燃料最优控制问题探究

燃料最优控制问题探究0引言随着社会科技的不断发展，人们的生活水平、生活质量有了质的飞跃。但是，这些都对能源提出了更高的要求，科学技术的发展也离不开能源的支持。就目前探明的能源情况来看，现有能源最多能够满足我国几十年的使用。为了国家的长久发展，寻找新能源迫在眉睫，同时，节约能源也同样重要。因此，能源的利用效率就非常重要，这就必须要考虑到能源的最优化实现，尤其是燃料的最优化实现。在实际工程中，常常需要考虑使控制过程中的能量消耗最小，从而达到节约燃料、提高续航和安全的目标。例如，在航空航天领域中，航天器大多采用燃料燃烧所产生的发动机推力或力矩来进行控制的，从节约燃料、节省成本和延长续航时间角度考虑，实现燃料消耗最小非常重要。此外，燃料消耗是卫星相对轨道转移任务中最为关注的问题，因为它直接决定了卫星的使用寿命。在其他诸如燃料电池轿车动力系统、发动机燃料最优控制系统等问题中，燃料最优控制也是十分重要的。1燃料最优控制问题描述设燃料消耗率以非负量表示，则控制过程中的燃料消耗总量为0()ftFtdt(1)一般地说，燃料消耗率与控制向量（推力或力矩）有确定关系，即。下面考虑关系式1     (0)rjjjjcuc(2)它的物理意义是，当推力或力矩增加时，燃料消耗成比例地增加，其比例系数为。发动机推力或力矩不能任意大而受限制，即      1,2,,jjuMjr(3)为了保证控制过程中燃料最省，控制的性能指标可以选为消耗燃料总量001ffrttjjjJQtdtcudt(4)但是，在研究燃料最优控制问题时，还应该同时考虑过渡过程时间。因为末值时刻自由，从燃料消耗最优出发，就可能导致过长的时间；而强调时间，又有可能使燃料过多消耗。所以，考虑燃料消耗的快速控制问题的性能指标时，一种较好的选择是采用时间加权性能指标，即0011ffrrttfjjjjjjJtcudtcudt(5)式中，是大于零的加权系数，它体现了对时间的重视程度。当时，不计及时间，只考虑燃料消耗；当时，不计及燃料消耗，只考虑时间最快。式(5)为性能指标的最优控制问题称为燃料消耗的快速控制问题，又称时间-燃料最优控制问题。因为燃料最优控制问题的性能指标比较复杂，多以燃料最优控制的理论研究也比较困难。本文仅以二次积分模型为例来说明燃料最优控制问题。2燃料最优控制理论综述1)二次积分模型二次积分模型的状态方程为122()()()()xtxtxtut(6)控制受限|()|1,0,futtt(7)系统的初始状态为110220(0),(0)xxxx(8)末值状态为12(t)0,(t)0,fffxxt自由(9)性能指标为0|()|ftJutdt(10)要求在状态方程的约束下，寻求满足式(7)的最优控制,使系统从转移到,同时使J取最小值。由于控制受到约束，且性能指标中的被积函数不满足可微条件，因此不能用变分法求解该问题，只能用极小值原理来求解。系统是能控的，最优控制问题的解存在。2)极小值原理对于如下时变系统、积分型性能指标、末端固定、tf自由和控制受约束的最优控制问题：0()00min()(,,)dt..()(,,),x(t)x(),fttutfffJuLxutstxtfxutxtxt自由(11)式中()nxtR，为系统状态向量；()mutR，为系统控制向量；为容许控制；()ut是在内取值的任何分段连续函数；末态()fxt固定；末端时刻ft自由。假设函数(,)fxu在任意有界集上对变量x满足李卜希茨条件：当1为有界集时，存在一常数0a,使得只要12xxx、，对于任意1u，有1212|(,)(,)|||fxufxuaxx则对于最优解()ut和ft，以及相应的最优轨线()xt，必存在非零的n维向量函数()t，使得①()xt及()t满足下述正则方程()Hxt(12)()Htx(13)式中哈密顿函数(,,)(,,)()(,,)THxutLxuttfxut(14)②()xt及()t满足边界条件00()xtx(15)(t)ffxx(16)③哈密顿函数相对最优控制取绝对极小值()(),(),(),min(),(),(),utHHxttuttHxttutt(17)④在最优轨线末端哈密顿函数应满足()[(),(),(),]0fffffHtHxttutt(18)3)问题求解根据极小值原理，燃料最优控