关于各种n阶矩阵的幂运算的方法毕业论文

济宁学院本科毕业论文关于各种n阶矩阵的幂运算的方法Thepoweroperationofn-ordermatrix系别：数学系专业年级：2010级学生姓名：隋玉丰学号：2010062317指导教师：职称：起讫日期：制表日期：年月日本科毕业论文I摘要：一个n阶矩阵的幂运算是矩阵论中基本运算问题，在给定的矩阵的阶数较高时，计算量很大。本文针对该问题，结合实例介绍了数学归纳法、二项式展开法、乘法结合律方法、分块对角矩阵法、Jordan标准形法、最小多项式法及特殊矩阵法等多种方阵高次幂求解方法，为n阶矩阵的幂运算提供一个参照。关键词：矩阵的幂；相似矩阵；分块矩阵；Jordan标准形；最小多项式；特殊矩阵；图论算法Abstract：Thepoweroperationofan-ordermatrixisafundamentaloperationinmatrixtheory.Whenthegivenmatrixhasahighorderwhichwillleadtoacomplexoperation.Onthisquestion,thispaperwillintroducemanymethodstofindthesolutionofhighordermatrixcombinewithsomelivingexamples,suchasmathematicalinduction,multiplicationlawofassociation,binomialexpansionmethod,blockdiagonalmatrix,Jordanstandardform,minimumpolynomialsmethodandspecialmatrixwhichofferareferencetothepoweroperationofn-ordermatrix.Keywords：Thepowerofmatrix；similarmatrix；partitioningofmatrix;Jordanstandardform;minimumpolynomials;specialmatrix;algorithmofgraphtheoryn阶矩阵的幂运算II目录引言................................................................11预备知识..........................................................11.1矩阵的幂的概念及其运算律........................................12n阶矩阵A的高次幂的若干算法及应用举例...........................12.1利用数学归纳法求解方阵高次幂....................................12.2利用二项式展开法求解方阵高次幂..................................22.3利用矩阵乘法结合律求解方阵高次幂................................32.4利用分块对角矩阵求解方阵高次幂..................................42.5利用Jordan标准形求解方阵高次幂................................52.6用最小多项式法求解方阵高次幂....................................62.7特殊矩阵法求解方阵高次幂........................................72.7.1对合矩阵......................................................72.7.2幂等矩阵......................................................82.8利用图论算法求解方阵高次幂......................................92.8.1邻接矩阵......................................................92.8.2个nnAAAA的元素的意义......................................93结束语...........................................................10参考文献...........................................................12致谢...............................................................13本科毕业论文1引言矩阵理论是高等代数的主要内容之一。矩阵理论和方法对于图论的研究起了很重要的推动作用，同时也是数学及许多科学领域中的重要工具，它有着广泛的应用。掌握矩阵的运算及它们的运算规律是学习矩阵知识的一个重要环节。矩阵的幂运算以矩阵的乘法运算为基础，而矩阵的幂运算是比较麻烦的，因此，不断寻找简便的算法便成为矩阵幂运算方面的重要课题。