收敛数列的性质和函数极限的性质课件]

第二节极限的基本性质第二章一、收敛数列的性质1.唯一性2.有界性3.保号性、保序性4.收敛数列与其子列的关系二、函数极限的性质1.唯一性2.局部有界性3.局部保号性4.函数极限与数列极限的关系第二章一、收敛数列的性质1.唯一性定理1.1(收敛数列极限的唯一性)即若bxaxnnnnlimlim且则必有.ba若极限则极限唯一.存在，nnxlim(用反证法)及且.ba取,2abaxn因N1N+,使当nN1时,假设axnnlimbxnnlimaxnnlim,2ab即当nN1时,22abaxabn23ba,2baxn从而使当nN1时,,2baxn证法1同理,因故N2N+,使当nN2时,有从而使当nN2时,有从而使当nN1时,,2baxnbxnnlim,2abbxn22abbxabnnxba223ab2baxn则当nN时,取12max,,NNN22baxbaxnn，又有既有矛盾！故假设不真!例1证明数列是发散的.证用反证法.假设数列}{nx收敛,则有唯一极限a存在.对于,21则存在N,21a21aa使当nN时,有因此该数列发散.21axn2121axan)21,21(aaxn于是推得,1122NNxx122NNxx211)(矛盾！区间长度为1这与),2,1()1(1nxnn2.有界性定义对数列nx,若存在正数M,使得一切正整数n,恒有Mxn成立,则称数列nx有界；否则,称为{nx}无界.例如:11nnx）（数列nnx2数列数轴上对应于有界数列的点nx都落在闭区间],[MM上.有界无界即若,limaxnn,0M常数则Mxn使(n=1,2,…).定理2.2(收敛数列的有界性)收敛的数列必定有界.证设,limaxnn取,1,N则当Nn时,从而有nxaaxna1取,,,,max21NxxxMa1则有.),2,1(nMxn即收敛数列必有界.aaxn)(,1axn有注有界性是数列收敛的必要条件，但不是充分条件.收敛有界}{nx}{nx关系：例如,})1{(1n虽有界，但不收敛.数列推论无界数列必发散.3.保号性、保序性定理2.3(收敛数列的保号性)(1)若,0,limaaxnn且则，NN使当nN时，.0nx()()(2)若),(00Nnxn,limaxnn则a0.()()恒有且对a0,取,a,时当Nnaxnnx0aa,NN则证(1)a(2)用反证法证明.注axNnxnnnlim)(00，且由.0a如：,01nxn.01limlimnxnnn但推论2.3(保序性)，若N)1(N使当nN时，恒有nnyx.babylim,axlimnnnn，则且(2)若,limaxnn,ba且Nn当时,有.nnyx,limbynn,NN则证(用反证法).ba取,2ba因,limaxnn故存在N1,,2baaxn22babaaxn使当nN1时,假设从而,22baaxban即当nN1时,2baxn从而同理,因,limbynn故存在N2,使当nN2时,有,2babyn22bababyn则当nN时,,,max21NNN取便有,2nnybax与已知矛盾,于是定理得证.当nN1时,2baxn4.收敛数列与其子数列的关系(1)子数列的概念...,...,,,21knnnxxx称为数列{xn}的一个子数列(或子列)。：则}{knx......121knnn其中}{}{nnxx按原来在中任意选取无穷多项，在数列中的次序排列例如,从数列}1{n中抽出所有的偶数项是其子数列.它的第k项是)3,2,1(212，kkxxknkk21组成的数列：(2)收敛数列与其子数列的关系定理2.4的任意子数列则若}{,limnnnxax}{knx也收敛，且.limaxknk,axkn证设}{knx}{nx是的任一子数列.若,limaxnn则,0,N当Nn时,有axn取正整数K,使,NnK于是当Kk时,有knKnN从而有.limaxknk注axnnlim.limlim122axxkkkk定理1°某}{knx收敛例如，1lim121kknnxx，虽然）（数列但发散.}{nx收敛}{nx2°若数列有两个子数列收敛于不同的极限，则原数列一定发散.例如，),2,1()1(1nxnn发散!1lim2kkx1lim12kkx二、函数极限的性质1.唯一性定理2.1'(函数极限的唯一性).))(lim()(lim0存在，则极限唯一如：若xfxfxx2.局部有界性定理2.2若在x的某个极限过程中,)(xf有极限,则存在这个过程的一个时刻,在此时刻以后)(xf有界.如：R,)(lim)1(0AAxfxx若.),()(0上有界在xUxf存在，)(limxfx(2)若),,(0xU则则X0,函数f(x)有界.使得当Xx时，3.局部保号性定理2.3'(函数极限的局部保号性)(1)如果,)(lim0Axfxx且A0,.0)(xf)0)((xf则存在(A0)),,(0xU,),(0时使当xUx(2)如果,)(lim0Axfxx且存在),,(0xU,),(0时使当xUx，0)(xfA0.),0)((xf则(A0).据此，可由极限符号推得函数在该点邻域内的符号据此，可由函数在该点邻域内的符号推得极限符号(1)如果存在X0,)(limBxgxXx当(或δ0),时,恒有f(x)g(x),)(limAxfx且(或,)(lim0Axfxx,))(lim0Bxgxx推论2.3'(函数极限的局部保序性).BA则时,恒有)0(0xx或BABxgAxfxxxx且设,)(lim,)(lim)2(00).()(),,(,00xgxfxUx有则问题:若f(x)g(x),能否推出？例如:设,1)(,21)(xxgxxf当x0时,有f(x)g(x),.0)(lim)(limxgxfxx但是)(lim)(lim00xgxfxxxx不能！内容小结1.收敛数列的性质:唯一性,有界性,保号性,保序性;任一子数列收敛于同一极限2.函数极限的性质:唯一性,局部有界性,局部保号性,局部保序性;思考与练习1.如何判断极限不存在?方法1.找一个趋于∞的子数列;方法2.找两个收敛于不同极限的子数列.2.已知),2,1(21,111nxxxnn,求nnxlim时,下述作法是否正确?说明理由.设,limaxnn由递推式两边取极限得aa211a不对!此处nnxlim