初中数学知识树及知识结构图

数与代数空间与图形统计与概率实践与运用北师大版《义务教育课程标准实验教科书·》---数学---初中学段（七～九年级）数与代数实践与运用空间与图形统计与概率初中数学知识树实数方程概率统计函数代数式图形与坐标图形与证明图形与变换图形的认识课题学习综合应用实践活动运算分类相关概念整式分式二次根式分类解法应用常量变量概念表示分类二次函数反比例函数一次函数平面直角坐标系证明的方法证明的依据证明的含义图形的平移图形的轴对称图形的旋转图形的相似三角形四边形圆形点、线、面、体相交线平行线数据的收集与整理数据的描述数据的分析计算与估算列表、树状图意义、事件独立思考合作交流获得体验提炼策略体会知识形成过程培养应用意识发展思维能力学习数、式、方程、函数等知识，探索数、形及实际问题中蕴含的关系和规律，初步掌握一些有效的表示、处理和交流数量关系以及变化规律的工具，发展符号感，体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数知识与方法解决问题的能力。探索基本图形（直线形、圆）等基本性质及其相互关系，进一步丰富对空间图形的认识和感受，学习平移、旋转、对称的基本性质，欣赏并体验变换在现实生活中的广泛应用，学习运用坐标系确定物体位置的方法，发展空间观念。体会抽样的必要性以及用样本估计总体的思想，进一步学习描述数据的方法，进一步体会概率的意义，能计算简单事件发生的概率。探讨一些具有挑战性的研究课题，发展应用数学知识解决问题的意识和能力；同时，进一步加深对相关数学知识的理解，认识数学知识之间的联系。一、新课标对本学段、本学科的基本要求遵循认知规律遵循认知规律正确处理关系正确处理关系编者的意图数学课程学生教师学生数学社会适应形势关注需要更新认识着眼长远发展培养精神意识提高能力创造空间营造氛围互动提供资源教材改进呈现方式提高兴趣现代技术二、编者的意图、体例安排、内在逻辑关系编者的意图体例安排章节习题章前图、引言节、习题数学活动小结供学生预习实践性导入新课材料开放性综合性知识结构图回顾与思考正文选学观察思考探究讨论归纳各栏目以问题、留白、填空等形式为学生提供思维发展、合作交流的空间观察与猜想实验与探究阅读与思考信息技术应用为加深对相关内容的认识扩大学生的知识面运用现代信息技术手段学习练习习题复习题课上使用所学内容的的巩固与延伸课内课外作业复习全章使用正文边空小贴示云朵介绍与正文相关的背景知识有助于理解正文的问题复习巩固综合应用拓广探索体例安排二、编者的意图、体例安排、内在逻辑关系数与代数3-1代数式整式整式分式分式二次根式二次根式单项式运算多项式系数次数数字因数字母指数和因式分解次数项最高项的次数每个单项式同类项合并同类项幂的乘法单项式与多项式乘法公式平方差、完全平方同底数幂相除单项式除以单项式多项式除以单项式提公因式法公式法十字相乘法分组分解法逆用公式互逆运算基本性质运算分式方程分母中含字母、分母不为零通分约分乘除加减乘方最简公分母公因式子积为子母积为母化除法为乘法同分母异分母分母不变分子相加减通分化成同分母为整数naann1为整数nbabannnax注：分子、分母为多项式时先分解因式整式方程去分母解方程检验最简公分母=00≠增根是解升降幂排列系数相加字母不变不改变分式的值解法应用除法乘法加减定义性质运算0aaaa2)3()0()2(2aaa双非负0)1(aa加减乘除意义三、教材内容内在逻辑关系内在逻辑关系知识纵向逻辑结构有弹性保基础供发展知识横向联系联系实际形成应用螺旋上升的概念思想突出重点精简整合如：代数式“先分散，后集中”，预备知识与方程问题有机整合，整式中归纳提高如：加强数形，用坐标的方法处理更多内容（二元一次方程组.