代数综合题之二次函数与一元二次方程

代数综合题之二次函数与一元二次方程与一元二次方程相结合，往往偏向于计算、数形结合，讨论参数范围；或整数根或特殊解或与坐标交点等。1.二次函数（1）求其顶点坐标，及与两坐标轴的交点坐标．（2）若是函数图象上的两点，且，请比较的大小关系．（直接写结果）（3）把方程的根在函数的图象上表示出来．2.已知二次函数2yxbxc的图象与x轴两交点的坐标分别为（m，0），（3m，0）（0m）．（1）证明243cb；（2）若该函数图象的对称轴为直线1x，试求二次函数的最小值．3.已知P（3,m)和Q（1，m）是抛物线221yxbx上的两点．（1）判断关于x的一元二次方程221xbx=0是否有实数根，若没有，请说明理由；（2）将抛物线221yxbx的图象向上平移k（k是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴无交点，求k的最小值．243yxx1122()()AxyBxy，，，243yxx121xx12yy，2432xx243yxx4.已知：关于x的一元二次方程x2＋（n－2m）x＋m2－mn=0①(1)求证：方程①有两个实数根.(2)若m－n－1=0,求证方程①有一个实数根为1；(3)在（2）的条件下，设方程①的另一个根为a。当x=2时，关于m的函数y1=nx＋am与y2=x2＋a(n－2m)x＋m2－mn的图像交与点A、B（点A在点B的左侧），平行于y轴的直线L与y1、y2的图像分别交与点C、D.当L沿AB由点A平移到点B时，求线段CD的最大值.5.（09天津）已知函数为方程的两个根，点M（t，T）在函数的图象上．（1）若，求函数的解析式；（2）在（1）的条件下，若函数与的图象的两个交点为，当的面积为3121时，求的值；（3）若，当时，试确定三者之间的大小关系，并说明理由．212yxyxbxc，，，120yy2y1132，2y1y2yAB，ABM△t0101tT，，6.关于x的一元二次方程22(1)2(2)10mxmx.（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）点11A，是抛物线22(1)2(2)1ymxmx上的点，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若点B与点A关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点B的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由.7.已知关于x的方程032)1(32mxmmx．（1）求证：无论m取任何实数时，方程总有实数根；（2）若关于x的二次函数32)1(321mxmmxy的图象关于y轴对称．①求这个二次函数的解析式；②已知一次函数222xy，证明：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y1≥y2均成立；（3）在（2）的条件下，若二次函数y3＝ax2＋bx＋c的图象经过点（－5，0），且在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2均成立．求二次函数y3＝ax2＋bx＋c的解析式.8.已二次函数2123yxx及一次函数2yxm.(l)求该二次函数图象的顶点坐标以及它与x轴的交点坐标；(2)将该二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，请你在坐标系里画出这个新图象，并求出新图象与直线2yxm有三个不同公共点时m的值：(3)当02x时，函数12(2)3yyymx的图象与x轴有两个不同公共点，求m的取值范围．练习1.已知抛物线2442yaxaxa，其中a是常数．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若25a，且抛物线与x轴交于整数点（坐标为整数的点），求此抛物线的解析式．2.已知：关于x的方程21210mxmx（m为实数）．（1）若2121ymxmx与x轴有交点，求m的取值范围；（2）若m是整数，且关于x的一元二次方程21210mxmx有两个不相等的整数根，把抛物线2121ymxmx向上平移1个单位长度，求平移后的解析式．3.已知抛物线232yaxxc。（1）若1a，1c，求此抛物线与x轴交点坐标。（2）若1a，且当11x时，抛物线与x轴交点有且只有一个，求c的取值范围。4.已知一次函数y1＝2x，二次函数y2＝x2＋1.（1）根据表中给出的x的值，计算对应的函数值y1、y2，并填在表格中：（2）观察第（1）问表中有关的数据，证明如下结论：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y1≤y2均成立；（Ⅲ）试问，是否存在二次函数y3＝ax2＋bx＋c，其图象经过点（－5，2），且在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1≤y3≤y2均成立，若存在，求出函数y3的解析式；若不存在，请说明理由.x-3-2-10123y1＝2xy2＝x2＋1