目前，对于矩阵高次幂的运算问题，有许多人进行过研究，本文在此基础上，以分类讨论的思想，系统全面地介绍了一般n阶矩阵及一些特殊矩阵的高次幂的求解方法。对简单矩阵的低次幂的求解可直接按矩阵乘法的定义求解，对秩为1的n阶矩阵可考虑用矩阵乘法结合律方法求解，另外还有二项式展开法、分块对角矩阵法、一般的n阶矩阵可采用Jordan标准形法、最小多项式等求解方法，以及特殊矩阵法（如：对合矩阵、幂等矩阵的高次幂求法）、图论算法。诸方法为n阶矩阵的幂运算提供一个参照。在实际应用中，可根据方阵的不同特征采用不同的计算方法以简化计算。1预备知识1.1矩阵的幂的概念及其运算律在矩阵的运算中，乘法是经常用到的一种运算。特别地，当一个矩阵为方阵时，可以定义矩阵与它自身的乘法运算，即矩阵的幂。定义（矩阵的幂）[1]设A是nn矩阵（n阶方阵），m是正整数，则个mmAAAA称为A的m次幂。由方阵的幂的定义，显然有以下运算律：klklAAA；()klklAA；()kkkAA；||||kkAA；()()kTTkAA，其中k，l为非负整数。2n阶矩阵A的高次幂的若干算法及应用举例2.1利用数学归纳法求解方阵高次幂该方法的思路是通过计算2A，3A等，从中发现kA的元素的规律，再用数学归n阶矩阵的幂运算2纳法证明。例1已知矩阵100100A，试求kA（k为自然数）．解：可求得2222210200A,323323330300A,观察这些矩阵的规律可以看到,2A的第1行元素是2(1)展开式的三项元素,而3A的第1行元素是3(1)展开式的前三项，由此推测，kA的第1行元素应该是(1)k的展开式的前三项元素，k，1kk，2(1)2kkk．现假设121(1)2000kkkkkkkkkkAk，显然当2k时是成立的；则1211(1)1020010000kkkkkkkkkkkAAAk1111(1)(1)20(1)00kkkkkkkkkk，即1k时结论也成立，故由归纳假设法知上述结论正确．2.2利用二项式展开法求解方阵高次幂若n阶矩阵A可分解为AFG,且矩阵F与G的高次幂容易计算，FGGF（即F与G可交换，否则二项展开公式不成立），则有112221()kkkkkkkkkkkAFGFCFGCFGCFGG．特别：若n阶矩阵A的主对角上元素相同，这样A可表为一个纯量矩阵kE与另本科毕业论文3一个矩阵G之和，即AkEG，且G的高次幂易计算，则采用该方法较直观．例2对例1中的矩阵A，将矩阵A分解为000100000100000AEH，其中010001000H，可以验证矩阵H满足2001000000H，340HH，且()()EHHHE,即E与H可交换，由二项式展开公式得：11222()()()()kkkkkkkAEHECEHCEH121221(1)2(1)0200kkkkkkkkkkkkkkEkHHk．2.3利用矩阵乘法结合律求解方阵高次幂对于n阶矩阵A，若()1rA，则矩阵A至少有一行元素不为零，且其余各行元素都是它的倍数，于是秩为1的nn的矩阵的一般形式为111212122212nnnnnnababababababAababab，若设12naaa，12nbbb，,(1,2,,)iiabin均为非零实数，则()TA，记1122()TnnatrAababab，则有111()()()()kkTTTTkTkTkAaaA个．这种方法就称矩阵的乘法结合律[2]．n阶矩阵的幂运算4例3已知矩阵1112322133312A，求nA（n为自然数）．解：对A施行初等变换，不难发现()1rA，考虑用乘法结合律：取11(1,2,3),(1,,)23TT，则TA，且()3TatrA，于是1111123232133312nnnAaA．2.4利用分块对角矩阵求解方阵高次幂当一个n阶矩阵的阶数比较大时，可以通过用一些横线和竖线将矩阵分成许多小块，这些小块称为矩阵的子阵。若n阶矩阵可分成分块对角阵形式，则可以将高阶矩阵的高次幂计算问题转化为简单子阵的高次幂计算问题，从而达到简化计算的目的．即对于分块对角矩阵12SAAAA，有12kkkkSAAAA，其中(1,2,,)iAis均为方阵[3]．例4已知2400120000200042A，求nA（n为自然数）．解：矩阵A可分块为00BAC,其中2420,1242BC于是00nnnBAC，下面求nB与nC，本科毕业论文5由于2421,2121TB，其中21,12，于是1111424()4442nnnTnnnnBB又有20242CEG,其中0040G，且20,(2)(2)GEGGE，由二项式展开公式得111120(2)(2)(2)22422nnnnnnnnnnCEGECEGEnGn故1111424000442000002000422nnnnnnnnnnBACn．2.5利用Jordan标准形求解方阵高次幂我们知道，若A与n阶对角阵D相似，则可求出一个n阶可逆阵P，使：1PAPD,于是1nnAPDP；若A不与n阶对角阵相似（即A不可对角化），则可用Jordan标准形法来求解．定理（Jordan定理）[4]设nnAC，则A与一个Jordan矩阵J相似，这个Jordan矩阵J除去其中Jordan块的排列次序外是被矩阵A唯一确定的，称J为A