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专题04图形规律探索【例1】（2018·河师大附中模考）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OA1A2的直角边OA1在y轴的正半轴上，且OA1=A1A2=1，以OA2为直角边作第二个等腰直角三角形OA2A3，以OA3为直角边作第三个等腰直角三角形OA3A4，…，依此规律，得到等腰直角三角形OA2017A2018，则点A2017的坐标为【答案】（0，21008）.【解析】解：由题意知：A1(0,1)，A2(1,1)，OA2=A2A3=2，OA3=2，∴A3(2,0),同理，A4(2,－2)，A5(0,－4)，A6(－4,－4)，A7(－8,0)，A8(－8,8)，A9(0,16)……每隔8个点恰好处于同一坐标系或象限内，2017÷8=252……1，OxyA1A2A3A4A5A6A7A8即点A2017在y轴正半轴上，横坐标为0，各点纵坐标的绝对值为：20,20,21,21,22,22,23,23，……2017÷2=1008……1，可得点A2017的纵坐标为：21008，故答案为（0，21008）.【变式1-1】（2019·济源一模）如图，在一个单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1(2，0)，A2(1，-1)，A3(0，0)，则依图中所示规律，A2019的横坐标为（）A．-1008B．2C．1D．1011【答案】A.【解析】解：观察图形可知，奇数点在x轴上，偶数点在象限内，所以A2019在x轴上，A1，A5，A9，A13……，A4n－3在x正半轴，4n－3=2019，n=505.5，所以A2019不在x正半轴上；A3（0,0），A7（－2,0），A11（－4,0），A15（－8,0）……，3=4×0+3，7=4×1+3，11=4×2+3，15=4×3+3，……，2019=4×504+3，∴－2×504=－1008，即A2019的坐标为（－1008，0），故答案为：A.【变式1-2】（2019·洛阳三模）如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，称为一次旋转，依此方式，……，绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019，如果点A的坐标为(1，0)，那么点B2019的坐标为.【答案】（－2,0）.【解析】由旋转及正方形性质可得：B(1,1),B1(0,2)，B2(－1,1)，B3(－2,0)，B4(－1,－1)，B5(0,－2)，B6(1,－1)，B7(2,0)，B8(1,1)，……∴360÷45=8，2019÷8=252……3，∴点B2019落在x轴负半轴上，即B2019(－2,0)，故答案为：（－2,0）.【例2】（2017·新野一模）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺指针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…，若点A（53，0），B（0，4），则点B2016的横坐标为（）A．5B．12C．10070D．10080【答案】D．【解析】解：由图象可知点B2016在第一象限，∵OA=53，OB=4，∠AOB=90°，在Rt△BOA中，由勾股定理得：AB=133，可得：B2（10，4），B4（20，4），B6（30，4），…∴点B2016横坐标为10080．故答案为：D．【变式2-1】（2019·开封二模）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如1，3，6，10…）和“正方形数”（如1，4，9，16…），在小于200的数中，设最大的“三角形数”为m，最大的“正方形数”为n，则m+n的值为（）A．33B．301C．386D．571【答案】C．【解析】解：由图形知：第n个三角形数为1+2+3+…+n＝12nn，第n个正方形数为n2，当n＝19时，12nn＝190＜200，当n＝20时，12nn＝210＞200，所以最大的三角形数：m＝190；当n＝14时，n2＝196＜200，当n＝15时，n2＝225＞200，所以最大的正方形数：n＝196，则m+n＝386，所以答案为：C．1.（2017·信阳二模）如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°．连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACC1D1，使∠D1AC=60°；连接AC1，再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2，使∠D2AC1=60°；…，按此规律所作的第n个菱形的边长为．【答案】13n．【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，∴AB=BC=1，∠ACB=∠CAB=30°，∴AC=3AB=3，同理可得：AC1=3AC=（3）2，AC2=3AC1=33=（3）3，……第n个菱形的边长为：13n，故答案为：13n．2.（2017·禹州二模）如图，在平面直角坐标系中，∠AOB=30°，点A的坐标为（2，0），过点A作AA1⊥OB，垂足为点A1，过A1作A1A2⊥x轴，垂足为点A2；再过点A2作A2A3⊥OB，垂足为点A3；再过点A3作A3A4⊥x轴，垂足为点A4…；这样一直作下去，则A2017的横坐标为（）A．32•（32）2015B．32•（32）2016C．32•（32）2017D．32•（32）2018【答案】B．【解析】解：∵∠AOB=30°，点A坐标为（2，0），∴OA=2，∴OA1=32OA=3，OA2=32OA1=2×232，OA3=32OA2=2×332…，∴OAn=（32）nOA=2（32）n．∴OA2018=2×（32）2018=32•（32）2016故答案为：B．3.（2018·安阳一模）如图，函数4022824xxxyxx的图象记为C1，它与x轴交于点O和点A1，将C1绕点A1选择180°得C2，交x轴于点A2……，如此进行下去，若点P(103，m)在图象上，则m的值是（）A.-2B.2C.