川大信号与系统习题集及答案

习题一（解）1.1已知连续时间函数)(tf如图P1.1所示，绘出函数)2(-tf、)22(+tf、)1(tf-、)()(tutf和)2/1()(-ttfd的波形。1.2已知离散函数][kf如图P1.2所示，绘出函数][][kukf、][][kukf-、]2[][+kukf、][]3[kukf-+-和]2[][-kkfd的波形。PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion已知连续时间函数)(tx是一半径为1的半圆，如图P1.3所示。试分别绘出该函数的奇函数部分)(otx和偶函数部分)(etx的图形。1.4利用冲激函数的定义计算下列各式：(1)2ede2)-(=∫∞∞-tttd(2)0d)()2(2=--∫∞∞-ttttd(3)1sind)1(sin=-∫∞∞-ttttd(4)2d)4(2=-∫∞∞-ttd1.5将下列用直角坐标表示的复数转化为极坐标表达式，并画出矢量图。(1)4je222j2p-=-(2)2j2e21j21)j1(p=-+=+(3)4j43j2je22e2ej1jppp-==+-(4)⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛-⎟⎠⎞⎜⎝⎛---==-+34tanj234tanj34tanj111ee5e54j34j3(5)⎟⎠⎞⎜⎝⎛+==+4)2(anj4j)2(anj4j-11-e5ee5)e2j1(pppttPDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion已知离散时间信号(1))43sin(kp(2))25sin(k(3))4sin(kp(4))43sin(k试简略绘出它们的图形。判别它们是否为周期函数。若为周期函数求出其周期。(1)N=8(3)N=8(2)(4)非周期1.7已知一离散时间系统的输入][kf与输出][kr的关系为：]1[][o+=kfkr，即输出等于函数]1[+kf的奇函数部分。试通过数学表达式的推导，确定该系统是否是一个线性系统，是否是一个时不变系统。解：将系统的输入-输出关系表示为][][11krkf→，][][22krkf→（1）若令输入][][][21kfkfkfba+=输出应为2]1[]1[]1[]1[2]1[]1[]1[]1[2]1[]1[]1[][22112121o⎭⎬⎫⎩⎨⎧+--++⎭⎬⎫⎩⎨⎧+--+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-++--⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++=+--+=+=kfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkrbbaababa][][2]1[]1[2]1[]1[212211krkrkfkfkfkfbaba+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+--++⎭⎬⎫⎩⎨⎧+--+=所以系统是线性的。PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion（2）若令][][1kkfd=，输出应为]1[+kd的奇函数部分2]1[]1[][1+--+=kkkrdd若令]1[][2-=kkfd，输出应为][]11[kkdd=+-的奇函数部分02][][2]1)1[(]1)1[(][2=--=+---+-=kkkkkrdddd显然，][2]2[][2]1)1([]1)1[(]1[21krkkkkkr≠+--=+---+-=-dddd所以系统不是时不变的。1.8已知一初始状态为零的线性时不变系统，当输入为)2()()(1--=tututf时，输出为)]1()1()(2)1()1[(5.0)(1--+-++=tutttututtr试绘出当该系统输入为=)(2tf)]3()2([)]1()([---+---tutututu时，输出)(2tr的波形。解：)1()()]3()1([)]2()([)]3()2([)]1()([)(112-+-=---+---=---+---=tftftututututututututf所以)]2()2()1()1(2)([5.0)]1()1()(2)1()1[(5.0)1()()(112--+---+--+-++-=-+-=tuttutttututttututtrtrtr)(2tf)(1tf-)1(1-tf)(1tf)(1tr)1(1-tr)(1tr-)(2trPDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion已知一初始状态为零的线性时不变系统，当输入为)(td时有输出)(e22tut-。试求当输入)(tf如图P1.9时，系统的输出)(tr。解：)3()]2()1([)(----+=ttututfd1.10已知电路如图P1.10，列出以)(sti为输入)(tvC为输出时该系统的输入—输出方程。解：KCL)()()(tititiSRL=+KVL)()()(tvtvtvLCR=+ConstitutiveRelations)()(ddtitvtCCC=,)(dd)(titLtvLL=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+)(dd)(dd)()(ddtvtCtitLtvtvtRCCsCC)(dd)()(dd)(ddddtitLtvtvtRCtvtCtLsCCC=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=′′=+′+′′----)]0()0([1)0()0()(1)(1)()(LsCCsCCCiiCvvtiCtvLCtvLRtv)(stiCL)(tvCR)(tiL)(tiRPDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion所示，列出该系统的输入—输出方程。)()(2)(2)(tftrtrtr′=+′+′′1.12已知二阶离散系统的级联模拟方框图如图P1.12所示，列出该系统的输入—输出程。][]1[2]2[][2]2[kfkfkfkrkr++++=++F(S)R(s)Sums1Integrator1s1Integrator-2Gain2-2Gain1F(z)R(z)z1UnitDelay1z1UnitDelaySum1Sum2Gain2-2Gain1PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion习题二（解）2.1已知系统微分方程为)()(dd)(2)(dd3)(dd22tftfttrtrttrt+=++试求系统初始状态为1)0(zi=-r、0)0()1(zi=-r时，系统的零输入响应)(zitr(0)(zi，=tr0t)。