发出的功率全部为电阻吸收，即pS(t)=pR(t)。电感和电容吸收的功率分别为：)2sin()()()2sin()90cos()cos()(0SLC0S00mSmLtIQUtptptIQUttIQUtp电感和电容之间互相交换能量，其过程如下:当电流减小时，电感中磁场能量WL=0.5Li2减小，所放出的能量全部被电容吸收，并转换为电场能量，如图12-17(a)所示。当电流增加时，电容电压减小，电容中电场能量WC=0.5Cu2减小，所放出的能量全部被电感吸收，并转换为磁场能量，如图12－17(b)所示。图12—17串联电路谐振时的能量交换能量在电感和电容间的这种往复交换，形成电压和电流的正弦振荡，这种情况与LC串联电路由初始储能引起的等幅振荡相同(见第九章二阶电路分析)。其振荡角频率，完全由电路参数L和C来确定。LCω1＝0谐振时电感和电容中总能量保持常量，并等于电感中的最大磁场能量，或等于电容中的最大电场能量，即)3712(2S2L2CCLRULLICU、L、C变化对电感和电容电压UL=UC的影响。若电阻R减小一半，或电感L增加到4倍(增加一倍)，则总能量增加到4倍，这将造成电压UL=UC增加一倍。若电容C减少到l/4(Q增加一倍)，总能量不变，而电压UL=UC增加一倍。总之，R、L和C的改变造成变化的倍数与UL=UC变化的倍数相同。CLRQ122S/RLUW2CCUWCLRQ1例12-7电路如图12-18所示。已知求:(l)频率为何值时，电路发生谐振。(2)电路谐振时,UL和UC为何值。Vcos210)(Sωttu图12－18解：(l)电压源的角频率应为rad/s10rad/s1010116840LC(2)电路的品质因数为1000RLQ则V1000V10100SCLQUUU二、RLC并联谐振电路图12-19(a)所示RLC并联电路，其相量模型如图12-19(b)所示。图12－19)3812()(|)j(|)1(j)j(YLCGUIY其中)4012()1arctan()()3912()1(|)j(|22GLCLCGY驱动点导纳为1.谐振条件)4112(10LC式中称为电路的谐振角频率。与RLC串联电路相同。LCω1001LC当时,Y(j)=G=1/R，电压u(t)和电流i(t)同相，电路发生谐振。因此，RLC并联电路谐振的条件是2.谐振时的电压和电流)4212(SSSIRGIYIURLC并联电路谐振时，导纳Y(j0)=G=1/R，具有最小值。若端口外加电流源，电路谐振时的电压为SI电路谐振时电压达到最大值，此时电阻、电感和电容中电流为（见下页）)4512(jjj)4412(jjj1)4312(SS00CSS00LSRIQIRCUCIIQILRULIIUGI)4612(00LCRCRLRQ其中称为RLC并联谐振电路的品质因数，其量值等于谐振时感纳或容纳与电导之比。电路谐振时的相量图如图12-20(b)所示。由以上各式和相量图可见，谐振时电阻电流与电流源电流相等。电感电流与电容电流之和为零，即。电感电流或电容电流的幅度为电流源电流或电阻电流的Q倍，即SIIR0CLII)478(RSCLQIQIII并联谐振又称为电流谐振。图12－203.谐振时的功率和能量设电流源电流iS(t)=Ismcos(0t)，则：)90cos()()90cos()()cos()cos()(0SmC0SmL0Sm0mtQItitQItitRItUtu电感和电容吸收的瞬时功率分别为：)2sin()()()2sin()90cos(cos)(0SLC0S00SmmLtQUItptptQUIttIQUtp由于i(t)=iL(t)+iC(t)=0(相当于虚开路)，任何时刻进入电感和电容的总瞬时功率为零，即pL(t)+pC(t)=0。电感和电容与电流源和电阻之间没有能量交换。电流源发出的功率全部被电阻吸收，即pS(t)=pR(t)。能量在电感和电容间往复交换(图12－21)，形成了电压和电流的正弦振荡。其情况和LC并联电路由初始储能引起的等幅振荡相同，因此振荡角频率也是，与串联谐振电路相同。LCω10图12－21并联电路谐振时的能量交换谐振时电感和电容的总能量保持常量，即)4812(2S22C2LCLICRCULI－21并联电路谐振时的能量交换由于并联电路的电压相同，即UL=UC=RIS。当电阻R增加到2倍，或电容C增加到4倍(增加一倍)时，总储能增加到4倍，将导致电流IL=IC增加一倍。若电感减小到原值的l/4(Q增加一倍)，总能量不变，而谐振时的电流IL=IC增加一倍。总之，由R、L和C的改变引起Q值变化的倍数与IL=IC变化的倍数相同。LCRQ2LLI谐振时电感和电容的总能量保持常量，即)4812(2S22C2LCLICRCULI－21并联电路谐振时的能量交换例12-8图12-22(a)是电感线圈和电容器并联的电路模型。已知R=1,L=0.1mH,C=0.01F。试求电路的谐振角频率和谐振时的阻抗。图12－22解：根据其相量模型[图12-22((b)]写出驱动点导纳2222)(j)(j1j)j(LRLCLRRLRCY2222)(j)()j(LRLCLRRY令上式虚部为零0)(22LRLC求得22011111QLCLCRLCCLRQ1是RLC串联电路的品质因数。其中图12－22当Q1时,LCω10代入数值得到rad/s10rad/s1010110101648840谐振时的阻抗)1()()j(1)j(22000QRRLRYZ当0LR时k10)1010()()j(246200RLωωZ思考与练习12-3-l欲提高串联谐振电路的Q值，应如何改变R、L和C?12-3-2欲提高并联谐振电路的Q值，应如何改变R、L和C?图12-3-312-3-3电路如图12-3-3所示。若，问哪些单口相当于短路？哪些单口相当于开路？LCω1