异面直线所成的角讲义(教师版)

第1页，共5页ABCDA1B1C1D1EF异面直线所成的角1.基础知识：余弦定理：abcbcAAbcabc22222222coscos正弦定理：aAbBcCRaRAbRBcRCsinsinsinsinsinsin2222SabC12·sin2.平移法例1．如图，在正方体1111DCBAABCD中，E、F分别是1BB、CD的中点．求AE与FD1所成的角。证明：取AB中点G，连结A1G，FG，因为F是CD的中点，所以GF∥AD，又A1D1∥AD，所以GF∥A1D1，故四边形GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F。设A1G与AE相交于H，则∠A1HA是AE与D1F所成的角。因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌△ABE,∠GA1A=∠GAH,从而∠A1HA=90°,即直线AE与D1F所成的角为直角。例2．在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别为AB、CD的中点，EF＝3，求AD、BC所成角的大小．解：设BD的中点G，连接FG，EG。在△EFG中EF＝3FG＝EG＝1∴∠EGF＝120°∴AD与BC成60°的角。例3．S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SA＝SB＝SC，且2ASBBSCCSA，M、N分别是AB和SC的中点．求异面直线SM与BN所成的角的余弦值．证明：连结CM，设Q为CM的中点，连结QN则QN∥SM∴∠QNB是SM与BN所成的角或其补角BMANCS第2页，共5页连结BQ，设SC＝a，在△BQN中BN＝a25NQ＝21SM＝42aBQ＝a414∴COS∠QNB＝5102222NQBNBQNQBN例4．正ABC的边长为a，S为ABC所在平面外的一点，SA＝SB＝SC＝a，E，F分别是SC和AB的中点．求异面直线SA和EF所成角．答案：45°例5．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M、N分别是AB和AC的中点，若BC＝CA＝CC1，求B1M与A1N所成角的余弦值．解：连接MN，作NG∥B1M交B1C1于G，连接AG，易证∠GNA1就是B1M与A1N所成的角．设：BC＝CA＝CC1＝2，则A1G＝A1N＝5，GN＝B1M＝6，cos∠GNA＝1030562556。例6．如图的正方体中，E是A′D′的中点(1)图中哪些棱所在的直线与直线BA′成异面直线?求直线BA′和CC′所成的角的大小；求直线AE和CC′所成的角的正切值；求直线AE和BA′所成的角的余弦值解：(1)∵A平面BC′，又点B和直线CC′都在平面BC′内，且BCC′,∴直线BA′与CC′是异面直线同理，正方体12条棱中的C′D′、DD′、DC、AD、B′C′所在的直线都和直线BA′成异面直线(2)∵CC′∥BB′，和BB′所成的锐角就是BA′和CC′所成的角和CC′所成的角是(3)∵AA′∥BB′∥CC′，故AE和AA′所成的锐角∠A′AE是AE和所成的角在Rt△AA′E中，tan∠A′AE＝AEAA＝21，所以AE和CC′所成角的正切值是21(4)取B′C′的中点F，连EF、BF，则有EF＝∥AB＝∥AB,∴ABFE是平行四边形，从而BF＝∥AE,即BF∥AE且BF=AE.∴BF与BA′所成的锐角∠A′BF就是AE和BA′所成的角A1C1B1NMA1C1B11111BAABCDCDFE第3页，共5页设正方体各棱长为2，连A′F，利用勾股定理求出△A′BF的各边长分别为A′B＝22，A′F＝BF＝5，由余弦定理得：cos∠A’BF＝5105222)5()5()22(2223.补形法例1：在正方体AC1中，M,N分别是A1A和B1B的中点，求异面直线A1M和D1N所成的角的余弦值？方法一：（平移法）155AOM方法二：（补形法）A1C1与BD1所成角的余弦值为55ABFM55第4页，共5页课堂训练：1．如图，四面体ABCD中，AC⊥BD,且AC＝4，BD＝3，M、N分别是AB、CD的中点，求MN和BD所成角的正切值2.如图，四面体ABCD中，AB⊥BC，AB⊥BD，BC⊥CD，且AB＝BC＝6，BD＝8，E是AD中点，求BE与CD所成角的余弦值3.如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方体，M、N分别是BC和A1C1的中MN与CC1所成角的余弦值。4.如图，四面体ABCD中，E为AD中点，若AC＝CD＝DA＝8，AB＝BD＝5，BC＝7，求BE与CD所成角的余弦值。答案；1．34，取AD中点E，则∠MEN＝90°；2．57，取AC中点F，连EF、BF，求得BE＝21AD＝5，BF＝21AC＝32；3．552，分别取AC、B1C1的中点P、Q，则PMQN是矩形，设CC1＝MQ＝a，则MP＝21a；4．61，取AC中点F，连EF、BF，则EF＝4，BE＝BF＝3．ABCDM(第1题)N43ABCD(第2题)E668(第3题)MABCNC1A1B18ABCDE(第4题)785445第5页，共5页异面直线所成的角练习题1.如图在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角的余弦值是A．515B．22C．510D．02.在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为1的菱形，PAABC,60底面ABCD，PA=1，则异面直线AB与PD所成角的余弦值为A．42B．22C．414D．323.过空间一定点P的直线中，与长方体1111ABCDABCD的12条棱所在直线成等角的直线共有A．0条B．1条C．4条D．无数条4.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的底面A1B1C1D1内取一点E，使AE与AB、AD所成的角都是60°，则线段AE的长为A．52B．62C．2D．35.已知S—ABC是正四面体，M为AB之中点，则SM与BC所成的角的余弦值为。6.在正方体ABCD–A1B1C1D1中，已知E是棱C1D1的中点，则异面直线B1D1与CE所成角的余弦值的大小是A．54B．55C．510D．10107.正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为棱AB的中点，则异面直线DM与D1B所成角的余弦值为A．615B．515C．315D．10158.在三棱锥P—ABC中，ABCPA底面，BCAC，BCACPA，则两直线PC与AB所成角的大小是.参考答案：1.D2.A3.C4.C5.636.D7.B8.60