等比数列知识点并附例题及解析

等比数列知识点并附例题及解析1、等比数列的定义：*12,nnaqqnnNa0且，q称为公比2、通项公式：11110,0nnnnaaaqqABaqABq，首项：1a；公比：q推广：nmnmnnnmnmmmaaaaqqqaa3、等比中项：（1）如果,,aAb成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项，即：2Aab或Aab注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（（2）数列na是等比数列211nnnaaa4、等比数列的前n项和nS公式：（1）当1q时，1nSna（2）当1q时，11111nnnaqaaqSqq11''11nnnaaqAABABAqq（,,','ABAB为常数）5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的n，都有11(0){}nnnnnnaaqaqqaaa或为常数，为等比数列（2）等比中项：21111(0){}nnnnnnaaaaaa为等比数列（3）通项公式：0{}nnnaABABa为等比数列6、等比数列的证明方法：依据定义：若*12,nnaqqnnNa0且或1{}nnnaqaa为等比数列7、等比数列的性质：（2）对任何*,mnN，在等比数列{}na中，有nmnmaaq。（3）若*(,,,)mnstmnstN，则nmstaaaa。特别的，当2mnk时，得2nmkaaa注：12132nnnaaaaaa（4）数列{}na，{}nb为等比数列，则数列{}nka，{}nka，{}kna，{}nnkab，{}nnab（k为非零常数）均为等比数列。（5）数列{}na为等比数列，每隔*()kkN项取出一项23(,,,,)mmkmkmkaaaa仍为等比数列（6）如果{}na是各项均为正数的等比数列，则数列{log}ana是等差数列（7）若{}na为等比数列，则数列nS，2nnSS，32,nnSS，成等比数列（8）若{}na为等比数列，则数列12naaa，122nnnaaa，21223nnnaaa成等比数列（9）①当1q时，110{}0{}{nnaaaa，则为递增数列，则为递减数列②当1q0时，110{}0{}{nnaaaa，则为递减数列，则为递增数列③当1q时，该数列为常数列（此时数列也为等差数列）；④当0q时,该数列为摆动数列.（10）在等比数列{}na中，当项数为*2()nnN时，1SSq奇偶二例题解析【例1】已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝pn(p∈R，n∈N*)，那么数列{an}．（）A．是等比数列B．当p≠0时是等比数列B．C．当p≠0，p≠1时是等比数列D．不是等比数列【例2】已知等比数列1，x1，x2，…，x2n，2，求x1·x2·x3·…·x2n．【例3】{a}(1)a=4an25等比数列中，已知，＝－，求通项公12式；(2)已知a3·a4·a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．【例4】求数列的通项公式：(1){an}中，a1＝2，an+1＝3an＋2(2){an}中，a1=2，a2＝5，且an+2－3an+1＋2an＝0三、考点分析考点一：等比数列定义的应用1、数列na满足1123nnaan，143a，则4a_________．2、在数列na中，若11a，1211nnaan，则该数列的通项na______________．考点二：等比中项的应用1、已知等差数列na的公差为2，若1a，3a，4a成等比数列，则2a（）A．4B．6C．8D．102、若a、b、c成等比数列，则函数2yaxbxc的图象与x轴交点的个数为（）A．0B．1C．2D．不确定3、已知数列na为等比数列，32a，24203aa，求na的通项公式．考点三：等比数列及其前n项和的基本运算1、若公比为23的等比数列的首项为98，末项为13，则这个数列的项数是（）A．3B．4C．5D．62、已知等比数列na中，33a，10384a，则该数列的通项na_________________．3、若na为等比数列，且4652aaa，则公比q________．4、设1a，2a，3a，4a成等比数列，其公比为2，则123422aaaa的值为（）A．14B．