高考数学常见创新题型赏析

（原创、首发、专投稿，适合高二、高三年级11月份用，同意删改）高考数学创新题分类探究贵州省龙里中学洪其强（551200）一、建构数列型：数列作为特殊的函数，在高考数学中占有相当重要的位置，主要涉及增长率、银行信贷等．解答这一类问题，要充分应用观察、归纳、猜想的手段，建立起等差、等比、或递推数列的模型来解题．例1（2003年朝阳区高三统一练习（二））2002年底某县的绿化面积占全县总面积的40%，从2003年开始，计划每年将非绿化面积的8%绿化，由于修路和盖房等用地，原有绿化面积的2%被非绿化.（Ⅰ）设该县的总面积为1，2002年底绿化面积为1041a，经过n年后绿化的面积为,1na试用na表示1na；（Ⅱ）求数列}{na的第1n项1na；解析（Ⅰ）设现有非绿化面积为1b，经过n年后非绿化面积为.1nb于是.1,111nnbaba依题意：1na是由两部分组成，一部分是原有的绿化面积na减去被非绿化部分na1002后剩余的面积na10098，另一部分是新绿化的面积.1008nb于是1na=na10098+.1008nb=na10098+.252109)1(1008nnaa（Ⅱ）1na=,252109na1na－54=－).54(109na,数列}54{na是公比为,109首项5254104541a的等比数列.nna)109)(52(541二、信息迁移型：信息迁移题指的是不便于直接运用所学数学知识解决问题，而需要从所给材料中获取信息，并用于新问题解决的一类问题．这一类问题，往往出现在一个较新的背景之下，题型新颖，形式多样，融综合性、应用性、开放性、创新性于一体．信息迁移型题可分为定义信息型、图表信息型、图形图像信息型等.1．定义信息型例1定义运算acadbcbd，复数z满足11ziii，则复数在的模为A．12B．3C．5D．12解析由11ziii得1212iziiizii，222(1)5z，故选C。例2（2001上海22）对任意函数f(x),x∈D，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据x0∈D，经数列发生器输出x1=f(x0)；②若x1D，则数列发生器结束工作；若x1∈D，则将x1反馈回输入端，再输出x2=f(x1)，并依此规律继续下去.现定义124)(xxxf（1）若输入x0=6549，则由数列发生器产生数列{xn}，请写出{xn}的所有项；（2）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x0的值；（3）若输入x0时，产生的无穷数列{xn}，满足对任意正整数n均有xn＜xn+1；求x0的取值范围.解析（1）∵f(x)的定义域D=（–∞,–1)∪(–1,+∞)∴数列{xn}只有三项，1,51,1911321xxx（2）∵xxxxf124)(,即x2–3x+2=0∴x=1或x=2，即x0=1或2时nnnnxxxx1241，故当x0=1时，xn=1，当x0=2时，xn=2（n∈N*）（3）解不等式124xxx，得x＜–1或1＜x＜2要使x1＜x2，则x2＜–1或1＜x1＜2对于函数164124)(xxxxf，若x1＜–1，则x2=f(x1)＞4，x3=f(x2)＜x2；若1＜x1＜2时，x2=f(x1)＞x1且1＜x2＜2，依次类推可得数列{xn}的所有项均满足xn+1＞xn（n∈N*）综上所述，x1∈(1,2)，由x1=f(x0),得x0∈(1,2).2．图表信息型例3深夜，一辆出租车被牵涉进一起交通事故，该市有两家出租车公司——红色出租车公司和蓝色出租车公司，其中蓝色出租车公司和红色出租车公司分别占整个城市出租车的85%和15%。据现场目击证人说，事故现场的出租车是红色，并对证人的辨别能力作了测试，测得他辨认的正确率为80%，于是警察就认定红色出租车具有较大的肇事嫌疑.请问警察的认定对红色出租车公平吗？试说明理由.解析设该城市有出租车1000辆，那么依题意可得如下信息：证人所说的颜色（正确率80%）真实颜色蓝色红色合计蓝色（85%）680170850红色（15%）30120150合计7102901000从表中可以看出，当证人说出租车是红色时，且它确实是红色的概率为41.0290120，而它是蓝色的概率为59.0290170.在这种情况下，以证人的证词作为推断的依据对红色出租车显然是不公平的.例4已知某海滨浴场的海浪高度y（米）是时间t(0≤t≤24，单位小时）的函数，记作y=f(t)，下表是某日各时的浪高数据t03691215182124（时）y（米）1.51.00.51.01.4910.510.991.5经长期观测y=f(t)的曲线可近似地看成函数y=Acosωt+b.（1）根据以上数据，求出函数y=Acosωt+b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动.解析（1）由表中数据，知T=12，ω=62T.由t=0,y=1.5得A+b=1.5.由t=3,y=1.0,得b=1.0.所以，A=0.5,b=1.振幅A=21，∴y=16cos21t(2)由题意知，当y1时，才可对冲浪者开放.∴16cos21t1,t6cos0.∴2kπ–2262kt,即有12k–3t13k+3.由0≤t≤24,故可令k=0,1,2,得0≤t3或9t15或21t≤24.∴在规定时间内有6个小时可供冲浪者运动即上午9：00至下午15：00.3.图形、图像信息型例5一只小船以10m/s的速度由南向北匀速驶过湖面，在离湖面高20米的桥上，一辆汽车由西向东以20m/s的速度前进（如图），现在小船在水平P点以南的40米处，汽车在桥上以西Q点30米处（其中PQ⊥水面），则小船与汽车间的最短距离为.（不考虑汽车与小船本身的大小）.