石墨烯电子能带结构的计算

石墨烯电子能带结构的计算摘要：本文简要阐述了石墨烯的结构和主要特性，采用碳原子的SP2杂化理论和能带理论，运用紧束缚近似方法计算了石墨的能带结构。关键词：石墨烯，结构和性质，紧束缚近似，能带结构一、引言石墨烯是一种由碳原子构成的单层片状结构的新材料。是一种由碳原子以SP2杂化轨道组成六角型呈蜂巢晶格的平面薄膜，只有一个碳原子厚度的二维材料。石墨烯目前是世上最薄，最坚硬，电阻率最小的材料。而且电子迁移的速度极快，因此被期待可用来发展出更薄、导电速度更快的新一代电子元件或晶体管。由于石墨烯实质上是一种透明、良好的导体，也适合用来制造透明触控屏幕、光板、甚至是太阳能电池。二、石墨烯结构石墨烯是由碳六元环组成的两维(2D)周期蜂窝状点阵结构,它可以翘曲成零维(0D)的富勒烯(fullerene),卷成一维(1D)的碳纳米管(carbonnano-tube,CNT)或者堆垛成三维(3D)的石墨(graphite),因此石墨烯是构成其他石墨材料的基本单元。石墨烯的基本结构单元为有机材料中最稳定的苯六元环,是目前最理想的二维纳米材料。理想的石墨烯结构是平面六边形点阵，可以看作是一层被剥离的石墨分子，每个碳原子均为sp2杂化，并贡献剩余一个p轨道上的电子形成大π键，π电子可以自由移动，赋予石墨烯良好的导电性。二维石墨烯结构可以看是形成所有sp2杂化碳质材料的基本组成单元。三、石墨烯特性1、电子运输石墨烯表现出了异常的整数量子霍尔行为。其霍尔电导为量子电导的奇数倍，且可以在室温下观测到。这个行为已被科学家解释为“电子在石墨烯里遵守相对论量子力学，没有静质量”。2、导电性石墨烯结构非常稳定。石墨烯中各碳原子之间的连接非常柔韧，当施加外部机械力时，碳原子面就弯曲变形，从而使碳原子不必重新排列来适应外力，也就保持了结构稳定。这种稳定的晶格结构使碳原子具有优秀的导电性。石墨烯中的电子在轨道中移动时，不会因晶格缺陷或引入外来原子而发生散射。由于原子间作用力十分强，在常温下，即使周围碳原子发生挤撞，石墨烯中电子受到的干扰也非常小。石墨烯最大的特性是其中电子的运动速度达到了光速的1/300，远远超过了电子在一般导体中的运动速度。这使得石墨烯中的电子，或更准确地，应称为“载荷子”(electricchargecarrier)，的性质和相对论性的中微子非常相似。石墨烯有相当的不透明度：可以吸收大约2.3%的可见光。而这也是石墨烯中载荷子相对论性的体现。3、机械特性石墨烯是人类已知强度最高的物质，比钻石还坚硬，强度比世界上最好的钢铁还要高上100倍。研究人员发现，在石墨烯样品微粒开始碎裂前，它们每100纳米距离上可承受的最大压力居然达到了大约2.9微牛。四、石墨烯电子能带计算石墨烯是由碳六元环组成的二维周期蜂窝状点阵结构，如图1左边所示。每个碳原子都具有四个价电子，按平面正三角形等距离的和3个碳原子相连，每个碳原子以sp2杂化和周围的3个碳原子形成3个σ键。它们的波函数形式为：式中)ψc（2s）和ψc（σi，2p）分别为2s、δi方向上2p轨道的波函数。在垂直于石墨层的方向上还剩余的一个2pz道和一个价电子与近邻原子相互作用形成贯穿于整个石墨层的离域π键。由于位于平面内σ键的3个电子不参与导电，因此我们在计算石墨烯的能带结构时只考虑位于π键上的那一个电子。