专题-物理-L28-万有引力计算天体质量和密度问题

万有引力计算天体质量和密度物理专题一、天体质量计算的几种方法万有引力定律从动力学角度解决了天体运动问题．天体运动遵循与地面上物体相同的动力学规律．行星(或卫星)的运动可视为匀速圆周运动，由恒星对其行星(或行星对其卫星)的万有引力提供向心力．应用万有引力定律，不仅可以计算太阳的质量，还可以计算其他天体的质量．下面以地球质量的计算为例，介绍几种计算天体质量的方法：(1)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T，半径为r，根据万有引力等于向心力，即＝m月r2，可求得地球质量M地＝.(2)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的半径r和月球运动的线速度v，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得G＝m月.解得地球的质量为M地＝rv2/G.(3)若已知月球运行的线速度v和运行周期T，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得G＝m月·v·G＝m月.以上两式消去r，解得M地＝v3T/(2πG)．(4)若已知地球的半径R和地球表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于地球对物体的引力，得mg＝G，解得地球质量为M地＝.由以上论述可知，在万有引力定律这一章中，求天体质量的方法主要有两种：一种方法是根据天体表面的重力加速度来求天体质量，即g＝G，则M＝，另一种方法是根据天体的圆周运动，即根据天体做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供，列出方程：G＝mr＝m＝mω2r来求得质量M＝＝＝用第二种方法只能求出圆心处天体质量(即中心天体)．二、天体密度的计算(1)利用天体表面的重力加速度来求天体的自身密度．由mg＝和M＝ρ·πR3，得ρ＝.其中g为天体表面重力加速度，R为天体半径．(2)利用天体的卫星来求天体的密度．设卫星绕天体运动的轨道半径为r，周期为T，天体半径为R，则可列出方程：G＝mr，M＝ρ·πR3，得ρ＝＝＝.当天体的卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度为：ρ＝.3πGT2例题1已知海王星的直径为地球直径的4倍，海王星表面的重力加速度与地球表面重力加速度大致相等，试估算海王星的质量．(已知地球质量M地＝6.0×1024kg)解析：设海王星质量M海，半径为R海，地球质量M地，半径R地，对海王星而言，处于海王星表面的物体受到海王星作用的重力就是海王星与物体之间的万有引力．即mg海＝G可得g海＝同理地球表面的重力加速度g地＝因g海≈g地，所以G＝GM海＝16M地＝9.6×1025kg.例题2在某行星上宇航员用弹簧秤测质量为m的物体的重力为F，乘宇宙飞船在靠近该行星的空间飞行，测得其环绕周期为T，根据这些数据求该星球的质量．解题思路：在行星表面的物体的重力等于行星对它的万有引力，在行星附近飞行的飞船，由万有引力提供其做圆周运动的向心力．解析：设行星的质量为M，半径为R，表面的重力加速度为g，由万有引力定律得F＝mg＝①飞船沿星球表面做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得＝mR②联立以上两式得例题3假设在半径为R的某天体上发射了一颗该天体的卫星，若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T0.已知万有引力常量为G，则该天体的平均密度是多少？若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得在该处做圆周运动的周期为T，则该天体的密度又是多少？解析：利用公式M＝，计算出天体质量，再利用ρ＝计算天体的密度．其中r为天体运动的轨道半径，R为中心天体的半径，只有贴近中心天体表面运行时才有r＝R.设卫星的质量为m，天体的质量为M，卫星在天体表面运行时，G＝mR，得M＝根据数学知识星球的体积V＝4/3πR3.所以天体的密度ρ＝M/V＝若卫星距天体表面高为h处运行，则有本课小结动力学分析计算方法典型例题下节课再见一、计算天体的质量1．地球质量的计算利用地球表面的物体，若不考虑地球自转，质量为m的物体的重力等于地球对物体的万有引力，即mg＝，则M＝，由于g、R已经测出，因此可计算出地球的质量．GMmR2gR2G2．太阳质量的计算利用某一行星：由于行星绕太阳的运动，可看做匀速圆周运动，行星与太阳间的万有引力充当向心力，即G＝mω2r，而ω＝，则可以通过测出行星绕太阳运转的周期和轨道半径，得到太阳质量M＝.3．其他行星质量的计算利用绕行星运转的卫星，测出该卫星绕行星运转的周期和轨道半径同样可得出行星的质量．一、天体质量的估算（以地球质量的计算为例）1.已知卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T，半径为r，二、天体密度的估算1.密度公式只要先得出天体的质量和半径就可代入此式计算天体的密度.2.计算天体密度的两种常用方法（1）由天体表面的重力加速度g和半径R求此天体的密度.343MR，32433.4MmmgGMRRgGR由和，得巩固练习1：宇航员在某星球表面，将一小球从离地面为h高处以初速度v0水平抛出，测出小球落地点与抛出点间的水平位移为s，若该星球的半径为R，万有引力恒量为G，求该星球的质量多大？巩固练习2：地球绕太阳公转的轨道半径为1.49×1011m，公转的周期是3.16×107s，太阳的质量是多少？解析：设该星球表面重力加速度为g，物体水平抛出后经时间t落地，则h＝gt2①s＝v0t②该星球质量M：g＝③由①②③式得M＝.12GMR22hv20R2Gs2（2）若天体的某个卫星的轨道半径为r，周期为T，则由特别提醒要注意R、r的区分.R指中心天体的半径，r指行星或卫星的轨道半径.若绕近地轨道运行，则有R=r.232232344,33.MmGmrMRrTrGTR和得M＝根据数学知识星球的体积V＝πR3.所以天体的密度ρ＝＝＝.若卫星距天体表面高为h处运行，则有G＝m(R＋h)4π2R3GT20·43πR3MV4π2R3GT203πGT20434π2T2MmR＋h21.天文学家根据观察研究得出：银河系中心可能存在一个大“黑洞”，距“黑洞”6×109km的星球以2.0×106m/s速度绕它旋转．已知万有引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，求该“黑洞”的质量．2．太空中有一颗绕恒星做匀速圆周运动的行星，此行星上一昼夜的时间是6h，在行星的赤道处用弹簧测力计测量物体的重力的读数比在两极时测量的读数小10%.已知引力常量G＝6.7×10－11N·m2/kg2，求此行星的平均密度．解析：设在赤道和两极处重力的读数分别为F1和F2，在赤道上，物体受万有引力和拉力F1作用绕行星做圆周运动，由牛顿第二定律得G－F1＝mR在两极上，物体平衡，有G＝F2又F2－F1＝10%F2得M＝MmR24π2T2MmR240π2R3GT2