制问题最优解的必要条件为①正则方程令哈密顿函数为122|()|()()()()Huttxttut(19)则有12111221220,HHxxxHHxux(20)②边界条件11102202(t)0(0),(0)(t)0ffxxxxxx(21)③极小值条件22|()|()()|()|()()uttututtut(22)④H函数变化率122()|()|()()()()0ffffffHtuttxttut(23)由式(22)知，哈密顿函数H对最优控制轨线()ut取极小值，等价于下列函数2()|()|()()Ruuttut(24)对最优控制()ut取极小值。其中，()ut与2()t的关系如下图1所示。0-111-12()t()ut图1()ut与2()t的关系图即22222()1,()1()0,1()1()1,()10()1,()11()0,()1uttuttuttuttutt(25)由式(25)可知，最优控制轨线的完全确定，取决于2()t的性质。根据2()t性质的不同，燃料最优控制问题可以分为正常与奇异两种情况。(1)正常情况若在时间区间0,ft上，2|()|1t只在有限点上成立，则最优控制()ut可取-1,0,+1三个值，且在这三个值上转换。(2)奇异情况若在时间区间0,ft上，至少存在一段时间间隔12,0,fttt，在其上有2|()|1t，则属于奇异情况。此时，最优控制轨线()ut由正常弧段和奇异弧段两部分组成。3实践——有限推力轨道转移燃料最优控制有限推力下最小燃料消耗轨道转移问题的最优控制问题模型可描述如下030max1max00min()||()(/)||(0),(0),(())0||1ftfiiifJmtudtxfxTmufmUTuxxmmhxtu(26)式中，maxT为发动机推力的最大幅值，控制123(,,)uuuu为推力在轨道坐标系中方向分量。卫星的轨道运动学方程的状态常用一种称为MEE的轨道根数TxyxyxPeehhL和质量m来表示。对于轨道转移任务，要求初始轨道和目标轨道是不同的，因而最优控制是非空的。问题满足的初值边界条件用MEE可描述为0000000007,,e,,,,,xyxyxmPehhLmR(27)而终端边界条件则为(),,,,,0ffffffxxyyxxyyhxPPeeeehhhhLL(28)为使问题便于解决，作以下假设(1)系统模型的状态始终满足路径约束(,)|P0,|,|1,xyeAxmeemm(29)即卫星在椭圆域内飞行，在地心坐标系下位置向量幅值始终大于地球半径，em为无燃料的卫星质量。(2)最终飞行时间ft要严格大于最短轨道转移时间minft。(3)卫星在终端时质量满足femm且是自由的。问题满足可控性条件，在满足假设(1)~(3)及非空最优控制约束的条件下，存在时间固定时的燃料最优可行解。解燃料最优的性能指标取为Lagrange型，应用极小值原理，系统的哈密顿函数为30max0max1||/miiiHpUTpuHTmuH(30)式中，0p为大于0的常数，通常取为1；,,0,iiHpfiL；3为Hamiltonian提升；,mpp分别为状态,xm对应的协状态。根据极小值原理可知,mptpt不同时为0时，应用Cauchy-Schwarz不等式，令123,,HHHH,取01p，则式(30)有maxmax01||||||mTHUTpuHHum(31)则当,0uTHT时式(31)取等号。因此令,,,mzxmpp，当123,,HHHH不为0时，最小H函数的解可写成()/||,()0,1uTzHHTz(32)定义切换函数maxmax,1/||mStzUTpTmH(33)则当0H时，最优控制为/||,,0()/||,,00,,0HHStzutTHHStzStz(34)其中0,1T,而当0H时，则有maxmaxmax()0,1,10()0,1,10()0,10mmmutSUTputBUTputUTp(35)由上述分析可知，最优控制函数是由Bang-Bang弧和奇异子弧所组成。上述问题中当0,,0HStz时的奇异控制无法确定，即使假设0,,0HStz即不存在奇异弧时，在数值上应用打靶法求解燃料最优轨道转移仍然非常困难。需要说明的是，应用的是极小值原理，若应用极大值原理，取01p，相应的最优控制的表达式会取相反的符号。