平移.对称.函数等）如：按照“说点儿理”“说理”“推理”“符号表示推理”等不同层次，分阶段培养推理能力，内容注重基础，留有发展余地如：方程和函数，按照一次和二次数量关系使方程和函数交替出现，螺旋上升。从函数角度认识方程改进学习方式利于主动学习如：方程以实际问题为出发点和归宿，建模型引概念，讨论解法，用理论探究新问题，体现实践-理论-实践二、编者的意图、体例安排、内在逻辑关系1.开口方向2.顶点坐标3.对称轴4.增减性5.极值一元二次方程一元二次方程二次函数二次函数解析式性质图象解法y=ax2+bx+c(a.b.c为常数a≠0)定义应用应用关系二次函数与一元二次方程)0(2akhxay021axxxxay一般式顶点式交点式xyoxyo开口方向.a＞0.向上a＜0.向下对称轴在y轴的位置左同右异与y轴交点位置c＞0.在正半轴c=0.在原点c＜0.在负半轴类型2axy①②kaxy2③2hxay④khxay2⑤cbxaxy2看式子类型能口述性质看图象能口述性质提公因式法公式法配方法直接开平方法降次十字相乘法化为直接开方万能公式应用平方根ax2+bx+c=0(a≠0)传播问题行程问题效率问题面积问题抛物线与x轴的交点一元二次方程的根Δ＞0Δ=0Δ＜0有两交点（x1,0）(x2,0）有一交点（,0）无交点有两个不等根X1，x2有两个等根x1=x2=ab2ab2无实根磁道问题利润问题拱桥问题数与代数3-3三、教材内容一次函数与反比例函数反比例函数反比例函数一次函数一次函数解析式性质图象性质xyoxyoxyoxyoxyoxyok＞0k＜0b＜0,图象在一三四象限b=0,图象在一三象限b＞0,图象在一二三象限b＜0,图象在二三四象限b=0,图象在二四象限b＞0,图象在一二四象限k＞0k＜0Y随x的增大而增大Y随x的增大而减小形如y=kx+b(k.b为常数，k≠0)注意：过原点当b=0时，是正比例函数一条直线图象解析式应用应用）为常数，（形如0kkxkyk＞0k＜0xyoxyo图象在二四象限图象在一三象限双曲线Y随x的增大而减小每一象限内Y随x的增大而增大每一象限内k＞0k＜0柱形储藏室轮船卸货力学问题电学问题关系K同号时，有两交点。K异号时，有两个、一个或无交点实际问题，图象在第一象限最优方案数与代数3-2三、教材内容三角形三角形三角形等腰三角形等腰三角形直角三角形直角三角形有关线段多边形及其内角和有关的角概念勾股定理定义三边关系高.中线.角平分线内角和外角的性质定义外角和内角和镶嵌定义条件性质判定特例定义表示方法要素等边对等角三线合一等角对等边等边三角形锐角三角函数定理逆定理应用证明内容文字.符号图形已知两边求第三边弦图毕达哥拉斯苏菲尔德应用证明内容文字.符号图形全等知三边定形状互逆命题锐角三角函数解直角三角形应用计算定义正弦余弦正切特殊值的运算符号.几何意义.特殊角的值坡度仰.俯角方位角三边关系锐角关系边角关系空间与图形6-2三、教材内容圆圆四边形四边形四边形与圆等腰直角辅助线平移两腰平移对角线作高线延长两腰利用腰中点割补成---全等三角形、平行四边形性质判定梯形平行四边形边角对角线对边平行且相等对角相等邻角互补对角线互相平分性质判定性质判定性质判定矩形菱形一个直角对角线相等一组邻边相等对角线垂直正方形对角线垂直一组邻边相等一个直角对角线相等①②③④①②③④①②③④中任意满足两个条件中点四边形三角形中位线形状：取决于原四边形对角线的相等或垂直基本性质有关位置正多边形弧长.