高等数学微分中值定理ppt

第三章导数的应用第一节微分中值定理第一节微分中值定理本节主要内容:一.罗尔中值定理二.拉格朗日中值定理三.柯西中值定理第三章导数的应用第一节微分中值定理一、罗尔中值定理费马（Fermat）引理函数y=f(x)在N(x0,)有定义，y=f(x0)存在，f(x)f(x0)(f(x)f(x0))定义3.1.1导数等于零的点称为函数的驻点（或稳定点、临界点)．第三章导数的应用第一节微分中值定理引理的直观意义:可导函数极值点处的切线平行于x轴.第三章导数的应用第一节微分中值定理定理3.1.1（罗尔中值定理）设函数y=f(x)在区间[a,b]上有定义，如果（1）函数f(x)在闭区间[a，b]上连续；（2）函数f(x)在开区间（a，b）内可导；（3）函数f(x)在区间两端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)；则在（a，b）内至少存在一个点ab，使得f()=0.例如,32)(2xxxf).1)(3(xx,]3,1[上连续在,)3,1(上可导在,0)3()1(ff且))3,1(1(,1取.0)(f),1(2)(xxf第三章导数的应用第一节微分中值定理因为函数f(x)在区间[a,b]上连续，函数f(x)在闭区间[a,b]上必能取到最大值M和最小值m,考虑两种可能的情况：(1)若m=M,则f(x)在[a,b]上恒等于常数M(或m),因而在(a,b)内处处有f(x)=0，因此可取(a,b)内任意一点作为而使得f(ξ)=0成立。定理的证明第三章导数的应用第一节微分中值定理(2)若mM，因为f(a)=f(b)，因此m、M不可能同时是两端点的函数值，即最小值m和最大值M至少有一个在开区间(a,b)内部取得，不妨设f(ξ)=M，ξ∈(a,b).由条件(2)和费马定理推知f(ξ)=0.第三章导数的应用第一节微分中值定理罗尔定理的几何意义：如果连续函数除两个端点外处处有不垂直于x轴的切线，并且两端点处纵坐标相等，那么在曲线上至少存在一点，在该点处的切线平行于x轴(如下图）。第三章导数的应用第一节微分中值定理1.罗尔定理中的ξ是(a,b)内的某一点，定理仅从理论上指出了它的存在性，而没有给出它的具体取值；2.罗尔定理的条件是充分非必要条件，只要三个条件均满足，就充分保证结论成立。但如果三个条件不全满足，则定理的结论可能成立也可能不成立。看如下例子：两点说明：第三章导数的应用第一节微分中值定理()0101xxfxx时例时10xy.0)(,f使不例];1,1[,)(xxxf.0)(,f使不10xy1).1()0()3(ff(1)()[0,1]fx在上连续(2)()(0,1)fx在内可导(3)(1)(1).ff(1)()[1,1]fx在上连续(2)()(1,1)fx在内可导第三章导数的应用第一节微分中值定理例10xy];1,0[,)(xxxf.0)(,f使不(3)(0)(1).ff(1)()[0,1]fx在上连续(2)()(0,1)fx在内可导第三章导数的应用第一节微分中值定理例1验证罗尔中值定理对函数f(x)=x3+4x2-7x-10在区间[-1,2]上的正确性，并求出．解得令f(x)=3x2+8x-7=0x4373（1）f(x)=x3+4x2-7x-10在区间[-1,2]上连续；（2）f(x)=3x2+8x-7在（-1,2）内存在；（3）f(-1)=f(2)=0；所以f(x)满足定理的三个条件.374(1,2)3则就是要找的点，显然有f(ξ)=0.解第三章导数的应用第一节微分中值定理例2证明方程x5-5x+1=0有且仅有一个小于1的正实根．存在性：令f(x)=x5-5x+1，则f(x)在[0,1]上连续f(0)=1，f(1)=-3，由介值定理：至少存在一点x0∈(0,1),使f(x0)=0，x0即为方程的小于1的正实根.唯一性：设另有x1∈(0,1),x1≠x0,使f(x1)=0因为f(x)在x1，x0之间满足罗尔定理的条件所以至少存在一点ξ(在x1，x0之间),使得f(ξ)=0但f(x)=5x4-50,x∈(0,1),矛盾,所以为唯一实根.证明第三章导数的应用第一节微分中值定理例3不求函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的导数，说明方程f(x)=0有几个实根．函数f(x)在R上可导,所以在区间[1,2],[2,3]上满足罗尔定理的条件,所以在区间（1,2)（2,3)内分别至少有一实根；又f(x)=0是二次方程,至多有二个实根；所以方程f(x)=0有且仅有两个实根,它们分别落在区间（1,2)（2,3)内．