离散型随机变量的均值与方差、正态分布

离散型随机变量的均值与方差、正态分布重点难点教材回扣夯实双基重点：理解掌握随机变量的期望、方差的概念和正态分布的概念.难点：随机变量的期望与方差的意义、正态曲线的性质.基础梳理1．均值(1)若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称EX＝_______________________________为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的_______________(2)若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝___________.x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn平均水平．aEX＋b(3)①若X服从两点分布，则EX＝__；②若X～B(n，p)，则EX＝____.③若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝nMN.npp2．方差(1)设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称DX＝i＝1n(xi－EX)2pi为随机变量X的方差，其算术平方根_____为随机变量X的标准差，记作_____.方差和标准差刻画了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．σXDX(2)D(aX＋b)＝___________.(3)若X服从两点分布，则DX＝___________(4)若X～B(n，p)，则DX＝_____________a2DXp(1－p)．np(1－p)．思考探究1．随机变量的均值、方差与样本均值、方差的关系是怎样的？提示：随机变量的均值、方差是一个常数，样本均值、方差是一个随机变量，随观测次数的增加或样本容量的增加，样本的均值、方差趋于随机变量的均值与方差．3．正态分布(1)正态曲线函数f(x)＝12πσe－x－μ22σ2，x∈R.其中实数μ和σ为参数，我们称f(x)的图象为正态曲线．服从正态分布的随机变量叫做正态变量．正态随机变量X落在区间[a，b]内的概率为：P(aX≤b)≈∫baf(x)dx.即由正态曲线，过点(a,0)和(b,0)的两条x轴的垂线，及x轴所围成的平面图形的面积，就是随机变量X落在区间[a，b]的概率的近似值，如图.(2)正态分布一般地，如果对于任何实数ab，随机变量X满足P(aX≤b)＝∫baf(x)dx，则称X的分布为正态分布．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2).(3)正态曲线的特点①曲线位于x轴_____,与x轴________；②曲线是单峰的，它关于直线________对称；③曲线在x＝μ处达到峰值_________；④曲线与x轴之间的面积为_____；上方不相交x＝μ11σ2π⑤当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；⑥当μ一定时,曲线的形状由σ确定．_______，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越______；_______，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越_______σ越小集中σ越大分散．课前热身1．设X～B(n，p)，且EX＝15，DX＝454，则n，p的值分别为()A．50，14B．60，14C．50，34D．60，34答案：B2．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝15(k＝2,4,6,8,10)，则Dξ等于()A．5B．8C．10D．16答案：B3．口袋中有5只球，编号分别为1,2,3,4,5，从中任意取3只球以X表示取出的球的最大号码，则X的期望EX的值是()A．4B．4.5C．4.75D．5答案：B4．在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是________．答案：0.75．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3次，每次1件，若X表示取到次品的次数，则D(X)＝________.答案：916考点1离散型随机变量的均值与方差求离散型随机变量X的均值与方差的方法步骤．(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值．(2)求X取每个值的概率．考点探究讲练互动考点突破(3)写出X的分布列．(4)由均值的定义求EX.(5)由方差的定义求DX.例1(2010·高考北京卷)某同学参加3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为45，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p、q(p＞q)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立，记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为(1)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；(2)求p，q的值；(3)求数学期望Eξ.ξ0123P6125ab24125【思路分析】利用P(ξ＝0)＝6125，P(ξ＝3)＝24125，求p，q的值．【解】记事件Ai表示“该生第i门课程取得优秀成绩”，i＝1,2,3.由题意知P(A1)＝45，P(A2)＝p，P(A3)＝q.(1)由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“ξ＝0”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是1－P(ξ＝0)＝1－6125＝119125.(2)由题意知P(ξ＝0)＝P(A1A2A3)＝15(1－p)(1－q)＝6125，P(ξ＝3)＝P(A1A2A3)＝45pq＝24125.整理得pq＝625，p＋q＝1.由p＞q，可得p＝35，q＝25.(3)由题意知a＝P(ξ＝1)＝P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＝45(1－p)(1－q)＋15p(1－q)＋15(1－p)q＝37125，b＝P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝58125.所以Eξ＝0×P(ξ＝0)＋1×P(ξ＝1)＋2×P(ξ＝2)＋3×P(ξ＝3)＝95.【规律方法】离散型随机变量的分布列、均值、方差是三个紧密相连的有机统一体，一般在试题中综合在一起进行考查．