扇形垂径定理等对等定理圆周角定理点与圆直线与圆圆与圆轴对称性旋转不变性圆内圆上圆外外心：是三边垂直平分线的交点.到三顶点的距离相等锐—形内；直—斜边上；钝—形外相交相切相离切线的性质.判定切线长定理内心：是三角平分线的交点.到三边的距离相等在三角形内外离内含外切内切相交等分圆周正多边形弧等弦等圆心角等有关计算：中心.中心角.半径.边心距lrrns213602或扇形180rnl弧长圆锥的侧面积、全面积空间与图形6-3三、教材内容图形的全等变换平移平移轴对称轴对称旋转旋转应用要素轴对称图形轴对称变换特征前.后图形全等对应线段平行且相等利用平移制作图案关于轴对称垂直平分线定义翻折后与两部分重合对称轴一条直线性质判定应用点到两点的距离相等到两点距离相等的点作对称轴作等腰三角形作一点到两点距离相等作一点到三点距离相等（外心）定义对称点翻折后与另一图形重合特征成轴对称的两图形全等对称轴垂直平分对称点的连线静静动要素基本图形动用坐标表示轴对称作：关于x轴、y轴的对称点解决几何中的极值问题要素图形的旋转中心对称图案设计旋转中心特征旋转角对应点到旋转中心的距离相等对应点与旋转中心所连线段的夹角=旋转角旋转前.后的图形全等中心对称图形关于中心对称关于原点对称旋转角=1800对称点的坐标符号相反旋转1800后与另一图形重合基本图形两图形全等对称中心是对称点连线的中点旋转1800后与其自身重合利用轴对称制作图案用平移.轴对称和旋转的组合设计图案旋转方向平移过程对应点坐标的变化规律（x,y）平移后（x±a,y±b）右加左减上加下减用坐标表示旋转空间与图形6-4三、教材内容方向距离基本图形对称轴相似三角形相似三角形全等三角形全等三角形全等三角形与相似三角形定义性质条件角平分线完全重合两个三角形对应边、角、周长面积、中线、高线、角平分线相等表示方法两个三角形用符号≌连接SSSAASASAHLSAS适合判定所有三角形全等适用于直角三角形性质点到角两边的距离相等到角两边距离相等的点判定应用相似多边形位似变换性质判定相似图形形状相同性质对应角相等，对应边成比例，周长的比=相似比面积的比=相似比的平方比例线段dcba平行A字型X字型三边对应成比例两边成比例且夹角相等两角对应相等对应角相等，对应边成比例，周长的比=相似比面积的比=相似比的平方应用放大或缩小图形外位似内位似性质特征用坐标表示位似变换两图形相似对应顶点的连线交于一点对应边平行位似中心是原点动对应点的坐标比为k或-k空间与图形6-5三、教材内容关系拓展、延伸类比投影与视图投影视图俯视图左视图主视图平行投影正投影中心投影空间与图形6-6三、教材内容三维基本几何体二维图形表示法实物的影子光线下的实物对应对应概率概率统计统计统计与概率收集分析描述整理定义求法应用随机事件意义列举法频率估计法简单列举法列表法（两步）树形图（两步以上）统计表条形图扇形图划记法直方图如何描述数据会画统计图集中趋势离散程度平均数中位数众数极差方差反映数据向其中心值聚集的程度反映数据分布的离散程度统计与概率三、教材内容推断、预测事件发生可能性的刻画四、教材的处理教材的处理基础与能力的关系过程与结果的关系围绕重点知识.主干知识学习解决问题注重通性、通法依托教材中的例题、习题展开关注试题解法的多样性从不同角度分析问题学会比较不同方法的优劣结束语让学生在生动具体的情境中学习数学新课标的重要理念提高教学有效性策略精心创设教学情境数学教学设计核心如何体现数学的本质数学知识的内在联系数学规律的形成过程数学思想方法的提炼数学理性精神的体验理想的数学课堂高质量、高效率的领会和体验数学的价值和魅力的课堂初中数学知识树及知识结构图数学组：刘秉杰2011.4.20