解第三章导数的应用第一节微分中值定理定理3.1.2（拉格朗日中值定理）设函数y=f(x)满足（1）在闭区间[a，b]上连续；（2）在开区间（a，b）内可导；那么在(a，b)内至少存在一点(ab)，使得f(b)-f(a)=f()(b-a)或)()()(fabafbf二、拉格朗日中值定理第三章导数的应用第一节微分中值定理注意到,Rolle定理是Lagrange定理的特殊情况。证明思想构造辅助函数法由于证明这个定理，目前只有Rolle定理可用，因此想若能构造一个辅助函数(x),使其满足Rolle定理的条件，同时想办法接近要证明的结论.第三章导数的应用第一节微分中值定理则函数(x)在区间[ab]上满足罗尔定理的条件(1)(2)又作辅助函数fbfaxfxxba()()()().a()b(),bfaafbba()()所以，由罗尔中值定理，在(a,b)内至少存在一点,使fbfafba()()()()0即f(a)-f(b)=f()(b-a)定理的证明第三章导数的应用第一节微分中值定理拉格朗日中值公式又称有限增量公式.1.拉格朗日中值定理的两个条件是使结论成立的充分不必要条件；2.当f(a)=f(b)时，拉格朗日中值定理即为罗尔中值定理；00()()()fxxfxfx3.设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导,x0,x0+x∈(a,b)则有()yfx即几点说明：第三章导数的应用第一节微分中值定理拉格朗日定理的几何意义：当曲线方程满足拉格朗日定理的要求时，在区间内至少存在一点，使得该点的切线平行于曲线两端点(a,f(a))与(b,f(b))的连线，其斜率为fbfakfba'()()()第三章导数的应用第一节微分中值定理推论1设y=f(x)在[a,b]上连续，若在(a,b)内的导数恒为零，则在[a,b]上f(x)为常数.fxfxC()0()推论2如果函数y=f(x)与y=g(x)在区间(a,b)内的导数处处相等，即f(x)=g(x)，则这两个函数在(a,b)内只相差一个常数，即f(x)-g(x)=C．第三章导数的应用第一节微分中值定理设f(x)=arcsinx+arccosx,由推论1知f(x)=C所以xxxπarcsinarccos(11)2≤≤例4证明：fxxx'2211()011又因为f(0)arcsin0arccos0022C2即xxxπarcsinarccos(11)2≤≤证明则f(x)在[0,1]上连续，又第三章导数的应用第一节微分中值定理设f(x)=ln(1+x),则f(x)在[0,x]上满足拉格朗日中值定理的条件，即由于因为0x，所以例5证明：当x0时，xxxxln(1)1fxffxx()(0)()(0),(0)所以上式变为ffxx1(0)0,()1xxxx11xxln(1)1即xxxxln(1)1证明第三章导数的应用第一节微分中值定理定理3.1.3（柯西中值定理）设函数y=f(x)与y=g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且g(x)在(a,b)内恒不为零，则至少存在一点∈(a,b)，使得fbfafgbgag()()()()()()注意：拉格朗日中值定理是柯西中值定理当g(x)=x时的一种特例。三、柯西中值定理第三章导数的应用第一节微分中值定理()()()()0()()fbfagfgbga()分析:()()gbga()()gbaab0问题转化为证()()()()()()()fbfaxgxfxgbga构造辅助函数证:作辅助函数()()()()()()()fbfaxgxfxgbga()()()()()()()()fbgafagbabgbga,),(,],[)(内可导在上连续在则babax且第三章导数的应用第一节微分中值定理使即由罗尔定理知,至少存在一点()()().()()()fbfafgbgag思考:柯西定理的下述证法对吗?()()()(),(,)fbfafbaab()()()(),(,)gbgagbaab两个不一定相同错!上面两式相比即得结论.第三章导数的应用第一节微分中值定理()g()ga()()xgtyft)(af()gb)(bf()()dyftdxgt弦的斜率切线斜率xyO几何意义：注意：第三章导数的应用第一节微分中值定理1.微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理()()fbfa()gxx()()fbfa()gxx2.微分中值定理的应用(1)证明恒等式(2)证明不等式(3)证明有关中值问题的结论关键:利用逆向思维设辅助函数费马引理内容小结