菱形难题组卷答案

答案四．填空题（共29小题）1．（2012•沈阳）如图，菱形ABCD的边长为8cm，∠A=60°，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则四边形BEDF的面积为16cm2．考点：菱形的性质；等边三角形的判定与性质．菁优网版权所有专题：压轴题．分析：连接BD，可得△ABD是等边三角形，根据菱形的对称性与等边三角形的对称性可得四边形BEDF的面积等于△ABD的面积，然后求出DE的长度，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．解答：解：如图，连接BD，∵∠A=60°，AB=AD（菱形的边长），∴△ABD是等边三角形，∴DE=AD=×8=4cm，根据菱形的对称性与等边三角形的对称性可得，四边形BEDF的面积等于△ABD的面积，×8×4=16cm2．故答案为：16．点评：本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，作出辅助线构造出等边三角形是解题的关键．2．（2012•湖州）如图，将正△ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个黑色菱形，这个黑色菱形可分割成n个边长为1的小三角形，若=，则△ABC的边长是12．考点：菱形的性质；等边三角形的性质．菁优网版权所有专题：压轴题；规律型．分析：设正△ABC的边长为x，根据等边三角形的高为边长的倍，求出正△ABC的面积，再根据菱形的性质结合图形表示出菱形的两对角线，然后根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半表示出菱形的面积，然后根据所分成的小正三角形的个数的比等于面积的比列式计算即可得解．解答：解：设正△ABC的边长为x，则高为x，S△ABC=x•x=x2，∵所分成的都是正三角形，∴结合图形可得黑色菱形的较长的对角线为x﹣，较短的对角线为（x﹣）=x﹣1，∴黑色菱形的面积=（x﹣）（x﹣1）=（x﹣2）2，∴==，整理得，11x2﹣144x+144=0，解得x1=（不符合题意，舍去），x2=12，所以，△ABC的边长是12．故答案为：12．点评：本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握有一个角等于60°的菱形的两条对角线的关系是解题的关键，本题难点在于根据三角形的面积与菱形的面积列出方程．3．（2012•西宁）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=12，BD=16，E为AD中点，点P在x轴上移动，小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标（﹣5，0）和（5，0）．请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标（8，0）或（，0）．考点：菱形的性质；坐标与图形性质；等腰三角形的判定．菁优网版权所有专题：压轴题．分析：由在菱形ABCD中，AC=12，BD=16，E为AD中点，根据菱形的性质与直角三角形的性质，易求得OE的长，然后分别从①当OP=OE时，②当OE=PE时，③当OP=EP时去分析求解即可求得答案．解答：解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=AC=×12=6，OD=BD=×16=8，∴在Rt△AOD中，AD==10，∵E为AD中点，∴OE=AD=×10=5，①当OP=OE时，P点坐标（﹣5，0）和（5，0）；②当OE=PE时，此时点P与D点重合，即P点坐标为（8，0）；③如图，当OP=EP时，过点E作EK⊥BD于K，作OE的垂直平分线PF，交OE于点F，交x轴于点P，∴EK∥OA，∴EK：OA=ED：AD=1：2，∴EK=OA=3，∴OK==4，∵∠PFO=∠EKO=90°，∠POF=∠EOK，∴△POF∽△EOK，∴OP：OE=OF：OK，即OP：5=：4，解得：OP=，∴P点坐标为（，0）．∴其余所有符合这个条件的P点坐标为：（8，0）或（，0）．故答案为：（8，0）或（，0）．点评：此题考查了菱形的性质、勾股定理、直角三角形的性质以及等腰三角形的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．