最小二乘法的多项式拟合(matlab实现)

用最小二乘法进行多项式拟合（matlab实现）西安交通大学徐彬华算法分析：对给定数据(i=0,1,2,3,..,m),一共m+1个数据点，取多项式P(x),使函数P(x)称为拟合函数或最小二乘解，令似的使得其中，a0，a1,a2,…,an为待求未知数，n为多项式的最高次幂，由此，该问题化为求的极值问题。由多元函数求极值的必要条件：j=0,1,…,n得到：j=0,1,…,n这是一个关于a0，a1,a2,…,an的线性方程组，用矩阵表示如下：因此，只要给出数据点及其个数m，再给出所要拟合的参数n，则即可求出未知数矩阵（a0，a1,a2,…,an）试验题1编制以函数为基的多项式最小二乘拟合程序，并用于对下列数据作三次多项式最小二乘拟合(取权函数wi≡1)xi-1.0-0.50.00.51.01.52.0yi-4.447-0.4520.5510.048-0.4470.5494.552总共有7个数据点，令m=6第一步：画出已知数据的的散点图，确定拟合参数n;x=-1.0:0.5:2.0;y=[-4.447,-0.452,0.551,0.048,-0.447,0.549,4.552];plot(x,y,'*')xlabel'x轴'ylabel'y轴'title'散点图'holdonnkkx0因此将拟合参数n设为3.第二步：计算矩阵A=注意到该矩阵为（n+1）*(n+1)矩阵，多项式的幂跟行、列坐标（i,j）的关系为i+j-2,由此可建立循环来求矩阵的各个元素，程序如下：m=6;n=3;A=zeros(n+1);forj=1:n+1fori=1:n+1fork=1:m+1A(j,i)=A(j,i)+x(k)^(j+i-2)endendend;再来求矩阵B=B=[0000];forj=1:n+1fori=1:m+1B(j)=B(j)+y(i)*x(i)^(j-1)endend第三步：写出正规方程，求出a0,,a1…,an.B=B';a=inv(A)*B;第四步：画出拟合曲线x=[-1.0:0.0001:2.0];z=a(1)+a(2)*x+a(3)*x.^2+a(4)*x.^3;plot(x,z)legend('离散点','y=a(1)+a(2)*x+a(3)*x.^2+a(4)*x.^3')title('拟合图')总程序附下：x=-1.0:0.5:2.0;y=[-4.447,-0.452,0.551,0.048,-0.447,0.549,4.552];plot(x,y,'*')xlabel'x轴'ylabel'y轴'title'散点图'holdonm=6;n=3;A=zeros(n+1);forj=1:n+1fori=1:n+1fork=1:m+1A(j,i)=A(j,i)+x(k)^(j+i-2)endendend;B=[0000];forj=1:n+1fori=1:m+1B(j)=B(j)+y(i)*x(i)^(j-1)endendB=B';a=inv(A)*B;x=[-1.0:0.0001:2.0];z=a(1)+a(2)*x+a(3)*x.^2+a(4)*x.^3;plot(x,z)legend('离散点','y=a(1)+a(2)*x+a(3)*x.^2+a(4)*x.^3')title('拟合图')