解直角三角形的方法与技巧

2知识改变命运教育开创未来网站：论坛：版权所有@中报教育网第1页共2页解直角三角形常用解题方法与技巧解直角三角形所涉及的知识面较广，题目灵活性、综合性较强，因而学习起来可能会有一定的困难，为帮助大家理解并掌握其中的解题方法与解题技巧，现结合实例归纳总结如下：一、巧妙应变，走出解题陷阱例1如图①，在Rt△ABC中，AB=c，AC=b，BC=a，∠A=90°，⑴、若a=15，b=12，求c；⑵、若b=8，c=15，求a．简析由∠A=90°知，本题a才是斜边，故应运用勾股定理222bca求解．解⑴、∵∠A=90°，AB=c，AC=b，BC=a，∴222bca，又∵c＞0，∴222215129cab．⑵、由⑴知222bca，∴222281517abc．评注解直角三角形问题，审题很重要，有时候稍一疏忽就有可能导致错解或者漏解的产生．本例在求解时正是注意到了斜边这一特殊边长的变化从而避免了解题错误的发生．二、巧设参数，化繁难为简易例2如图②，在△ABC中，∠C=90°，sinA=45，求tanB的值．简析要算tanB，必须先求出直角边AC、BC的长，注意到题中只有“sinA=35”而没有给出相应线段的长，故考虑采用设参数的办法进行解决．解设BC=4k，则AB=5k（k＞0）．∵在△ABC中，∠C=90°，∴AC=2222(5)(4)3ABBCkkk，∴tanACBBC=3344kk．评注对于已知特殊角而求三角函数值（或线段比值）的解直角三角形问题，有时候适当引入参数可以帮助我们在解题过程中少走不少弯路．三、巧建模型，以不变应万变例3如图③所示，某小岛周围40海里内布满暗礁，一艘船由西向东航行，起初在A处测得小岛在北偏东60°方向，航行30海里后在B处又测得小岛在东北方向，如果该船不改变航行方向而继续向前航行，那么它会有触礁危险吗？简析过O作OH⊥AB于H，将实际问题转化为解直角三角形问2知识改变命运教育开创未来网站：论坛：版权所有@中报教育网第2页共2页题．不妨设OH=x，则由AH－BH=AB可得方程cot30°x－cot45°x=30，从中解出x的值，接下去只需将OH的值与40进行比较即可得解．解过点O作OH⊥AB于H，设OH=x，由题意可知∠OAH=30°，∠OBH=45°，AB=30．在Rt△OAH与Rt△OBH中，∵cot∠OAH=AHOH，cot∠OBH=BHOH∴AB=AH－BH=OH(cot30°－cot45°)，即(cot30°－cot45°)x=30，解之得x=15＋153≈40.98＞40．所以如果不改变航向，该船不会有触礁的危险．例4如图④所示，为了求河的宽度，在河对岸岸边任意取一点A，再在河这边沿河边取两点B、C，使得∠ABC=60°，∠ACB=45°，现量得BC=30m，求河的宽度．简析河的宽度即为△ABC中BC边上的高，为此，过点A作AD⊥BC于D，则本实际问题也转化成了解直角三角形问题．和前例一样，通过设AD=x然后建立方程即可求得AD的长．解过A作AD⊥BC于D，并设AD=x．在Rt△ABD与Rt△ACD中，∵cotcot60BDABCAD，cotcot45CDACBAD，∴BC=BD＋CD=AD(cot60°＋cot45°)，即(cot60°＋cot45°)x=30，解之得x=45－153，∴所求河的宽度为(45－153)m．评注在解有双方位角或双视角类实际问题时，如果图形中没有直角三角形，则应通过添加辅助线的方法将原图形转化为两个具有公共边特征的直角三角形，然后再建立方程进行求解．为方便同类题型求解，以上两例还可归结为如下的数学模型——⑴如图⑤a，已知AB⊥CD于B，点C、D在AB的同侧，若测得∠ACB=α，∠ADB=β，且α＜β，则有AB(cotα－cotβ)=CD，BC·tanα=BD·tanβ；⑵如图⑤b，已知AB⊥CD于B，点C、D在AB的两侧，若测得∠ACB=α，∠ADB=β，则有AB(cotα＋cotβ)=CD，BC·tanα=BD·tanβ．