中考数学中的最值问题解法

第1页共62页中考数学几何最值问题解法在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其解法。应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值典型例题：例1.（2012山东济南3分）如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为【】A．21B．5C．14555D．52【答案】A。【考点】矩形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形三边关系，勾股定理。【分析】如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，∵OD≤OE+DE，∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，此时，∵AB=2，BC=1，∴OE=AE=12AB=1。DE=2222ADAE112，∴OD的最大值为：21。故选A。例2.（2012湖北鄂州3分）在锐角三角形ABC中，BC=24，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是▲。第2页共62页【答案】4。【考点】最短路线问题，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】如图，在BA上截取BE=BN，连接EM。∵∠ABC的平分线交AC于点D，∴∠EBM=∠NBM。在△AME与△AMN中，∵BE=BN，∠EBM=∠NBM，BM=BM，∴△BME≌△BMN（SAS）。∴ME=MN。∴CM+MN=CM+ME≥CE。又∵CM+MN有最小值，∴当CE是点C到直线AB的距离时，CE取最小值。∵BC=42，∠ABC=45°，∴CE的最小值为42sin450=4。∴CM+MN的最小值是4。例3.（2011四川凉山5分）如图，圆柱底面半径为2cm，高为9cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B，求棉线最短为▲cm。【答案】15。【考点】圆柱的展开，勾股定理，平行四边形的性质。【分析】如图，圆柱展开后可见，棉线最短是三条斜线，第一条斜线与底面圆周长、13高组成直角三角形。由周长公式，底面圆周长为4cm，13高为3cm，根据勾股定理，得斜线长为5cm，根据平行四边形的性质，棉线最短为15cm。例4.（2012四川眉山3分）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是第3页共62页▲．【答案】1＜AD＜4。【考点】全等三角形的判定和性质，三角形三边关系。【分析】延长AD至E，使DE=AD，连接CE．根据SAS证明△ABD≌△ECD，得CE=AB，再根据三角形的三边关系即可求解：延长AD至E，使DE=AD，连接CE。∵BD=CD，∠ADB=∠EDC，AD=DE，∴△ABD≌△ECD（SAS）。∴CE=AB。在△ACE中，CE－AC＜AE＜CE＋AC，即2＜2AD＜8。∴1＜AD＜4。练习题：1.（2011湖北荆门3分）如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm.若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为【】A.13cmB.12cmC.10cmD.8cm2.（2011四川广安3分）如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点，且PC=23BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是【】A、6(4)㎝B、5cmC、35㎝D、7cm3.（2011广西贵港2分）如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点P为线段EF上一个动点，连接BP、GP，则△BPG的周长的最小值是_▲．第4页共62页二、应用垂线段最短的性质求最值：典型例题：例1.（2012山东莱芜4分）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．若点P在边AC上移动，则BP的最小值是▲．【答案】245。【考点】动点问题，垂直线段的性质，勾股定理。【分析】如图，根据垂直线段最短的性质，当BP′⊥AC时，BP取得最小值。设AP′=x，则由AB＝AC＝5得CP′=5－x，又∵BC＝6，∴在Rt△ABP′和Rt△CBP′中应用勾股定理，得222222BPABAPBPBCCP，。∴2222ABAPBCCP，即22225x66x，解得7x=5。∴22757624BP5==5255，即BP的最小值是245。例2.（2012浙江台州4分）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为【】A．1B．3C．2D．3＋1【答案】B。【考点】菱形的性质，线段中垂线的性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。第5页共62页【分析】分两步分析：（1）若点P，Q固定，此时点K的位置：如图，作点P关于BD的对称点P1，连接P1Q，交BD于点K1。由线段中垂线上的点到线段两端距离相等的性质，得P1K1=PK1，P1K=PK。由三角形两边之和大于第三边的性质，得P1K＋QK＞P1Q=P1K1＋QK1=PK1＋QK1。∴此时的K1就是使PK+QK最小的位置。（2）点P，Q变动，根据菱形的性质，点P关于BD的对称点P1在AB上，即不论点P在BC上任一点，点P1总在AB上。因此，根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质，得，当P1Q⊥AB时P1Q最短。过点A作AQ1⊥DC于点Q1。∵∠A=120°，∴∠DAQ1=30°。又∵AD=AB=2，∴P1Q=AQ1=AD·cos300=3233。综上所述，PK+QK的最小值为3。故选B。例3.（2012江苏连云港12分）已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3，问题1：如图1，P为AB边上的一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ，DC的长能否相等，为什么？