第1页(共20页)2009年浙江省高考数学试卷(理科)一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)1.(5分)设U=R,A={x|x>0},B={x|x>1},则A∩∁UB=()A.{x|0≤x<1}B.{x|0<x≤1}C.{x|x<0}D.{x|x>1}2.(5分)已知a,b是实数,则“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(5分)设复数z=1+i(i是虚数单位),则+z2=()A.﹣1﹣iB.﹣1+iC.1﹣iD.1+i4.(5分)在二项式(x2﹣)5的展开式中,含x4的项的系数是()A.﹣10B.10C.﹣5D.55.(5分)在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点D是侧面BB1C1C的中心,则AD与平面BB1C1C所成角的大小是()A.30°B.45°C.60°D.90°6.(5分)某程序框图如图所示,该程序运行后输出的k的值是()A.4B.5C.6D.77.(5分)设向量,满足:||=3,||=4,•=0.以,,﹣的模为边长构成三角形,则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为()A.3B.4C.5D.6第2页(共20页)8.(5分)已知a是实数,则函数f(x)=1+asinax的图象不可能是()A.B.C.D.9.(5分)过双曲线﹣=1(a>0,b>0)的右顶点A作斜率为﹣1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B、C.若=,则双曲线的离心率是()A.B.C.D.10.(5分)对于正实数a,记Ma为满足下述条件的函数f(x)构成的集合:∀x1,x2∈R且x2>x1,有﹣a(x2﹣x1)<f(x2)﹣f(x1)<a(x2﹣x1).下列结论中正确的是()A.若f(x)∈M,g(x)∈M,则f(x)•g(x)∈MB.若f(x)∈M,g(x)∈M,且g(x)≠0,则∈MC.若f(x)∈M,g(x)∈M,则f(x)+g(x)∈MD.若f(x)∈M,g(x)∈M,且a1>a2,则f(x)﹣g(x)∈M二、填空题(共7小题,每小题4分,满分28分)11.(4分)设等比数列{an}的公比,前n项和为Sn,则=.12.(4分)若某个几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是cm3.第3页(共20页)13.(4分)若实数x,y满足不等式组,则2x+3y的最小值是.14.(4分)某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价.该地区的电网销售电价表如图:高峰时间段用电价格表低谷时间段用电价格表高峰月用电量(单位:千瓦时)高峰电价(单位:元/千瓦时)低谷月用电量(单位:千瓦时)低谷电价(单位:元/千瓦时)50及以下的部分0.56850及以下的部分0.288超过50至200的部分0.598超过50至200的部分0.318超过200的部分0.668超过200的部分0.388若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时,低谷时间段用电量为100千瓦时,则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为元(用数字作答)15.(4分)观察下列等式:观察下列等式:C+C=23﹣2,C+C+C=27+23,C+C+C+C=211﹣25,C+C+C+C+C=215+27,第4页(共20页)…由以上等式推测到一个一般结论:对于n∈N*,C+C+C+…+C=.16.(4分)甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法总数是.17.(4分)如图,在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,E为DC的中点,F为线段EC(端点除外)上一动点,现将△AFD沿AF折起,使平面ABD⊥平面ABC,在平面ABD内过点D作DK⊥AB,K为垂足,设AK=t,则t的取值范围是.三、解答题(共5小题,满分72分)18.(14分)在△ABC中,角A、B、C所对应的边分别为a、b、c,且满足=,•=3.(Ⅰ)求△ABC的面积;(Ⅱ)若b+c=6,求a的值.19.(14分)在1,2,3…,9,这9个自然数中,任取3个数.(Ⅰ)求这3个数中,恰有一个是偶数的概率;(Ⅱ)记ξ为这三个数中两数相邻的组数,(例如:若取出的数1、2、3,则有两组相邻的数1、2和2、3,此时ξ的值是2).求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ.第5页(共20页)20.(14分)如图,平面PAC⊥平面ABC,△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,E,F,O分别为PA,PB,AC的中点,AC=16,PA=PC=10.(Ⅰ)设G是OC的中点,证明:FG∥平面BOE;(Ⅱ)证明:在△ABO内存在一点M,使FM⊥平面BOE,并求点M到OA,OB的距离.21.(15分)已知椭圆C1:(a>b>0)的右顶点A(1,0),过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1.(Ⅰ)求椭圆C1的方程;(Ⅱ)设点P在抛物线C2:y=x2+h(h∈R)上,C2在点P处的切线与C1交于点M,N.当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时,求h的最小值.第6页(共20页)22.(15分)已知函数f(x)=x3﹣(k2﹣k+1)x2+5x﹣2,g(x)=k2x2+kx+1,其中k∈R.(Ⅰ)设函数p(x)=f(x)+g(x).若p(x)在区间(0,3)上不单调,求k的取值范围;(Ⅱ)设函数是否存在k,对任意给定的非零实数x1,存在惟一的非零实数x2(x2≠x1),使得q′(x2)=q′(x1)?若存在,求k的值;若不存在,请说明理由.第7页(共20页)2009年浙江省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)1.(5分)【考点】交、并、补集的混合运算.菁优网版权所有【分析】欲求两个集合的交集,先得求集合CUB,再求它与A的交集即可.【解答】解:对于CUB={x|x≤1},因此A∩CUB={x|0<x≤1},故选B.【点评】这是一个集合的常见题,属于基础题之列.2.(5分)【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.