第十章-损失分布

2020年4月18日6时5分1风险管理讲义2020年4月18日6时5分2第八章损失分布引言第一节概率论与数理统计基本概念第二节常用损失分布及性质第三节获得损失分布的一般过程2020年4月18日6时5分3第八章损失分布1、损失分布建立在概率论与数理统计基础上2、常用描述风险损失分布：二项分布；几何分布；泊松分布；负二项分布；正态分布3、获得损失分布方法：经典统计法、贝叶斯方法、随机模拟法2020年4月18日6时5分4引言风险管理措施依赖于事先对风险做出定量预测，预测的结果就是损失分布。风险是未来的不确定性，无法用一个数值描述，只能用汇总所有结构及其发生概率的概率分布来描述。概率论与数理统计是基础与关键。2020年4月18日6时5分5第一节概率论与数理统计的基本概念一、概率论基本概念1、随机事件与样本空间定义：广义从某一研究目的出发，对随机现象进行观察或测量的过程均可称为随机试验。一个过程的结果的某种集合称为一个事件，无法再分解为更简单成分的结果或事件称为基本事件。随机试验的结果也称随机事件。随机试验的所有基本事件的集合称为此试验的样本空间，其中每一个结果称为样本点。2020年4月18日6时5分6第一节概率论与数理统计的基本概念一、概率论基本概念2、概率的定义一般地，概率用P表示，事件用A，B或C表示，P（A）就表示事件A发生的概率。定义：古典概率（结果发生必须是等可能的）：假设一个试验包括n种不同的基本事件，这些基本事件发生的可能性都是相同的。如果在这n个结果种，有m种属于事件A，那么P（A）=m/n2020年4月18日6时5分7第一节概率论与数理统计的基本概念一、概率论基本概念定义：概率的统计定义：将一个试验在相同条件下重复n次，假设事件A出现了m次。当试验的重复次数足够多时，事件A发生的概率可以用事件A发生的频率来近似，即P（A）=m/n2020年4月18日6时5分8第一节概率论与数理统计的基本概念一、概率论基本概念定义：主观概率：事件A的概率P（A）是基于相关环境知识，通过对它的值进行猜想或估计计算出的。我们主观估计的概率与实际概率存在很大不同。见案例！2020年4月18日6时5分9第一节概率论与数理统计的基本概念如果你做一个深呼吸，你有超过99%机会吸入凯撒垂死时呼出的最后一口气的分子。如果苏格拉底致命的铁杯里装满了很多水，那么你喝下一杯水中就有可能含有一个同样的水分子。在一个班里25名同学中，有超过50%可能性，至少有2个学生的生日是在同一天。2020年4月18日6时5分10第一节概率论与数理统计的基本概念2020年4月18日6时5分11苏格拉底小故事苏格拉底虽是古希腊一位伟大的哲学家和教育家，但他自己一篇著作也没有留下，我们只能从他的学生如柏拉图、色诺芬等人的著作中了解他的言行和思想。这一点颇像我国古代伟大的哲学家、教育家孔子。孔子一生也是“述而不作”，没有留下任何著作。《论语》这部著作要是他的弟子和他的再传弟子们将他一生的言行整理、汇集成。2020年4月18日6时5分12第一节概率论与数理统计的基本概念一、概率论基本概念3、概率的运算规则（1）加法：P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）如果A和B是互斥的，那么P（A+B）=P（A）+P（B）（2）乘法：P（AB）=P（A）P（B\A）条件概率P（B\A）=P（AB）/P（A）如果A和B是独立的，那么P（AB）=P（A）P（B）2020年4月18日6时5分13例2.甲、乙两人先后从52张牌中各抽取13张,求甲或乙拿到4张A的概率.1)甲抽后不放回，乙再抽;2)甲抽后将牌放回，乙再抽.1)A、B互斥P(A+B)=P(A)+P(B)1339135293513481352948CCCCCC解：设A={甲拿到4张A}，B={乙拿到4张A}所求为P(A+B)计算P(A)和P(B)时用古典概型1352948CC22020年4月18日6时5分142)A、B相容P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)1352135294894813529482CCCCCC解：设A={甲拿到4张A}，B={乙拿到4张A}所求为P(A+B)2020年4月18日6时5分15P(A)=1/6，例如，掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}，B={掷出偶数点}，P(A|B)=？掷骰子已知事件B发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是B，于是P(A|B)=1/3.B中共有3个元素，它们的出现是等可能的，其中只有1个在集A中，容易看到)()(636131BPABPP(A|B)2020年4月18日6时5分16注意P(AB)与P(A|B)的区别！请看下面的例子2020年4月18日6时5分17例2甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中300件是乙厂生产的.而在这300个零件中，有189个是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？所求为P(AB).甲、乙共生产1000个189个是标准件300个乙厂生产300个乙厂生产设B={零件是乙厂生产}A={是标准件}2020年4月18日6时5分18所求为P(AB).设B={零件是乙厂生产}A={是标准件}若改为“发现它是乙厂生产的,问它是标准件的概率是多少?”求的是P(A|B).B发生,在P(AB)中作为结果;在P(A|B)中作为条件.甲、乙共生产1000个189个是标准件300个乙厂生产2020年4月18日6时5分19第一节概率论与数理统计的基本概念一、概率论基本概念3、概率的运算规则（3）全概率公式与贝叶斯公式全概率公式用于某一事件的概率的计算。如果事件组满足：①A1，A2，…An两两互斥，且P（Ai）0（i=1，…，n）；②A1+A2+…+An=U（U为整个样本空间），则对任何一事件B皆有1()()(\)niiiPBPAPBA2020年4月18日6时5分20第一节概率论与数理统计的基本概念一、概率论基本概念贝叶斯：当我们对一个事件知道更多时，概率应该被修正。