石墨烯的每个原胞包含两个不等价的碳原子A和B，它们之间的键长a=1.42Å。如图1左边所示，取晶的基矢为：那么对应的石墨烯晶格K空间的倒格子基矢为：由此，可以计算出石墨烯倒空间中第一布里渊区六个顶点的坐标位置，分别为：如图1右边所示。与晶格相对应，倒空间的每个原胞也只包含两个不等价的点，即图1右边所标示的K和K’点。每个碳原子A有3个最近邻的碳原子B，它们之间的连接矢量分别为：我们选择一组紧束缚下的归一化基矢{ϕ1ϕ2}，其中N为晶体的原胞数，φ(r)为碳原子pz轨道的波函数，矢量Rj=na1+ma2为第j=(n,m)个原胞的位矢，RjA、RjB则分别为第j个原胞中A原子和B原子的位矢。在紧束缚近似下，石墨烯体系的波函数可由原子轨道线性组合得到，这种组合通常可以表示为：其中c1和c2为组合系数。系统波函数满足薛定谔方程Hψ(r)=Eψ(r)，故将（10）式代入有：用ϕ1左乘（11）式，可得：同理，用ϕ2左乘（11）式，可得：通常情况下认为不同碳原子间的pz轨道是不会发生交叠的，即（ϕiϕj=δji）。为方便描述，分别将上式简写为：其中方程（14）和（15）组成系数c1、c2的线性齐次方程组。根据线性代数理论，要使这个方程组有一组非零的解，则需满足：解这个行列式即可得本征能量的关系式：再回过头来看看H12、H22、H11：在紧束缚近似下，只考虑最近邻原子间的相互作用。而对于每一个碳原子来说，它有3个最近邻原子，因此将（5）、（6）、（7）式代入（20）式，有将（18），（19），（21）代入（17）中有，由于能带的值是相对的，所以可令εpz=0，则石墨烯的能量本征值表达式为：式中的正负号分别对应导带和价带，kx和ky是倒格矢k在(x,y)上的分量。根据石墨烯的能量本征值表达式，利用Matlab程序可画出石墨烯的能带结构图[5]，如图2右边所示。从能带结构图可以发现，石墨烯的能带在E=0的六个点上连续，这六个点就是石墨烯第一布里渊区的六个顶点（图1右边），这些点亦称为Dirac点。图2右边就是其中一个Dirac点附近的能带放大图。将第一布里渊区六个顶点的数值代入石墨烯的能量本征值表达式中，可以计算出这些点处的能量E=0，这也证明了石墨烯的能带相交于石墨烯第一布里渊区的六个顶点处。由于每个碳原子贡献一个π电子，因此石墨烯的价带恰好填满，而导带全空，这样费米面就刚好处于价带和导带相交的顶点处，由此可知石墨烯是一带隙为零的半导体。五、结论本文介绍了石墨烯的结构和特性以及在石墨烯能带结构计算上的详细过程，通过分析可知石墨烯的价带与导带相交于第一布里渊区的六个顶点上，说明石墨烯是一种零带隙的半导体，为石墨烯具有独特的电学性质提供了理论上的解释，同时也为石墨烯性能的进一步研究提供理论基础。此外，本文还展示了现代化数学软件Matlab的作图，将数学公式图形化，可以更清楚直接得到结构。参考文献：1.《缺陷对石墨烯电子结构的影响》苗亚宁2.《石墨烯结构性能和应用》李熊杰3.《石墨烯电子能带结构的计算》黄铁铁4.《石墨烯能带结构的紧束缚计算》梁先庆5.《石墨烯弯曲形变的电子结构和特性的研究》傅青方6.黄昆，韩汝琦.固体物理学[M].北京：高等教育出版社，1997.7.冯端，金国钧.凝聚态物理学[M].北京：高等教育出版社，2003.8.王永龙，张兆忠，张桂红.Matlab语言基础与应用[M].北京：电子工业出版社，2010.