第五章--弯曲应力

第1页共22页第五章弯曲应力内容提要一、梁的正应力Ⅰ、纯弯曲和横力弯曲纯弯曲：梁横截面上的剪力为零，弯矩为常量，这种弯曲称为纯弯曲。横力弯曲：梁横截面上同时有剪力和弯矩，且弯矩为横截面位置x的函数，这种弯曲称为横力弯曲。Ⅱ、纯弯曲梁正应力的分析方法：1.观察表面变形情况，作出平面假设，由此导出变形的几何方程；2.在线弹性范围内，利用胡克定律，得到正应力的分布规律；3.由静力学关系得出正应力公式。Ⅲ、中性层和中性轴中性层：梁变形时，其中间有一层纵向线段的长度不变，这一层称为中性层。中性轴：中性层和横截面的交线称为中性轴，梁发生弯曲变形时横截面就是绕中性轴转动的，在线弹性范围内，中性轴通过横截面的形心。中性层的曲率，平面弯曲时中性层的曲率为1zMxxEI(5-1)式中：x为变形后中性层的曲率半径，Mx为弯矩，zEI为梁的弯曲刚度。(5-1)式表示梁弯曲变形的程度。Ⅳ、梁的正应力公式1.横截面上任一点的正应力为zMyI(5-2)正应力的大小与该点到中性轴z的距离y成正比，试中M和y均取其绝对值，可根据梁的变形情况判断是拉应力或压应力。2.横截面上的最大正应力，为maxmaxzMyI(5-3)maxzzIWy(5-4)zW为弯曲截面系数，对于矩形、圆形和弯环截面等，zW的公式应熟记。3.弯曲正应力公式的适用范围：1)在线弹性范围内p，在小变形条件下的平面弯曲弯。2)纯弯曲时，平面假设成立，公式为精确公式。横力弯曲时，平面假设不成立，公第2页共22页式为近似公式，当梁的跨高比5lh时，误差2%。Ⅴ、梁的正应力强度条件拉、压强度相等的等截面梁maxmaxzMW(5-5)式中，为料的许用正应力。当梁内,max,maxtc，且材料的tc时，强度条件应为,maxtt，,maxcⅥ、提高梁正应力强度的措施1)设法降低最大弯矩值，而提高横截面的弯曲截面系数。可使梁的最大正应力降低，从而提高梁的承载能力。2)对于tc的梁，应使横截面的中性轴偏于受拉一侧，最好使,max,maxttccyy拉压，使,maxt和,maxc同时达到其许用应力。3)采用等强度梁或变截面梁，使每个横截面上的最大正应力同时达到许用应力或接近许用应力。二、梁的切应力梁的切应力公式的分析方法是，首先对切应力在横截面上的分布规律作出部分假设，再根据微段的平衡条件导出切应力公式。横截面形状态不同，对切应力在横截面分布规律的假设不同，必须按不同横截面形状分别导出其切应力公式。Ⅰ、矩形截面梁假设切应力的方向平行于剪力sF，其大小沿宽度b均匀分布(图b)，由图a中带阴影线部分微段的平衡条件，得xszzFSbI(5-6)式中，sF为横截面上的剪力，b为横截面的宽度，312zbhI，xzS为横截面上距中性轴为y()a51图xxdxAByysFsFMMdMxxdxAByysFsFMMdMzybhhbzybhhb()byzsFAFx2hyhybmax()byzsFAFx2hyhybmaxmax第3页共22页的横向线以下(或以上)的部分面积2hby对中性轴z的静面矩，其值为2224xzbhSy，可见切应力沿横截面高度h按抛物线规律变化，2yh处，0，0y(中性轴处)时，max，其值为max3322ssFFbhA(5-7)Ⅱ、工字形截面梁1.腹板上的切应力切应力的分布假设同矩形截面梁，由微段(图5-2b)的平衡条件，得xszzFSdI(5-8)式中，sF为横截面上的剪力，d为腹板的宽度，zI为整个工字形截面对中性轴的惯性矩，xzS为距中性轴z为y的横向线以下(或以上)的部分横截面面对对中性轴z的静面矩211222xzhSbhdy，可见剪应力沿腹板高按抛物规律分布(图5-2，d)，在腹板和翼缘交界处min，在中性轴处max，其值为,maxmaxszzFSdI(5-9)式中，,maxzS为中性轴以下(或以上)的半个横截面对中性轴z的静面矩，计算min时，xzS为下(或上)翼缘的面积对中性轴z的静面矩。型钢时,maxzzIS为型钢表中的xxIS。腹板的主要功能之一是抗剪切，腹板承受铅垂剪力的约95%~97%。2.翼缘上的切应力翼缘上的水平切应力沿其厚度均匀分布，由图c所示微段的平衡条件得1xszzFSI(5-10)()azahobyzahobySF()dmin1maxmaxSF()dmin1maxmax52图xdxsFsFMMdMyxdxsFsFMMdMy()b2hy()b2hy()cdx()cdxdx第4页共22页式中，为翼缘的厚度，sF和zI的意义和(5-8)式相同，xzS为距翼缘端部为的部分翼缘面积对中性轴z的静面矩，22xzhS，022h，可见1沿翼缘宽度按线性规律变化(图5-2，d)。3.切应力流根据剪力sF的指向确定腹板上切应力的指向，按顺流方向确定翼缘上的切应力方向，例如：设sF的方向向下，上翼缘上的切应力犹如水流一样由其两端的两股水流流向腹板，经由腹板，再分成两股流入下翼缘两端。根据切应力流的概念可以判断开口薄壁杆的切应力方向。Ⅲ、由狭长矩形组合的组合截面梁的切应力对于图5-3所示的几种形状的薄壁截面梁，其腹板和顶板及底板上的切应力公式仍为(5-8)和(5-10)式，切应力的分布规律及切应力流如图所示。Ⅳ、圆截面梁及薄壁圆环截面梁图5-4a所示圆截面梁，其最大切应力在中性轴处，其方向与剪力sF平行，其值为max43sFA(5-11)式中，24Ad。