中考数学专题复习-全等三角形的相关模型总结(无答案)

第1页全等的相关模型总结一、角平分线模型应用1.角平分性质模型：辅助线：过点G作GE射线AC（1）.例题应用：①如图1，在中ABC，,cm4,6,900BDcmBCCABADC平分，那么点D到直线AB的距离是cm.②如图2，已知，21，43.BACAP平分求证：.图1图2①2（提示：作DEAB交AB于点E）(2).模型巩固：练习一：如图3，在四边形ABCD中，BCAB，AD=CD，BD平分BAC..求证：180CA图3练习二：已知如图4，四边形ABCD中，图4练习三：如图5，,,900CABAFDABCDACBABCRt平分，垂足为，中，交CD于点E，交CB于点F.(1)求证：CE=CF.(2)将图5中的△ADE沿AB向右平移到'''EDA的位置，使点'E落在BC边上，其他条件不变，如图6所示，是猜想：'BE于CF又怎样的数量关系？请证明你的结论.图5图6练习四：如图7，90AADBC，∠∥，P是AB的中点，PD平分∠ADC．求证：CP平分∠DCB．第2页图7练习五：如图8，AB＞AC，∠A的平分线与BC的垂直平分线相交于D，自D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：BE=CF．图8练习六：如图9所示，在△ABC中，BC边的垂直平分线DF交△BAC的外角平分线AD于点D，F为垂足，DE⊥AB于E，并且ABAC。求证：BE－AC=AE。练习七：如图10，D、E、F分别是△ABC的三边上的点，CE=BF，且△DCE的面积与△DBF的面积相等，求证：AD平分∠BAC。2.角平分线+垂线，等腰三角形比呈现辅助线：延长ED交射线OB于F辅助线：过点E作EF∥射线OB（1）.例题应用：①．如图1所示，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于F。求证：1()2BEACAB证明：延长BE交AC于点F。②．已知：如图2，在中ABC，,,ADABDBCADBAC且于交的角平分线FEDCBA图9ADECBP2143第3页分析：此题很多同学可能想到延长线段CM，但很快发现与要证明的结论毫无关系。而此题突破口就在于AB=AD，由此我们可以猜想过C点作平行线来构造等腰三角形.证明：过点C作CE∥AB交AM的延长线于点E.例题变形:如图，21，的中点为ACB，.,NFBANMFBCM于于求证：①;2BMEF②).(21FNFMFB(3).模型巩固：练习一、如图3，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。图3练习一变形：如图4，在△ODC中，，090DCEOEDCOEC的角平分线，且是，过点E作..之间的关系，并证明与猜想：线段于点交ODEFFOCOCEF图4练习二、如图5，已知△ABC中，CE平分∠ACB，且AE⊥CE，∠AED＋∠CAE＝180度，求证：DE∥BC图5练习三、如图6，AD⊥DC，BC⊥DC，E是DC上一点，AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，求证：点E是DC中点。图6练习四、①、如图7（a），AABCCEBD的外角平分线，过点分别是、、作BDAD图7（a）图7（b）图7（c）②、如图7（b），件不变；的内角平分线，其他条分别是、ABCCEBD③、如图7（c），的外角平分线，为的内角平分线，为ABCCEABCBD其他条件不变.则在图7（b）、图6（c）两种情况下，DE与BC还平行吗？它与ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，并证明你的结论.(提示：利用三角形中位线的知识证明线平行)练习五、如图8，在直角三角形ABC中，90C，A的平分线交BC于D．自C作CGAB交ADACDEBABCDE第4页于E，交AB于G．自D作DFAB于F，求证：CFDE．图8练习六、如图9所示，在ABC中，ACAB，M为BC的中点，AD是BAC的平分线，若CFAD且交AD的延长线于F，求证12MFACAB．图9练习六变形一：如图10所示，AD是ABC中BAC的外角平分线，CDAD于D，E是BC的中点，求证DEAB∥且1()2DEABAC．图10练习六变形二：如图11所示，在ABC中，AD平分BAC，ADAB，CMAD于M，求证2ABACAM．图11练习七、如图12，在ABC中，2BC，BAC的平分线AD交BC与D．则有ABBDAC．那么如图13，已知在ABC中，3ABCC，12，BEAE．求证：2ACABBE．图12图13练习八、在ABC△中，3ABAC，BAC的平分线交BC于D，过B作BEAD，E为垂足，求证：ADDE．练习九、AD是ABC的角平分线，BEAD交AD的延长线于E，EFAC∥交AB于F．求证：AFFB．3.角分线，分两边，对称全等要记全两个图形的辅助线都是在射线OA上取点B，使OB=OA，从而使OAC≌△OBC.（1）.例题应用：①、在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。2）解题思路：本题要证明的是AB+BP=BQ+AQ。形势较为复杂，我们可以通过转化的思想把左式和右式分别转化为几条相等线段的和即可得证。可过O作BC的平行线。得△ADO≌△AQO。得到OD=OQ，AD=AQ，只要再证出BD=OD就可以了。④如图（5），过P作PD∥BQ交AC于D，则△ABP≌△ADP从而得以解决。第5页小结：通过一题的多种辅助线添加方法，体会添加辅助线的目的在于构造全等三角形。而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移的，体会构造的全等三角形在转移线段中的作用。从变换的观点可以看到，不论是作平行线还是倍长中线，实质都是对三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换构造了全等三角形。②、如图所示，在ABC中，AD是BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PBPC与ABAC的大小，并说明理由．