问题2：如图2，若P为AB边上一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．问题3：若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE＝PD，再以PE，PC为边作平行四边形PCQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．问题4：如图3，若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE＝nPA(n为常数)，以PE、PB为边作平行四边形PBQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．第6页共62页【答案】解：问题1：对角线PQ与DC不可能相等。理由如下：∵四边形PCQD是平行四边形，若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形，∴∠DPC＝90°。∵AD＝1，AB＝2，BC＝3，∴DC＝22。设PB＝x，则AP＝2－x，在Rt△DPC中，PD2＋PC2＝DC2，即x2＋32＋(2－x)2＋12＝8，化简得x2－2x＋3＝0，∵△＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0，∴方程无解。∴不存在PB＝x，使∠DPC＝90°。∴对角线PQ与DC不可能相等。问题2：存在。理由如下：如图2，在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点G，则G是DC的中点。过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H。∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠DCH，即∠ADP＋∠PDG＝∠DCQ＋∠QCH。∵PD∥CQ，∴∠PDC＝∠DCQ。∴∠ADP＝∠QCH。又∵PD＝CQ，∴Rt△ADP≌Rt△HCQ（AAS）。∴AD＝HC。∵AD＝1，BC＝3，∴BH＝4，∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4。问题3：存在。理由如下：如图3，设PQ与DC相交于点G，∵PE∥CQ，PD＝DE，∴DGPD1=GCCQ2。∴G是DC上一定点。作QH⊥BC，交BC的延长线于H，同理可证∠ADP＝∠QCH，∴Rt△ADP∽Rt△HCQ。∴ADPD1=CHCQ2。∵AD＝1，∴CH＝2。∴BH＝BG＋CH＝3＋2＝5。∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为5。问题4：如图3，设PQ与AB相交于点G，∵PE∥BQ，AE＝nPA，∴PAAG1=BQBGn+1。∴G是DC上一定点。第7页共62页作QH∥PE，交CB的延长线于H，过点C作CK⊥CD，交QH的延长线于K。∵AD∥BC，AB⊥BC，∴∠D＝∠QHC，∠DAP＋∠PAG＝∠QBH＋∠QBG＝90°∠PAG＝∠QBG，∴∠QBH＝∠PAD。∴△ADP∽△BHQ，∴ADPA1=BHBQn+1，∵AD＝1，∴BH＝n＋1。∴CH＝BH＋BC＝3＋n＋1＝n＋4。过点D作DM⊥BC于M，则四边形ABND是矩形。∴BM＝AD＝1，DM＝AB＝2。∴CM＝BC－BM＝3－1＝2＝DM。∴∠DCM＝45°。∴∠KCH＝45°。∴CK＝CH•cos45°＝22(n＋4)，∴当PQ⊥CD时，PQ的长最小，最小值为22(n＋4)。【考点】反证法，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形、矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质。【分析】问题1：四边形PCQD是平行四边形，若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形，然后利用矩形的性质，设PB＝x，可得方程x2＋32＋(2－x)2＋1＝8，由判别式△＜0，可知此方程无实数根，即对角线PQ，DC的长不可能相等。问题2：在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点G，可得G是DC的中点，过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H，易证得Rt△ADP≌Rt△HCQ，即可求得BH＝4，则可得当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4。问题3：设PQ与DC相交于点G，PE∥CQ，PD＝DE，可得DGPD1=GCCQ2，易证得Rt△ADP∽Rt△HCQ，继而求得BH的长，即可求得答案。问题4：作QH∥PE，交CB的延长线于H，过点C作CK⊥CD，交QH的延长线于K，易证得ADPA1=BHBQn+1与△ADP∽△BHQ，又由∠DCB＝45°，可得△CKH是等腰直角三角形，继而可求得CK的值，即可求得答案。例4.（2012四川广元3分）如图，点A的坐标为（-1，0），点B在直线yx上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为【】第8页共62页A.（0，0）B.（21，21）C.（22，22）D.（22，22）例5.（2012四川乐山3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CEDF不可能为正方形；③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；④点C到线段EF的最大距离为．其中正确结论的个数是【】A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B。第9页共62页【考点】全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，三角形中位线定理，勾股定理。【分析】①连接CD（如图1）。∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB。∵AE=CF，∴△ADE≌△CDF（SAS）。∴ED=DF，∠CDF=∠EDA。∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°。∴△DFE是等腰直角三角形。故此结论正确。②当E、F分别为AC、BC中点时，∵由三角形中位线定理，DE平行且等