解析：设经过时间t汽车在A点，船在B点，（如图），则AQ=30–20t,BP=40–10t,PQ=20,且有AQ⊥BP，PQ⊥AQ，PQ⊥PB，设小船所在平面为α,AQ,QP确定平面为β,记α∩β=l,由AQ∥α,AQβ得AQ∥l,又AQ⊥PQ，得PQ⊥l,又PQ⊥PB，及l∩PB=P得PQ⊥α.作AC∥PQ，则AC⊥α.连CB，则AC⊥CB，进而AQ⊥BP，CP∥AQ得CP⊥BP，∴AB2=AC2+BC2=PQ2+PB2+PC2=202+（40–10t）2+(30–20t)2=100［5(t–2)2+9］,t=2时AB最短，最短距离为30m.答案：30m例6某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系如下图1所示的一条件线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用如下图2所示的抛物线段表示.(1)写出如图1所示市场售价与时间的函数关系式P=f(t)；写出如下图2所示种植成本与时间的函数关系式Q=g(t).(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天)图1图2解析(1)f(t)=.300200,3002,2000,300tttt；g(t)=2001(t-150)2+100，0≤t≤300.(2)设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意得h(t)=f(t)-g(t)，即h(t)=.300200,21025272001,2000,217521200122tttttt当0≤t≤200时，配方整理得h(t)=-2001(t-50)2+100，所以，当t=50时,h(t)取得区间［0，200］上的最大值100；当200＜t≤300时，配方整理得h(t)=-2001(t-350)2+100所以，当t=300时，h(t)取得区间(200，300］上的最大值87.5综上，由100＞87.5可知，h(t)在区间［0，300］上可以取得最大值100，此时t=50，即从2月1日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大.三、函数与数列、不等式证明的综合型：函数与数列、不等式证明的综合题在高考中常考常新,是既考知识又考能力的好题型,在高考备考中有较高的训练价值同时这类问题在高考中频频出现,是历年高考试题中不容忽视的一个考点。例7已知函数f(x)=aaaxx（ａ＞０，ａ(1)证明函数f(x)的图象关于点P(21,21)(2)令an＝)1()(nfnfa，对一切自然数n，先猜想使an＞ｎ２成立的最小自然数a,(3)求证：nnnn)(!(lg3lg)1(41∈Ｎ).解析(1)关于函数的图象关于定点P对称,可采用解几中的坐标证法.设M(x,y)是f(x)图象上任一点，则M关于P(21,21)的对称点为Myxfaaaaaayaaaaaaaaaaxxxxxxx1)1(1111∴Ｍ′(1-x,1-y)亦在f(x)的图象上，故函数f(x)的图象关于点P(21,21)对称.(2)将f(n)、f(1-n)的表达式代入an的表达式，化简可得an＝ａｎ猜a=3,即3ｎ＞ｎ２设n=k(k≥２)时，3ｋ＞ｋ２则n=k+1时，3ｋ＋１＞３·３ｋ＞３ｋ２又3k２－（ｋ＋１）２＝２（ｋ－21）２－23≥０（ｋ≥２，ｋ∴３ｎ＞ｎ２.(3)∵３ｋ＞ｋ２∴ｋｌｇ３＞２ｌｇｋ令k=1,2,…，n，得n个同向不等式，并相加得：).!lg(3lg)1(4),21lg(23lg2)1(nnnnnn故四、方案优化型寻找问题的最优解，是这一类题目的共同特点．解决问题的方法主要涉及线性规划、均值不等式、单调性等求最值的方法．例8已知甲、乙、丙三种食物的维生素A、B含量及成本如下表，若用甲、乙、丙三种食物各x千克，y千克，z千克配成100千克混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B.甲乙丙维生素A（单位/千克）600700400维生素B（单位/千克）800400500成本（元/千克）1194（1）用x，y表示混合食物成本c元；（2）确定x，y，z的值，使成本最低.解析（1）依题意得100,4911zyxzyxc又yxc57400.（2）由yxzzyxzyx100,6300050040080056000400700600及,得130332064yxyx，.45057yx,85045040057400yxc当且仅当2050,130332064yxyxyx即时等号成立.,∴当x=50千克，y=20千克，z=30千克时，混合物成本最低为850元.五、是否存在型：给出一定的条件,让我们去证明在给定条件下,一些给定的结论一定存在或一定不存在,或者要求我们去判断在给定条件下的结论是否存在.例9已知方向向量为v=(1,3)的直线l过点（0，－23）和椭圆C：)0(12222babyax的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存在过点E（－2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，满足634ONOM，cot∠MON≠0（O为原点）.若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由.解析(Ⅰ)由题意可得直线ι：323yx,①过原点垂直ι的方程为3,3yx②解①②得x=32.∵椭圆中心O(0,0)关于直线ι的对称点在椭圆C的右准线上,∴23232ac.∵直线ι过椭圆焦点,∴该焦点坐标为(2,0).∴a2=6,c=2,b2=2,故椭圆C的方程为22162xy.③(Ⅱ)设M(x1,y1),N(x2,y2),当直线m不垂直x轴时,直线m：y=k(x+2)代入③,整理得(3k2+1)x2+12k2x+12k2-6=0,则x1+x2=