【解析】PBPCABAC，理由如下．【解析】在AB上截取AEAC，连结EP，根据SAS证得AEP≌ACP，∴PEPC，AEAC又BEP中，BEPBPE，BEABAC，∴ABACPBPC（2）、模型巩固：练习一、.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，CD＝AB＋BD，∠B的平分线交AC于点E，求证：点E恰好在BC的垂直平分线上。练习二、如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∠B的平分线交AC于D，求证：AD＋BD＝BC练习三、如图，已知△ABC中，BC＝AC，∠C＝90°，∠A的平分线交BC于D，求证：AC＋CD＝AB练习四、已知：在△ABC中，B的平分线和外角ACM的平分线相交于,,DDFBC交AC于,,EABF交于求证：EFBFCE练习五、在△ABC中，,2ABACAD平分BAC，E是AD中点，连结CE，求证：2BDCE变式：已知：在△ABC中，,2BCBD平分ABC，,ADBQD于求证：12BDAC练习六、已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,BC=DC,CF平分∠BCD,DF∥AB,BF的延长线交DC于点E.求证：（1）BF=DF；(2)AD=DE.练习七、已知如图，在四边形ABCD中，AB+BC=CD+DA，∠ABC的外角平分线与∠CDA的外角平分线交于点P.求证：∠APB=∠CPD练习八、如图，在平行四边形ABCD（两组对边分别平行的四边形）中，E，F分别是AD，AB边上EADBCACBDACBDABCDFE第6页的点，且BE、DF交于G点，BE=DF，求证：GC是∠BGD的平分线。练习九、如图，在△ABC中，∠ACB为直角，CM⊥AB于M，AT平分∠BAC交CM于D，交BC于T，过D作DE∥AB交BC于E，求证：CT=BE.练习十、如图所示，已知ABC中，AD平分BAC，E、F分别在BD、AD上．DECD，EFAC．求证：EF∥AB【补充】如图，在ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EFAD∥交CA的延长线于点F，交AB于点G，若BGCF，求证：AD为BAC的角平分线．4.中考巡礼：（1）.如图1，OP是∠AOB的平分线，请你利用图形画一对以OP为所在直线为对称轴的全等三角形，请你参考这个全等三角形的方法，解答下列问题。①、如图2，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=600，AD、CE是∠BAC、∠BCA的角平分线，相交于点F，请你判断并写出EF与DF之间的数量的关系。②、如图3，在△ABC中，∠ACB不是直角，而（1）中的其他条件不变，请问，（1）中的结论是否任然成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由。（2）.如图，在平面直角坐标系中，B（-1，0），C（1，0）D为y轴上的一点，点A为第二象限内一动点，且∠BAC=2∠BDO，过点D作DM⊥AC于M，①、求证：∠ABD=∠ACD；②、若点E在BA的延长线上，求证：AD平分∠CAE；③、当点A运动时，（AC-AB）/AM的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由。二、等腰直角三角形模型1.在斜边上任取一点的旋转全等：操作过程：（1）.将△ABD逆时针旋转090，使△ACM≌△ABD，从而推出△ADM为等腰直角三角AOMNEF图1ABCDEF图2ABCDEF图3第7页形.（但是写辅助线时不能这样写）（2）.过点C作BCMC，连AM导出上述结论.2.定点是斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等：操作过程：连AD.（1）.使BF=AE（AF=CE），导出△BDF≌△ADE.（2）.使∠EDF+∠BAC=0180，导出△BDF≌△ADE.（1）、例题应用：解析：方法一：过点C作，方法二：证明：方法一：连接AM，证明△MDE≌△MAC.特别注意证明∠MDE=∠MAC.方法二：过点M作MN⊥EC交EC于点N，得出MN为直角梯形的中位线，从而导出△MEC为等腰直角三角形.（2）、练习巩固：①已知：如图所示，Rt△ABC中，AB=AC，90BAC，O为BC中点，若M、N分别在线段AC、AB上移动，且在移动中保持AN=CM.①、是判断△OMN的形状，并证明你的结论.②、当M、N分别在线段AC、AB上移动时，四边形AMON的面积如何变化？思路：两种方法：②在正方形ABCD中，BE=3，EF=5，DF=4，求∠BAE=∠DCF为多少度.提示如右图：3.构造等腰直角三角形（1）、利用以上的1和2都可以构造等腰直角三角（略）；（2）、利用平移、对称和弦图也可以构造等腰直角三角.如下图：第8页图3-1图3-2操作过程：在图3-2中，先将△ABD以BD所在的直线为对称轴作对称三角形，再将此三角形沿水平方向向右平移一个正方形边长的长度单位，使A与M，D与E重合.例题应用：已知：平面直角坐标系中的三个点，3,01201CBA，，，，，求∠OCA+∠OCB的度数.4.将等腰直角三角形补全为正方形，如下图：图4-1图4-2例题应用：思路：构造正方形ACBM，可以构造出等边△APM，从而造出，又根据，可得，再由于，故而得到从而得证.例题拓展：若△ABC不是等腰直角三角形，即，而是，其他条件不变，求证：∠2=2∠1.练习巩固：在平面直角坐标系中，A（0,3），点B的纵坐标为2，点C的纵坐标为0，当A、B、C三点围成等腰直角三角形时，求点B、C的坐标.（1）、当点B为直角顶点：图1图2（2）、当点A为直角顶点：图3图4（3）、当点C为直角顶点：图5图6三、三垂直模型（弦图模型）由△ABE≌△BCD导出由△ABE≌△BCD导由△ABE≌△BCD导出ED=AE-CD出EC=AB-CDBC=BE+ED=AB+CD1.例题应用：例1.已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC，90BA