4．（2012•鄂尔多斯）如图，将两张长为4，宽为1的矩形纸条交叉并旋转，使重叠部分成为一个菱形．旋转过程中，当两张纸条垂直时，菱形周长的最小值是4，那么菱形周长的最大值是．考点：菱形的性质．菁优网版权所有专题：压轴题．分析：作出图形，确定当两矩形纸条有一条对角线互相重合时，菱形的周长最大，设菱形的边长为x，表示出AB，然后利用勾股定理列式进行计算求出x，再根据菱形的四条边都相等解答．解答：解：如图，菱形的周长最大，设菱形的边长AC=x，则AB=4﹣x，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即x2=（4﹣x）2+12，解得x=，所以，菱形的最大周长=×4=．故答案为：．点评：本题考查了菱形的性质，勾股定理的应用，确定出菱形的周长最大时的位置是解题的关键，作出图形更形象直观．5．（2012•杭州）已知一个底面为菱形的直棱柱，高为10cm，体积为150cm3，则这个棱柱的下底面积为15cm2；若该棱柱侧面展开图的面积为200cm2，记底面菱形的顶点依次为A，B，C，D，AE是BC边上的高，则CE的长为1或9cm．考点：菱形的性质；认识立体图形；几何体的展开图．菁优网版权所有专题：压轴题．分析：由底面为菱形的直棱柱，高为10cm，体积为150cm3，由体积=底面积×高，即可求得这个棱柱的下底面积，又由该棱柱侧面展开图的面积为200cm2，即可求得底面菱形的周长与BC边上的高AE的长，由勾股定理求得BE的长，继而求得CE的长．解答：解：∵底面为菱形的直棱柱，高为10cm，体积为150cm3，∴这个棱柱的下底面积为：150÷10=15（cm2）；∵该棱柱侧面展开图的面积为200cm2，高为10cm，∴底面菱形的周长为：200÷10=20（cm），∴AB=BC=CD=AD=20÷4=5（cm），∴AE=S菱形ABCD÷BC=15÷5=3（cm），∴BE==4（cm），∴如图1：EC=BC﹣BE=5﹣4=1（cm），如图2：EC=BC+BE=5+4=9（cm），故答案为：15；1或9．点评：此题考查了菱形的性质、直棱柱的性质以及勾股定理．此题难度不大，注意审题，掌握直棱柱体积与侧面积的求解方法．11．（2009•黑河）如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60度．连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACC1D1，使∠D1AC=60°；连接AC1，再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2，使∠D2AC1=60°；…，按此规律所作的第n个菱形的边长为（）n﹣1．考点：菱形的性质．菁优网版权所有专题：压轴题；规律型．分析：根据已知和菱形的性质可分别求得AC，AC1，AC2的长，从而可发现规律根据规律不难求得第n个菱形的边长．解答：解：连接DB，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB．AC⊥DB，∵∠DAB=60°，∴△ADB是等边三角形，∴DB=AD=1，∴BM=，∴AM==，∴AC=，同理可得AC1=AC=（）2，AC2=AC1=3=（）3，按此规律所作的第n个菱形的边长为（）n﹣1故答案为（）n﹣1．点评：此题主要考查菱形的性质以及学生探索规律的能力．12．（2009•安顺）如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A点开始按A﹣＞B﹣＞C﹣＞D﹣＞E﹣＞F﹣＞C﹣＞G﹣＞A的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则这个微型机器人停在B点．考点：菱形的性质．菁优网版权所有专题：压轴题；规律型．分析：根据题意可求得其每走一个循环是8米，从而可求得其行走2009米走了几个循环，即可得到其停在哪点．解答：解：根据“由A点开始按A﹣＞B﹣＞C﹣＞D﹣＞E﹣＞F﹣＞C﹣＞G﹣＞A的顺序沿菱形的边循环运动”可得出，每经过8米完成一个循环，∵2009÷8=251余1，∴行走2009米停下，即是在第252个循环中行走了一米，即停到了B点．故答案为B．点评：本题考查的是循环的规律，要注意所求的值经过了几个循环，然后便可得出结论．16．