表示A的补，A()(\)(\)()(\)()(\)PAPBAPABPAPBAPAPBA()1()PAPA2020年4月18日6时5分21第一节概率论与数理统计的基本概念一、概率论基本概念4、随机变量与概率分布定义：一个随机变量是指这样一个便利，对于过程中的每个结果，都有一个由可能性决定的唯一的数值与之对应。如果变量的数值有限或可数，则称这个随机变量为一个离散随机变量。如果一个随机变量有无限多取值，这些数值能够和一种没有间断的连续刻度的度量联系起来，则称这种随机变量为连续随机变量。一个概率分布（probabilitydistribution）表示随机变量每个值的概率图、表或公式。2020年4月18日6时5分22第一节概率论与数理统计的基本概念一、概率论基本概念5、随机变量的数字特征期望值（expectedvalue）：如果随机试验无限重复下去，我们所期望得到的平均值。方差（variance）：表示随机变量取值与其期望值偏离程度。定义：离散随机变量X的期望值其中是随机变量X的第i个取值，iiExpixiPxip为（）2020年4月18日6时5分23第一节概率论与数理统计的基本概念一、概率论基本概念连续随机变量X的期望值为随机变量X的取值，为随机变量X的概率密度函数。连续随机变量用函数形式表示概率分布称为概率密度函数离散随机变量X的方差随机变量X的期望值。E()xfxdx＝x()fx22()iipx2020年4月18日6时5分24第一节概率论与数理统计的基本概念一、概率论基本概念连续随机变量X的期望值22()()xfxdx2020年4月18日6时5分25第一节概率论与数理统计的基本概念二、数理统计基本概念1、统计推断：从一般到具体方法称为演绎法，是概率论的研究方法。从具体到一般方法称为归纳法，是数理统计研究方法。抽取样本观察，整理分析判断，得出一般结论---统计推断数理统计作用提供归纳推断方法，并对推断结论可信度做出计量2020年4月18日6时5分26第一节概率论与数理统计的基本概念二、数理统计基本概念2、总体、样本与分布定义：按照统计研究目的而确定的同类事物或出现现象的全体称为总体，它是个体或特体性质的集合。样本（sample）指从总体中抽取若干个元素而构成的集体。数理统计中，一般采用概率抽样，即每个单位都有指定概率被选中，便于基于概率论推断总体。2020年4月18日6时5分27第一节概率论与数理统计的基本概念二、数理统计基本概念总体的数值分布的规律称为总体分布，其中的特征数称为参数。从总体中抽取容量为n的样本，样本观察值的分布称为经验分布。使用样本数据来估计总体参数的公式或过程称为估计量。用来近似总体参数的特征数值或数值的范围称为估计值。样本数据平均值称为样本均值，样本数据的方差和标准差分别称为样本方差和样本均方差。2020年4月18日6时5分28第一节概率论与数理统计的基本概念二、数理统计基本概念3、偏态定义：将数据按照大小依次排列，处于中间位置的数值称为中位数，出现最多的那个数值称为众数。如果数据的均值、中位数和众数三者是相同的，则这个分布是对称分布，没有偏态。如果一个分布的众数小于中位数，则称其为正偏或右偏，反之称为负偏或左偏。2020年4月18日6时5分29第一节概率论与数理统计的基本概念正偏负偏2020年4月18日6时5分30第一节概率论与数理统计的基本概念二、数理统计基本概念4、相关定义：当两个变量中的一个以某种方式和另一个有关时，就称这两个变量之间是相关的。相关性可以相关系数（correlationcoefficient）来度量。线性相关系数r（皮尔森积距相关系数）度量的是一个样本中成对的x值和y值之间线性关系的程度，2020年4月18日6时5分31第一节概率论与数理统计的基本概念二、数理统计基本概念其中，即随机变量X和Y的标准差，称为X和Y的协方差，,11xyxxyyrrxxyy和cov(,),xyXY记为()()xyiiipxxyy2020年4月18日6时5分32第一节概率论与数理统计的基本概念二、数理统计基本概念计算相关系数结论：1、正相关是两个随机变量倾向于以相同方向变化，负相关指的是二者倾向于相反方向变化。2、相关性不代表因果性！（当相关系数大时，不能简单认为x的变化引起y的变化，而唯一有效结论是：x和y之间也许存在某种线性趋势，可能是与二者有因果关系的第三个变量在起作用。2020年4月18日6时5分33第二节常用的损失分布及性质1、二项分布(常用离散型概率分布)其模型:假设在n次独立的重复试验中，每次试验只可能有两种结果（1或0），设在每一次试验中1出现的概率都是p2020年4月18日6时5分34第二节常用的损失分布及性质则随机变量X的概率分布：二项分布的均值和方差：()()EXnpVarXnpq,0,1,...,;1kknknpXkCpqknqp2020年4月18日6时5分35007125.0)95.0()05.0()2(223CXP例3已知100个产品中有5个次品，现从中有放回地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2个次品的概率.解:因为这是有放回地取3次，因此这3次试验的条件完全相同且独立，它是贝努里试验.依题意，每次试验取到次品的概率为0.05.设X为所取的3个中的次品数，于是，所求概率为：则X~B(3,0.05)，2020年4月18日6时5分36例4某类灯泡使用时数在1000小时以上的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率.解:设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯泡数.X~B(3,0.8)，把观察一个灯泡的使用时数看作一次试验,“使用到1000小时已坏”视为“成功”.每次试验,“成功”的概率为0.8P(X1)=P(X=0)+P(X=1)=(0.2)3+3(0.8)(0.2)2=0.104,)2.0()8.0()(33kkkCkXP3,2,1,0k2