菁优网版权所有【分析】由“a>0且b>0”⇒“a+b>0且ab>0”,“a+b>0且ab>0”⇒“a>0且b>0”,知“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的充要条件.【解答】解:∵a,b是实数,∴“a>0且b>0”⇒“a+b>0且ab>0”,“a+b>0且ab>0”⇒“a>0且b>0”,∴“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的充要条件.故选C.【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的性质和应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.3.(5分)【考点】复数代数形式的混合运算.菁优网版权所有【分析】把复数z代入表达式化简整理即可.【解答】解:对于,故选D.【点评】本小题主要考查了复数的运算和复数的概念,以复数的运算为载体,直第8页(共20页)接考查了对于复数概念和性质的理解程度.4.(5分)【考点】二项式定理.菁优网版权所有【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项,令x的指数为4求得.【解答】解:对于,对于10﹣3r=4,∴r=2,则x4的项的系数是C52(﹣1)2=10故选项为B【点评】二项展开式的通项是解决二项展开式的特定项问题的工具.5.(5分)【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.菁优网版权所有【分析】本题考查的知识点是线面夹角,由已知中侧棱垂直于底面,我们过D点做BC的垂线,垂足为E,则DE⊥底面ABC,且E为BC中点,则E为A点在平面BB1C1C上投影,则∠ADE即为所求线面夹角,解三角形即可求解.【解答】解:如图,取BC中点E,连接DE、AE、AD,依题意知三棱柱为正三棱柱,易得AE⊥平面BB1C1C,故∠ADE为AD与平面BB1C1C所成的角.设各棱长为1,则AE=,DE=,tan∠ADE=,∴∠ADE=60°.故选C第9页(共20页)【点评】求直线和平面所成的角时,应注意的问题是:(1)先判断直线和平面的位置关系.(2)当直线和平面斜交时,常用以下步骤:①构造﹣﹣作出或找到斜线与射影所成的角;②设定﹣﹣论证所作或找到的角为所求的角;③计算﹣﹣常用解三角形的方法求角;④结论﹣﹣点明斜线和平面所成的角的值.6.(5分)【考点】程序框图.菁优网版权所有【分析】根据流程图所示的顺序,逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知:该程序的作用是计算满足S=≥100的最小项数【解答】解:根据流程图所示的顺序,程序的运行过程中各变量值变化如下表:是否继续循环SK循环前/00第一圈是11第二圈是32第三圈是113第四圈是20594第五圈否∴最终输出结果k=4故答案为A【点评】根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这一模块最重要的题型,其处理方法是:①分析流程图(或伪代码),从流程图(或伪代码)中既要分析出计算的类型,又要分析出参与计算的数据(如果参与运算的数据比较多,也可使用表格对数据进行分析管理)⇒②建立数学模型,根据第一步分析的结果,选择恰当的数学模型③解模.7.(5分)【考点】直线与圆相交的性质;向量的模;平面向量数量积的运算.菁优网版权所有【分析】先根据题设条件判断三角形为直角三角形,根据三边长求得内切圆的半径,进而看半径为1的圆内切于三角形时有三个公共点,对于圆的位置稍一右移或其他的变化,能实现4个交点的情况,进而可得出答案.【解答】解:∵向量a•b=0,∴此三角形为直角三角形,三边长分别为3,4,5,第10页(共20页)进而可知其内切圆半径为1,∵对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆,此时只有三个交点,对于圆的位置稍一右移或其他的变化,能实现4个交点的情况,但5个以上的交点不能实现.故选B【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系.可采用数形结合结合的方法较为直观.8.(5分)【考点】正弦函数的图象.菁优网版权所有【分析】函数f(x)=1+asinax的图象是一个正弦曲线型的图,其振幅为|a|,周期为,周期与振幅成反比,从这个方向观察四个图象.【解答】解:对于振幅大于1时,三角函数的周期为:,∵|a|>1,∴T<2π,而D符合要求,它的振幅大于1,但周期小于2π.对于选项A,a<1,T>2π,满足函数与图象的对应关系,故选D.【点评】由于函数的解析式中只含有一个参数,这个参数影响振幅和周期,故振幅与周期相互制约,这是本题的关键.9.(5分)【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;双曲线的简单性质.菁优网版权所有【分析】分别表示出直线l和两个渐近线的交点,进而表示出和,进而根据=求得a和b的关系,进而根据c2﹣a2=b2,求得a和c的关系,则离心率可得.【解答】解:直线l:y=﹣x+a与渐近线l1:bx﹣ay=0交于B(,),l与渐近线l2:bx+ay=0交于C(,),A(a,0),∴=(﹣,),=(,﹣),∵=,第11页(共20页)∴=,b=2a,∴c2﹣a2=4a2,∴e2==5,∴e=,故选C.【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.要求学生有较高地转化数学思想的运用能力,能将已知条件转化到基本知识的运用.10.(5分)【考点】2K:命题的真假判断与应用.【专题】5L:简易逻辑.【分析】Ma为满足下述条件的函数f(x)构成的集合:∀x1,x2∈R且x2>x1,有﹣a(x2﹣x1)<f(x2)﹣f(x1)<a(x2﹣x1).即满足﹣a<<a.据此即可判断出正确答案为C.【解答】解:对于﹣a(x2﹣x1)<f(x2)﹣f(x1)<a(x2﹣x1),即有﹣a<<a,令k=,有﹣a<k<a,不妨设f(x)∈Ma1,g(x))∈Ma2,即有﹣a1<kf<a1,﹣a2<kg<a2,因此有﹣a1﹣a2<kf+kg<a1+a2,因此有f(x)+g(x)∈Ma1+a2.故选:C.【点评】本题考查了斜率计算公式、函数的性质、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.二、填空题(共7小题,每小题4分,满分28分)11.(4分)【考点】等比数列的性质.菁优网版权所有【分析】先通过等比数列的求和公式,表示出S4,得知a4=a1q3,进而把a1和q代入约分化简