（2008•大兴安岭）如图，菱形AB1C1D1的边长为1，∠B1=60°；作AD2⊥B1C1于点D2，以AD2为一边，做第二个菱形AB2C2D2，使∠B2=60°；作AD3⊥B2C2于点D3，以AD3为一边做第三个菱形AB3C3D3，使∠B3=60°…依此类推，这样做的第n个菱形ABnCnDn的边ADn的长是．考点：菱形的性质．菁优网版权所有专题：压轴题；规律型．分析：本题要找出规律方能解答．第一个菱形边长为1，∠B1=60°，可求出AD2，即第二个菱形的边长…按照此规律解答即可．解答：解：第1个菱形的边长是1，易得第2个菱形的边长是；第3个菱形的边长是（）2；…每作一次，其边长为上一次边长的；故第n个菱形的边长是（）n﹣1．故答案为：（）n﹣1．点评：本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．21．（2007•德州）如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，点E、F分别从点B、D出发以同样的速度沿边BC、DC向点C运动．给出以下四个结论：①AE=AF；②∠CEF=∠CFE；③当点E，F分别为边BC，DC的中点时，△AEF是等边三角形；④当点E，F分别为边BC，DC的中点时，△AEF的面积最大．上述结论中正确的序号有①②③．（把你认为正确的序号都填上）考点：菱形的性质．菁优网版权所有专题：压轴题；动点型．分析：根据菱形的性质对各个结论进行验证从而得到正确的序号．解答：解：∵点E、F分别从点B、D出发以同样的速度沿边BC、DC向点C运动，∴BE=DF，∵AB=AD，∠B=∠D，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，①正确；∴CE=CF，∴∠CEF=∠CFE，②正确；∵在菱形ABCD中，∠B=60°，∴AB=BC，∴△ABC是等边三角形，∴当点E，F分别为边BC，DC的中点时，BE=AB，DF=AD，∴△ABE和△ADF是直角三角形，且∠BAE=∠DAF=30°，∴∠EAF=120°﹣30°﹣30°=60°，∴△AEF是等边三角形，③正确；∵△AEF的面积=菱形ABCD的面积﹣△ABE的面积﹣△ADF的面积﹣△CEF的面积=AB2﹣BE•AB××2﹣××（AB﹣BE）2=﹣BE2+AB2，∴△AEF的面积是BE的二次函数，∴当BE=0时，△AEF的面积最大，④错误．故正确的序号有①②③．点评：本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和等边三角形的判定．23．（2005•黑龙江）已知菱形ABCD的边长为6，∠A=60°，如果点P是菱形内一点，且PB=PD=2，那么AP的长为或．考点：菱形的性质．菁优网版权所有专题：压轴题；分类讨论．分析：根据题意得，应分P与A在BD的同侧与异侧两种情况进行讨论．解答：解：当P与A在BD的异侧时：连接AP交BD于M，∵AD=AB，DP=BP，∴AP⊥BD（到线段两端距离相等的点在垂直平分线上），在直角△ABM中，∠BAM=30°，∴AM=AB•cos30°=3，BM=AB•sin30°=3，∴PM==，∴AP=AM+PM=4；当P与A在BD的同侧时：连接AP并延长AP交BD于点MAP=AM﹣PM=2；当P与M重合时，PD=PB=3，与PB=PD=2矛盾，舍去．AP的长为4或2．故答案为4或2．点评：本题注意到应分两种情况讨论，并且注意两种情况都存在关系AP⊥BD，这是解决本题的关键．24．（2003•温州）如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是．考点：菱形的性质；线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有专题：压轴题；动点型．分析：过点E作PE⊥AB，交AC于P，则PA=PB，根据已知得到PA=2EP，根据勾股定理可求得PE，PA的值，从而可得到PE+PB的最小值．解答：解：当点P在AB的中垂线上时，PE+PB有最小值．过点E作PE⊥AB，交AC于P，则PA=PB．∵∠B=120°∴∠CAB=30°∴PA=2EP∵AB=2，E是AB的中点∴AE=1在Rt△APE中，PA2﹣PE2=1∴PE=，PA=∴PE+PB=PE+PA=．故答案为．点评：本题考查的是中垂线，菱形的邻角互补．勾股定理和最值．本题容易出现错误的地方是对点P的运动状态不清楚，无法判断什么时候会使PE+PB成