第一节-引言和牛顿柯特斯公式

第四章数值积分与数值微分本章主要内容：1、牛顿-柯特斯求积公式2、复化求积公式3、龙贝格求积公式4、数值微分近似计算badxxfI)(()()FaFb但是在许多实际问题经常遇到下列情况：（1）原函数存在但不能用初等函数表示；（2）原函数可以用初等函数表示，但结构复杂；（3）被积函数没有表达式，仅仅是一张函数表。第一节引言abab取左端点矩形近似数值积分的思想：分割、近似、求和取右端点矩形近似()yfx数值积分公式的一般形式：0()()()nnkkkIfAfx()bafxdx其中011nnaxxxxb求积节点求积系数01,,,kAkn，仅与求积节点有关求积公式的截断误差或余项：0()()()nbnkkakRffxdxAfx代数精度的判别方法求积公式的代数精度如果求积公式0()()nnkkkIfAfx0()()nnkkkIfAfx求积公式具有m次代数精度的充要条件是为时求积公式精确成立，而为时求积公式不能成为等式。()fx231mxxxx、、、()fx1mx定义：定理：对一切不高于m次的多项式都恒精确成立，而对于某个m+1次多项式不能精确成立，则称该求积公式具有m次代数精度。0nkkAba求积系数的特征：求积公式的收敛性和稳定性若0lim()()nbkkankAfxfxdx则称求积公式（*）是收敛的。设有舍入误差()kfxk，实际计算的求积公式为：0()()nnkkkkIfAfx两者的误差为()()()nnnEfIfIf00()()nnkkkkkkkAfxAfx0nkkkA0nkkkA0nkkA()ba0maxkkn其中001(,,,)kAkn求积系数全为正时，公式是稳定的第二节牛顿-柯特斯公式一、插值型求积公式思想用被积函数在区间上的插值多项式近似代替f(x)计算.()fx[,]ab作n次拉格朗日插值多项式:设已知函数在节点()fx01naxxxb01(),(),,()nfxfxfx0()()()nnkkkLxlxfx()()bbnaafxdxLxdx上的函数值()()bbnaafxdxLxdx0()()nbkkaklxfxdx0()()nbkkakfxlxdx0()nkkkAfx其中11()()()()bbnkkaaknkxdxAlxdxxxx插值型求积公式：0()()nnkkkIfAfx余项111()()[]()()!nbnnafRfxdxn0()()nnkkkIfAfx形如的求积公式至少有证明：充分性设它是插值型求积公式21(),nfxxxx,,,当时，1101()()[]()()!nbnnafRfxdxn即它对所有不超过n次的多项式精确成立，故至少有n次代数精度。定理：n次代数精度的充要条件是它是插值型求积公式。则对所有不超过n次的多项式求积公式精确成立012()(),,,,kfxlxkn取0()()nbkjkjajlxdxAlx因此求积公式是插值型的。0()()nnkkkIfAfxkA必要性设求积公式至少有n次代数精度二、牛顿-柯特斯求积公式牛顿-柯特斯公式是插值型求积公式的特殊形式：求积节点取等距分布：0nkkx012,,,,,kxakhknbahn0()nbbjkkaajkjjkxxAlxdxdxxx00()()()()()nnjjkathajhdathakhajhxath步长00()()nnjjktjhhdtkjh001()()()!()!nknnjjkbatjdtknkn()()nkkAbaC其中001()()()!()!nknnnkjjkCtjdtknkn柯特斯系数0()()()()()nbnknakfxdxbaCfakhIf牛顿-柯特斯公式：()nkC满足：012()()()()()nnnnknkkkCCCabn=1时的求积公式1100110()()()()kkkIfAfxAfxAfx2()()()baTffafb梯形公式1次代数精度用梯形面积近似()yfxabn=2时的求积公式220011220()()()()()kkkIfAfxAfxAfxAfx462()()()()baabSffaffb3次代数精度辛蒲生公式用抛物形面积近似()yfxabn=4时的求积公式20011223344()()()()()()IfAfxAfxAfxAfxAfx73212290()()()()baCffafahfah3237()()fahfb柯特斯公式5次代数精度近似等于曲边梯形的面积()yfx2()()()baTffafb梯形公式辛蒲生公式462()()()()baabSffaffb柯特斯公式73212290()()()()baCffafahfah3237()()fahfb0()()()()()nbnknakfxdxbaCfakhIf牛顿-柯特斯公式：例1：分别利用梯形公式、辛蒲生公式、柯特斯公式计算积分的近似值。1011Idxx解：1011,,()abfxx10012()()()Tfff11050752..10104162()()()()Sffff069444444.1113703212327190424()()()()()()Cffffff069317460.069314718.