-3D.4【答案】A．【解析】解：由图可知：横坐标每间隔8个单位，函数值相同，即函数图象重复周期为8，103÷8=12……5，当x=5时，y=－2，即m=－2，故答案为：A.4.（2019·郑州二模）如图，弹性小球从点P(0，1)出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形DABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为P1(-2，0)，第2次碰到正方形的边时的点为P2，……，第n次碰到正方形的边时的点为Pn，则点P2019的坐标是（）A．(0，1)B．(-4，1)C．(-2，0)D．(0，3)【答案】D．【解析】解：根据图象可得：P1(-2,0)，P2(-4,1)，P3(0,3)，P4(-2,4)，P5(-4,0)，P6(0,1)，P7（－2,0）……2019÷6=336……3，即P2019（0,3），故答案为：D.5.（2019·偃师一模）如图，在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，点B在y轴上，OA=1，先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2019次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2019的坐标为（）A.(1010,0)B.(1310.5,32)C.(1345,32)D.(1346,0)【答案】D.【解析】解：连接AC，如图所示．∵四边形OABC是菱形，∴OA=AB=BC=OC．∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形．∴AC=AB．∴AC=OA．∵OA=1，∴AC=1．由图可知：每翻转6次，图形向右平移4．∵2019=336×6+3，∴点B3向右平移1344（即336×4）到点B2019．∵B3的坐标为（2，0），∴B2019的坐标为（1346，0），故答案为：D．6.（2019·新乡一模）如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0），B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1，△2，△3，△4，…，则△2019的直角顶点的坐标为（）A．（8076，0）B．（8064，0）C．（8076，125）D．（8064，125）【答案】A．【解析】解：∵点A（﹣3，0）、B（0，4），由勾股定理得：AB＝5，由图可知，三个三角形为一个循环，经历一次循环前进的水平距离为：12，2019÷3＝673，直角顶点在x轴上，673×12＝8076，∴△2019的直角顶点的坐标为（8076，0）．故答案为：A．7.（2019·西华县一模）如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x和y=﹣x的图象分别为直线l1，l2，过点（1，0）作x轴的垂线交l1于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l1于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，…依次进行下去，则点A2017的坐标为．【答案】（21008，21009）．【解析】解：由图可知：A1（1，2），A2（﹣2，2），A3（﹣2，﹣4），A4（4，﹣4），A5（4，8），…，∵2017=504×4+1，∴点A2017在第一象限，∵2017=1008×2+1，∴A2n+1（（﹣2）n，2（﹣2）n）（n为自然数）．∴A2017的坐标为（（﹣2）1008，2（﹣2）1008）=（21008，21009）．故答案为：（21008，21009）．8.（2019·郑州联考）如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2018次得到正方形OA2018B2018C2018，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2018的坐标为（）A．（1，1）B．（0，2）C．（2，0）D．（﹣1，1）【答案】D．【解析】解：∵四边形OABC是正方形，OA＝1，∴B（1，1），连接OB，在Rt△OAB中，由勾股定理得：OB＝2，由旋转性质得：OB＝OB1＝OB2＝OB3＝…＝2，∴B1（0，2），B2（﹣1，1），B3（﹣2，0），…，360÷45=8，每8次一循环，2018÷8＝252……2，∴点B2018的坐标为（﹣1，1）.故答案为：D．9.（2019·安阳二模）将直角三角形纸板OAB按如图所示方式放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，OB＝4，OA＝23．将三角形纸板绕原点O逆时针旋转，每秒旋转60°，则第2019秒时，点A的对应点A′的坐标为（）A．（﹣3，﹣3）B．（3，﹣3）C．（﹣3，3）D．（0，23）【答案】A．【解析】解：360÷60=6，即每6秒一循环，2019÷6=336……3，即2019秒时，点A与其对应点A′关于原点O对称，∵OA＝4，∠AOB＝30°，可得：A(3,3)，∴第2019秒时，点A的对应点A′的坐标为(－3,－3)，故答案为：A.10.（2017·预测卷）正方形ABCD的位置在坐标中如图所示，点A、D的坐标反别为（1，0）、（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去，第2017个正方形的面积为【答案】4032352．【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA1=90°=∠DOA，∴∠ADO+∠DAO=90°，∠DAO+∠BAA1=90°，∴∠ADO=∠BAA1，∵∠DOA=∠ABA1，∴△DOA∽△ABA1，∴112OABAODAB，由勾股定理得：AB=AD=5，∴BA1=52，∴第2个正方形A1B1C1C的边长A1C=A1B+BC=352，面积=2352，同理，第3个正方形的面积为：233522，第4个正方形的面积为：23335222，……∴第2017个正方形的面积为：4032352