其解题的关键是求出分布列，然后直接套用公式即可．在解题过程中注意利用等可能性事件、互斥事件、相互独立事件或独立重复试验的概率公式计算概率．考点2均值与方差的实际应用离散型随机变量均值与方差的应用问题,一般应先分析题意，明确题目欲求的是均值还是方差，在此基础上将题中考查的数量指标用随机变量表示，把实际问题转化为随机变量的均值与方差．例2现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后所获利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为16、12、13；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次价格调整中，价格下降的概率都是p(0p1)，设乙项目产品价格在一年内进行两次独立的调整．记乙项目产品价格在一年内的下降次数为X，对乙项目每投资十万元，X取0、1、2时，一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元，随机变量X1，X2分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后所获的利润．(1)求X1，X2的分布列和均值EX1，EX2；(2)当EX1EX2时，求p的取值范围．【思路分析】(1)求分布列，应先确定X2的取值，再求X2的取值对应的概率；(2)由EX1EX2，找出关于p的不等式，即可求出p的范围．【解】(1)X1的分布列为X11.21.181.17P161213EX1＝1.2×16＋1.18×12＋1.17×13＝1.18.由题设得X～B(2，p)，即X的概率分布列为X012P(1－p)22p(1－p)p2故X2的概率分布列为X21.31.250.2P(1－p)22p(1－p)p2所以EX2＝1.3×(1－p)2＋1.25×2p(1－p)＋0.2×p2＝1.3×(1－2p＋p2)＋2.5×(p－p2)＋0.2×p2＝－p2－0.1p＋1.3.(2)由EX1EX2，得－p2－0.1p＋1.31.18，整理得(p＋0.4)(p－0.3)0，解得－0.4p0.3.因为0p1，所以当EX1EX2时，p的取值范围是0p0.3.【失误探究】在求解X2的分布列时,往往因求不出X2的各个取值的概率而解不出本题，出现这种现象的原因是：没有搞清X取0,1,2的概率就是X2取1.3万元，1.25万元，0.2万元的概率．考点3正态分布关于正态总体在某个区间内取值的概率求法(1)熟记P(μ－σ＜X≤μ＋σ)，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)的值．(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1.例3设X～N(5,1)，求P(6＜X＜7)．【思路分析】利用正态分布的对称性，P(6＜X＜7)＝P(3＜X＜4)．【解】由已知μ＝5，σ＝1.∵P(4＜X＜6)＝0.6826，P(3＜X＜7)＝0.9544.∴P(3＜X＜4)＋P(6＜X＜7)＝0.9544－0.6826＝0.2718.如图，由正态曲线的对称性可得P(3＜X＜4)＝P(6＜X＜7)∴P(6＜X＜7)＝0.27182＝0.1359.【名师点评】在利用对称性转化区间时，要注意正态曲线的对称轴是x＝μ，而不是x＝0(μ≠0)．互动探究若其他条件不变，则P(X≥7)及P(5＜X＜6)应如何求解？解：由σ＝1，μ＝5，P(3＜X＜7)＝P(5－2×1＜X＜5＋2×1)＝0.9544，P(X≥7)＝P(X≤3)＝12×[1－P(3＜X＜7)]，＝12×(1－0.9544)＝0.0228，∵P(4＜X＜6)＝0.6826，∴P(5＜X＜6)＝12P(4＜X＜6)＝0.3413.方法技巧1．释疑离散型随机变量的均值(1)均值是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均．(2)EX是一个实数，由X的分布列唯一确定，它描述X取值的平均状态．方法感悟(3)教材中给出的E(aX＋b)＝aEX＋b,说明随机变量X的线性函数Y＝aX＋b的均值等于随机变量X均值的线性函数．2．离散型随机变量的方差(1)DX表示随机变量X对EX的平均偏离程度，DX越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散；反之，DX越小，X的取值越集中在EX附近，统计中常用DX来描述X的分散程度．(2)DX与EX一样，也是一个实数，由X的分布列唯一确定．失误防范1．对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要先将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的概率分布列，然后按定义计算出随机变量的期望、方差或标准差．2．离散型随机变量的期望与方差若存在则必唯一，期望E(ξ)的值可正也可负，而方差的值则一定是一个非负值．它们都由ξ的分布列唯一确定.3．D(aξ＋b)＝a2D(ξ)，在记忆和使用此结论时，请注意D(aξ＋b)≠aD(ξ)＋b，D(aξ＋b)≠aD(ξ)．4．在实际问题中进行概率、百分比计算时，关键是把正态分布的两个重要参数μ，σ求出，然后确定三个区间(范围)：(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ,μ＋2σ),(μ－3σ，μ＋3σ)与已知概率值进行联系求解．命题预测从近几年的广东高考试题来看，离散型随机变量的均值与方差是高考的热点,题型为填空题或解答题，属中档题．常与排列、组合、概率等知识综合命题，既考查基本概念，又注重考查基本运算能力和逻辑推理、理解能力．考向瞭望把脉高考预测2013年广东高考，离散型随机变量的均值与方差仍然是高考的热点,同时应特别注意均值与方差的实际应用．例规范解答(本题满分12分)(2010·高考浙江卷)如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落到A或B或C.已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的．某商家按上述投球方式进行促销活动,若投入的小球落到A，B，C，则分别设为1,2,3等奖．(1)已知获得1,2,3等奖的折扣率分别为50%,70%,90%.记随机变量ξ为获得k(k＝1,2,3)等奖的折扣率，求随机变量ξ的分布列及期望Eξ；(2)若有3人次(投入1球为1人次)参加促销活动，记随机变量η为获得1等奖或2等奖的人次，求P(η＝2)．【解】(1)由题意得ξ的分布列为ξ50%70%90%P31638716则Eξ＝316×50%＋38×70%＋716×90%＝34.6分(2)由(1)可知，获得1等奖或2等奖的概率为316＋38＝916.由题意得η～B(3，916)，8分则P(η＝2)＝C23(916)2(1－916)＝17014096.12分【名师点评】本