解：ttCCtr221ziee)(--+=)0(≥t其中：1221-==CC2.2已知系统微分方程为)()()(dd)(dd22tftrtrttrt=++试求系统初始状态为1)0(zi=-r、2)0()1(zi-=-r时，系统的零输入响应)(zitr(0)(zi，=tr0t)，并图示波形。解：ttCCtr21ee)(21zill+=)0(≥t其中：23j2123j2121⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛--=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+-=ll⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛--⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+-⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+×=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+223j2123j2123j21123j2123j212121CCCC434214342143421同乘同乘同乘⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==-=-3j23j1e23j21e23j21ppCCclear[yzi]=dsolve('D2y+Dy+y=0','y(0)=1','Dy(0)=-2')subplot321ezplot(yzi);axis([0,6,-1,2]);gridon⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=+=-⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛--⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+--323cose2eeee)(2123j213j23j213jzipppttrttt)0(≥tt21e2-⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+-323cose221ptt⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+323cosptPDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion)2(yzi=exp(-1/2*t)*cos(1/2*3^(1/2)*t)–3^(1/2)*exp(-1/2*t)*sin(1/2*3^(1/2)*t)2.3计算下列各对函数的卷积积分。(1))]2()1([)(1--+=tututf，)]5()3([)(2---=tututf(2))]()1([)(1tututf-+=，)]()1([)(2tututf-+=(3))(e)(31tutft-=，)1(e)()12(2-=--tutft(4))(e)(21tutft-=，)]5()3([)(2---=tututf解：用解析法计算后，将结果与下图逐一对照。2.4计算下列卷积积分，并图示最终结果。(1))]2()2([)]1()1([)(-++*--+=tttututrdd)3()1()4()2()(tr)(tr)(tr)1(e)1(2---tut)1(e)1(3----tut)3(]e1[21)3(2----tut)5(]e1[21)5(2-----tut)(trPDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion(1)(1)-2-1OtO12t)(1tf)(2tf43O12tO12t)(1tf)(2tf(2))2()]()([sin)(-*--=ttututtrdp(3))]2()([)]2()3([)(--*+-+=tututututr(4))]()1[()]2()([)(tututututtr-+*--=解：用解析法、图示解析法和卷积积分性质计算后，将结果与下图逐一对照。2.5计算图P2.5所示各对图形的卷积积分，并图示最终结果。(a)(b)(c)(d)图P2.5求连续时间函数的卷积积分312-1O1tOt-2)(2tf)(1tf422-2-1OtO12t)(1tf)(2tf)(tr)(tr)(tr)(tr)2()3()4()1(PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion解：计算过程略。2.6已知系统微分方程如下，试求系统的单位冲激响应)(th(00)(=tth，)，并简略图示其波形。(1))(7)(dd6)(dd)(3)(dd4)(dd2222tftfttfttrtrttrt++=++(2))(2)(dd)(2)(dd4)(dd22tftfttrtrttrt+=++(3))(3)(dd)()(dd2)(dd22tftfttrtrttrt+=++(4))()(dd)(4)(dd5)(dd22tftfttrtrttrt+=++(5))()(45)(dd)(dd22tftrtrttrt=++解：（1）)(7)(6)()(3)(4)(tttthththddd+′+′′=+′+′′所以)(th中含有)(td所以2)0(=+h所以4)0(-=′+h4)(8)(442)(2)(2)(3)(434)()()(-→↓←-↓×→→↓↓←′′↓×↓×→′→′′tttttttttddddddddd)b()d()c()a()(tr)(tr)(tr)(trPDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion解方程⎩⎨⎧-=′==+′+′′++4)0(,2)0(0)(3)(4)(hhththth)0(+≥t然后合并以上结果，得系统的单位冲激响应)()ee()()(3tutthtt--++=d。clear[yzi]=dsolve('D2y+4*Dy+3*y=0','y(0)=2','Dy(0)=-4');subplot321ezplot(yzi);axis([0,4,-1,2]);gridonholdon;stem(0,1,'b^');gtext('(1)')yzi=exp(-t)+exp(-3*t)用拉氏变换法计算系统的单