第三节-雅克比迭代法和高斯-塞德尔迭代法

第三节向量范数和矩阵范数一、向量范数非负性：齐次性：三角不等性：x0,nxR且x00x,,nxxxRR,,nxyxyxyR则称为中向量的范数。xnRx非负实值函数存在唯一实数与之对应，且满足x定义：设是的一个映射，若对nRRnxR()fx常用的几种向量范数：设12(,,,)Tnxxxx1-范数：2-范数：-范数：11niixx12221()(,)niixxxx1maxiinxx上述3种向量范数统称为P-范数111()nppipixxp二、矩阵范数非负性：齐次性：三角不等性：A0,nnAR且A00A,,nnAAARR,,nnABABABR,nnABABABR定义：设是的一个映射，若对nnRR()fAnnAR，存在唯一实数与之对应，且满足A则称为中矩阵的范数。nnRAA列范数：111maxnijjniAa记()ijnnAa行范数：11maxnijinjAa谱范数：12A其中是的最大特征值1TAA谱半径1()maxiinA12()TAA常用的几种矩阵范数：第四节解线性方程组的迭代法求解,nnAxbAR0det()A迭代法从一个初始向量出发,按照一定的递推格式,产生逼近方程组的近似解序列。迭代法是一种逐次逼近的方法,与直接法比较,具有:程序简单,存储量小的优点。特别适用于求解系数矩阵为大型稀疏矩阵的方程组。思路与不动点迭代相似，将方程组等价改写成形式，从而建立迭代格式AxbxBxf1()()kkxBxf，从出发，生成迭代序列0()x(){}kx一、雅克比迭代法设方程组10;(),();det()ijnninAxbAabbA将系数矩阵分裂为：ADLU其中1122(,,,)nnDdiagaaa0L21a31a1na0032a2na1,nna000U12a13a1na0023a2na1,nna00如果012(,,,)iiain原方程组可化为11()xDLUxDbBxf其中11();BDLUfDb相应的迭代格式1012()();,,,kkxBxfk上述方法称为雅克比迭代法，简称J法或简单迭代法分量形式：111112()()();,,,inkkiijjijjjjikiiibaxaxxina二、高斯-塞德尔迭代法高斯-塞德尔迭代法是雅克比迭代法的一种改进。在雅克比迭代公式中，计算时，利用已经算1()kix高斯-塞德尔迭代法的分量形式：1111112()()();,,,inkkiijjijjjjikiiibaxaxxina111121()()(),,,kkkixxx出来的新的值，从而得到高斯-塞德尔迭代法。例1：利用雅克比和高斯-塞德尔迭代法求解方程组1031101021331x2x3x14514解：123114310()()()()kkkxxx113252310()()()()()kkkxxx112314310()()()()kkkxxx雅克比迭代格式123114310()()()()kkkxxx1113252310()()()()()kkkxxx11112314310()()()()kkkxxx高斯-塞德尔迭代格式计算结果000()Tx取初值雅克比迭代法要求精度迭代次数0.0019(1.00025071.00006941.0002507)0.000110(0.99995411.00012530.9999541)0.0000114(0.99999811.00000200.9999981)方程组的近似解计算结果高斯-塞德尔迭代法要求精度迭代次数0.0015(0.99979160.99984791.0000664)0.00017(0.99999290.99999491.0000022)0.000018(1.00000131.00000090.9999996)方程组的近似解000()Tx取初值