第二节-牛顿迭代法

第三节牛顿迭代法与弦割法1、牛顿法基本思想将非线性方程线性化，以线性方程的解逼近非线性方程的解。将非线性方程线性化，取x0x*，将f(x)在x0处做一阶Taylor展开:20000)(!2)())(()()(xxfxxxfxfxf，在x0和x之间2.牛顿迭代法的原理)*)(()(*)(0000xxxfxfxf，可将(x*x0)2看成高阶小量，则有：如何实现？？*xx取)()(*000xfxfxxxyx*x01012(),,,()kkkkfxxxkfx只要fC1，每一步迭代都有而且，则x*就是f的根。limkkxx0()kfx1x1x2x000()()()yfxfxxx1x是如下线性方程的根！00(,())xfx3.牛顿迭代法的几何解释：方程的根在几何上是曲线与x轴的交()0fx*x()yfx点的横坐标。若是根的一个近似，过曲线上横坐标为kx*xkx的点作曲线的切线，则该切线与x轴交点的横坐kP()yfx标即为。1kxxyx*x01x2x00(,())xfx例2.5：写出求的牛顿迭代格式；写出求的牛顿迭代格式,要求公式中既无开方运算，又无除法运算。0()aa10()aa解：等价于求方程的正根200()()fxxaa21101222()(),,,()kkkkkkkkkfxxaaxxxxkfxxx2()fxx解法一：等价于求方程的根2100()()()fxxaa12()()fxxa21112()()()()kkkkkkkxfxaxxxfxxa110122(),,,kxka退化为二分法！！32()fxx解法二：等价于求方程的正根2100()()fxaax21312()()kkkkkkkafxxxxxfxx2130122(),,,kkxaxk设x*为方程f(x)=0的根，在包含x*的某个开区间内连续，且，则存在x*的邻域，使得任取初值，由牛顿迭代法产生的序列以不低于二阶的收敛速度收敛于x*，且(*)[,]Bxxx*)(0xBx()fx0()fxkx122*(*)lim(*)(*)kkkxxfxxxfx4、牛顿迭代法的局部收敛性定理221()()()()()fxfxfxxfx其中，则()()()fxxxfx201(*)(*)(*)(*)fxfxxfx收敛由泰勒展开：2)*(!2)()*)(()(*)(0kkkkkxxfxxxfxfxf2)*()(!2)()()(*kkkkkkxxxffxfxfxx1kx122*()(*)()kkkkxxfxxfx在单根附近收敛快！只要，则令可得结论。k0()fx证明：牛顿迭代法事实上是一种特殊的不动点迭代在和之间k*xkx牛顿迭代法的改进重根Q1:若，牛顿迭代法是否仍收敛？0*)(xf设x*是f的n重根，则：且。()()()nfxxxqx()0qx因为牛顿迭代法事实上是一种特殊的不动点迭代，其中，则()()()fxxxfx221(*)(*)(*)|(*)|(*)fxfxfxxfx111nA1:有局部收敛性，但重数n越高，收敛越慢。Q2:如何加速重根的收敛？A2:根的重数已知，可将f的重根转化为另一函数的单根。令，则f的重根是的单根，且)()()(xfxfx**()()()()()()xxgxxmgxxxgx2()()()()()[()]()()xfxfxxxxxfxfxfx从而可构造出相应的迭代法格式为12()()[()]()()kkkkkkkfxfxxxfxfxfx()x对构造出相应的牛顿迭代格式，迭代函数为若已知根的重数为n，可将迭代格式改为，1012(),,,()kkkkfxxxnkfx则*()0x，所以上述格式是平方收敛的。①收敛速度快，稳定性好；②精度高。①在重根附近收敛速度会降阶；②每次都要计算函数及其导数值，计算量大。优点缺点注解：牛顿法是局部收敛的，所以要求初值选在解的附近，实际计算时，常先用简单迭代法算几步，估计出一个质量较好的初值！！0x*x主要缺陷！！收敛比牛顿迭代法慢，且对初值要求同样高。第五节弦割法x0x1切线割线切线斜率割线斜率10110()()()fxfxfxxx111()()()()kkkkkkkfxxxxxfxfx需要2个初值x0和x1。基本思想：牛顿迭代法每一步要计算f和，为了避免计算导数值，现用f的差商近似代替微商，从而得到弦割法。ffx2Th2.10局部收敛性设表示区间，x*为方程f(x)=0的根，函数f(x)在中有足够阶连续导数，且满足[,]xxI0I则对，由割线法产生的序列都收敛于x*，且(i)(ii)(iii)0();fxxI2(),;()fMIf1dM01,xxIkx其中11limkqqkkeKe2**(),()fxKfx11516182()..q收敛速度介于牛顿法和二分法之间