图5-4，b所示薄壁圆环截面梁，其最大在中性轴处，其方向与剪力sF平行，其值为max2sFA(5-12)式中，02AR。Ⅴ、切应力强度条件对于等直梁，横截面的最大切应力发生在最大剪力maxF所在的横截面上，一般位于该该截面的中性轴处，中性轴处的正应力为零，即max所在的点为纯剪切应力状态，剪切强度条件为maxSF()azCymaxSF()azCy()bmaxSFzCy()bmaxSFzCy()cmaxSFzAy()cmaxSFzAy()dSFmaxzCy()dSFmaxzCy53图54图()azSFCyd()azSFCydmax()bzSFCy0Rmaxmax()bzSFCy0Rmaxmax第5页共22页,max,maxmaxszzFSbI(5-13)式中，,maxzS为中性轴一侧的横截面对中性轴的静面积；b为横截面在中性轴处的宽度，zI为横截面对中性轴电惯性矩。梁应同时满足正应力强度条件和切应力强度条件，通常梁的强度由正应力强度条件起控制，当梁的跨度较小，荷载离支座较近时，切应力强度条件也可能为梁强度的控制条件。三、非对称截面梁的平面弯曲，开口薄壁截面的弯曲中心Ⅰ、非对称截面梁平面弯曲的条件梁的横截面没有纵向对称轴时，只要荷载作用在梁的形心主惯性平面xy内(横向力沿形心主轴)，或荷载作用面和梁的形心主惯性平面平行(横向力平行于形心主轴)，荷载和梁的挠曲线位于同一平面内(图5-5a)或荷载的作用面和挠曲面平行(图5-5b)。梁产生平面弯曲。当荷载的作用面和梁的形心主惯性平面不平行时，梁产生斜弯曲(图5-5c)。Ⅱ、开口薄壁截面的弯曲中心A1.弯曲中心：横力弯曲时，横截面上由切应力所组成的合力(剪力)的作用点，称为弯曲中心，简称为弯心，用A表示。当横向力通过弯心时梁只产生弯曲变形，不产生扭转变形。若横向力不通过弯心，梁在发生弯曲变形的同时还要产生扭转变形。2.几种常见开口薄壁截面弯曲中心的位置图5-6a,b中，弯心A和形心C重合；图5-6c中，弯心A位于对称轴z上；图5-6d,e中，弯心A位于两狭长矩形中心线的交点处。3.弯曲中心仅与截面的形状和尺寸有关，是截面的几何性质，与横向力的大小及材料的性能无关。例5-1一铸铁梁如图a所示，已知材料拉伸时的强度极限为.150MPabt，压缩时的强度极限为.630MPabc。试求梁的安全因数。zyxFzyxF()a0yzIyCzF()a0yzIyCzF55图()byCzFA()byCzFA()cyCzF()cyCzF()c224ZbheIyCzAbh()c224ZbheIyCzAbh224ZbheIyCzAbh()eAA()bACyz()bACyz()aACzyACzy56图()dyzA()dyzA第6页共22页解：梁的弯矩图如图b所示。以横截面的下底边为参考轴，形心C的y坐标1y为1201604021201016053.3mm16040210160y220053.3146.7mmy横截面对形轴z的惯性矩为3322160401016053.32016040212053.3101601212zI6429.01210mmB、C截面上正应力的分布规律如图c所示，最大拉应力发生在B的上边缘或C截面的下边缘，由于21BcMyMy，所以最大拉应发生B截面的上边缘。由,2,maxbtBtztMyIn得664,33215010Pa29.01210m3.7810Nm146.710mbtztBInMy式中，tn为拉应力达到强度极限时的安全因数。最大压应力显然发生在C截面的上边缘，由,2,maxbccczcMyI得664,33263010Pa29.01210m10.41210Nm146.710mbczccInMy式中，cn为压应力达到强度极限时的安全因数。由于cntn，可见该题的强度由拉应力强度条件控制，梁的安全因数为()aACBD32kN1m16kN1m0.5m()c1BMyI2BZMyIB截面1BMyI2BZMyIB截面2CZMyI1CMyIC截面2CZMyI1CMyIC截面51例图()bMkN.m812x()bMkN.m812x40yCz10101602146.7y153.3y20040yCz10101602146.7y153.3y200第7页共22页3.7tnn例5-2横截面如图所示的铸铁简支梁，材料的许用拉应力为[t]=30MPa，许用压应力[c]=90MPa，试确定截面尺寸值。解：设形心C距截面下底边的距离为1y22122681688163y于是28221033y截面对中性轴z的惯性矩为3322224882886816181123123zIC截面的弯矩为max40kN1m40kNmM由36max,max14384010Nm589.3Nm33010Pa181tzMyI得127mm由36max,max243224010Nm1620.6Nm39010Pa181coMyI得226mm由于12，所以取27mm。讨论：由以上计算结果可见该题的强度是由拉应力强度条件控制的，即拉应力先达到危险状态，也可以用以下方法判断拉应力先达到危险状态。90330ci，,max2,max1221133843ctyy可知，,maxt选达到危险状态,只需按拉应力强度条件确定即可。例5-3一平顶凉台如图a所示，其长度6ml，顶面荷载集度2000Paf，由间距ACB80kNF1m1mACB80kNF1m1m52例图8yzC282223y183y8yzC282223y183y第8页共