5.4换元积分法

首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件一、第一类换元积分法二、第二类换元积分法§5.4换元积分法首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件2cos2xdx引例sinuCcosuducos2(2)xxdx(2)dxcos2(2)xdxsin2xC22xxedx22()xexdx22xedxueCuedu2xeC2()dx2ux令2ux2ux令2ux一、第一类换元积分法首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件;)()(CuFduufdxxg)(dxxxf)()]([)()]([xdxfduuf)(CuF)(CxF)]([观察凑微分换元回代)(xu已知)(xu（凑微分法）一、第一类换元积分法第一类换元积分法过程：2cos2xdxcosuducos2(2)xxdxcos2(2)xdx22xxedx22()xexdx22xedxuedu首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件一、第一类换元积分法如果f(u)、(x)及(x)都是连续函数且证明只要证明{F[(x)]}f[(x)](x)设F(u)f(u)由复合函数求导公式易知f[(x)](x)f(u)(x)F(u)(x){F[(x)]}()d()fuuFuC则[()]()d[(()]fxxxFxC首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件dxxg)(dxxxf)()]([)()]([xdxfduuf)(CuF)(CxF)]([观察凑微分换元回代)(xu)(xu一、第一类换元积分法第一类换元积分法过程：首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件例1求d21xxd21xx1ln|21|2xCd111dln||2122xuuCxu解(令u2x1)再将u2x1代入上式得d111dln||2122xuuCxud111dln||2122xuuCxudxxg)(dxxxf)()]([)()]([xdxfduuf)(CuF)(CxF)]([观察凑微分换元回代)(xu)(xu()faxbdx()()faxbdaxb1adxxx)12(12121)12(12121xdx首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件例2求23dxxx所以23dxxx3221(3)3xC11232113dd23xxxuuuC解(令ux23)11232113dd23xxxuuuC3213uCdxxg)(dxxxf)()]([)()]([xdxfduuf)(CuF)(CxF)]([观察凑微分换元回代)(xu)(xudxxx)2(322)2(322xdx)3(32122xdx首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件dxxg)(dxxxf)()]([)()]([xdxfduuf)(CuF)(CxF)]([观察凑微分换元回代)(xu)(xu例3求2edxxx解222211eded()e22xxxxxxC解222211eded()e22xxxxxxC解222211eded()e22xxxxxxC1()uufxxdx()uufxdx1u首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件例4求tandxx解sintanddcosxxxxx1dcosln|cos|cosxxCx类似地有cotdln|sin|xxxC解sintanddcosxxxxx1dcosln|cos|cosxxCx首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件特殊类型三角函数的积分：形如.cossinxdxxnm(1)m,n中有一个为奇数：,coscoscossinxdxfxdxxmnm为正奇数(2)m,n均为正偶数：.sinsincossinxdxfxdxxnnm为正奇数22cos1sin,22cos1cos22xxxx由降幂首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件.sin71sin52sin31753Cxxxdxxx52cossinxxdxsincossin42xdxxsinsin1sin222xdxxxsinsinsin21sin422解dxxx52cossin求首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件.4sin3212sin4183Cxxx解xdx4cosxdx4cosdxxx2cos2cos21412Cxxxx4sin321812sin4141dxxxx4cos121412sin4141dxx22cos121求首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件例5求22dxax解22d111()d2xxaaxaxax1111dd22xxaaxaax1111d()d()22axaxaaxaax11ln||ln||22axaxCaa1ln||2axCaax解22d111()d2xxaaxaxax首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件例6求cscdxxln|cscxcotx|C解1cscddsinxxxx2sindsinxxx21dcos1cosxx由于cossin()2xx可得1secddln|sectan|cosxxxxxCx解1cscddsinxxxx2sindsinxxx21dcos1cosxx11cosln||21cosxCx1cosln||sinxCx11cosln||21cosxCx首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件练习计算下列不定积分dxxxx102222Cxx|102|ln2dxxex21.1Cex22xadx.arctan1Caxa2cossinxxdx2sinxdx31cos3xC11sin224xxC首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件二、第二类换元积分法例7求不定积分d3xxx解令3(0)txt则xt23此时dx2tdt于是2d32d3xxttttx322(3)d2(3)3ttttC再将3tx回代整理后得12d2(6)(3)33xxxxCx于是2d32d3xxttttx322(3)d2(3)3ttttC首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件设x(t)单调可导且(t)0如果f(x)的原函数不易求得而复合函数f[(t)](t)的原函数F(t)易于求得则有积分法()()d[()]d()xtfxxftt令1[()]()d()[()]ftttFtCFxC1[()]()d()[()]ftttFtCFxC1[()]()d()[()]ftttFtCFxC{F[1(x)]}d()dtFtx1[()]()ddfttxtf[(t)]f(x)这是因为由复合函数求导法则与反函数求导法则{F[1(x)]}d()dtFtx1[()]()ddfttxtf[(t)]f(x){F[1(x)]}d()dtFtx1[()]()ddfttxtf[(t)]f(x){F[1(x)]}d()dtFtx1[()]()ddfttxtf[(t)]f(x)二、第二类换元积分法求微分首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件二、第二类换元积分法------根式代换例7求不定积分d3xxx解令3(0)txt则xt23此时dx2tdt于是2d32d3xxttttx322(3)d2(3)3ttttC再将3tx回代整理后得12d2(6)(3)33xxxxCx于是2d32d3xxttttx322(3)d2(3)3ttttC首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件例8求不定积分32dxxx解令6tx则xt6dx6t5dt所以5223432d611d6d6d11xttttttttttxx16(1)d6d1tttt3t26t6ln|t1|C111366366ln|1|xxxC解令6tx则xt6dx6t5dt所以解令6tx则xt6dx6t5dt所以解令6tx则xt6dx6t5dt所以5223432d611d6d6d11xttttttttttxx5223432d611d6d6d11xttttttttttxx5223432d611d6d6d11xttttttttttxx首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件例9求不定积分d1exx解令1ext则ext21xln(t21)22dd1ttxt所以2d211d()d1111exxttttt11e1ln||ln||11e1xxtCCt2(1e1)lnexxC2ln(1e1)lnexxC2ln(1e1)xxC解令1ext则ext21xln(t21)22dd1ttxt所以解令1ext则ext21xln(t21)22dd1ttxt所以解令1ext则ext21xln(t21)22dd1ttxt所以解令1ext则ext21xln(t21)22dd1ttxt所以2d211d