12C．18D．15、等比数列{an}中，公比q=21且a2+a4+…+a100=30，则a1+a2+…+a100=______________.考点四：等比数列及其前n项和性质的应用1、在等比数列na中，如果66a，99a，那么3a为（）A．4B．32C．169D．22、如果1，a，b，c，9成等比数列，那么（）A．3b，9acB．3b，9acC．3b，9acD．3b，9ac3、在等比数列na中，11a，103a，则23456789aaaaaaaa等于（）A．81B．52727C．3D．2434、在等比数列na中，9100aaaa，1920aab，则99100aa等于（）A．98baB．9baC．109baD．10ba5、在等比数列na中，3a和5a是二次方程250xkx的两个根，则246aaa的值为（）A．25B．55C．55D．556、若na是等比数列，且0na，若243546225aaaaaa，那么35aa的值等于考点五：公式11,(1),(2)nnnSnaSSn的应用1、若数列的前n项和Sn=a1+a2+…+an，满足条件log2Sn=n，那么{an}是()A.公比为2的等比数列B.公比为21的等比数列C.公差为2的等差数列D.既不是等差数列也不是等比数列2、等比数列前n项和Sn=2n-1，则前n项的平方和为()A.(2n-1)2B.31(2n-1)2C.4n-1D.31(4n-1)3、设等比数列{an}的前n项和为Sn=3n+r，那么r的值为______________.一、等差和等比数列比较：等差数列等比数列定义daann1)0(1qqaann递推公式daann1；mdaanmnqaann1；mnmnqaa通项公式dnaan)1(111nnqaa（0,1qa）中项2knknaaA（0,,*knNkn）)0(knknknknaaaaG（0,,*knNkn）二、等差数列的定义与性质定义：1nnaad（d为常数），通项：11naand等差中项：xAy，，成等差数列2Axy前n项和：11122nnaannnSnad性质：na是等差数列（1）若mnpq，则mnpqaaaa；（2）数列12212,,nnnaaa仍为等差数列，232nnnnnSSSSS，，……仍为等差数列，公差为dn；（3）若nnab，是等差数列，且前n项和分别为nnST，，则2121mmmmaSbT（4）na为等差数列2nSanbn（ab，为常数，是关于n的常数项为0的二次函数，可能有最大值或最小值）（5）项数为偶数n2的等差数列na，有),)(()()(11122212为中间两项nnnnnnnaaaanaanaanSndSS奇偶，1nnaaSS偶奇.(6)项数为奇数12n的等差数列na，有)()12(12为中间项nnnaanS，naSS偶奇，1nnSS偶奇.前n项和)(21nnaanSdnnnaSn2)1(1)2(111)1(111qqqaaqqaqnaSnnn重要性质),,,,(*qpnmNqpnmaaaaqpnm),,,,(*qpnmNqpnmaaaaqpnm三、等比数列的定义与性质定义：1nnaqa（q为常数，0q），通项：11nnaaq.等比中项：xGy、、成等比数列2Gxy，或Gxy.前n项和：11(1)1(1)1nnnaqSaqqq（要注意q！）性质：na是等比数列（1）若mnpq，则mnpqaaaa··（2）232nnnnnSSSSS，，……仍为等比数列,公比为nq.四、数列求和的常用方法：1、裂项分组法：1111122334111111111()()()()122334111111nnnnnnn（）、11111,2,3,4,n39278111111234392781的前和是：（++++）+（+++）2、错位相减法：凡等差数列和等比数列对应项的乘积构成的数列求和时用此方法，例：求：23n-2n-1nnS=x3x5x(2n-5)x(2n-3)x(2n-1)x(x1)解：23n-2n-1nnS=x3x5x(2n-5)x(2n-3)x(2n-1)x(x1)①234n-1nn+1nxS=x3x5x(2n-5)x(2n-3)x(2n-1)x(x1)②①减②得：23n-1nn+1n2n-1n+1(1x)S=x2x2x2x2x2n1x2x1xx2n1x1x从而求出nS。错位相减法的步骤：(1)将要求和的杂数列前后各写出三项，列出①式；(2)将①式左右两边都乘以公比q，得到②式；(3)用①②，错位相减；(4)化简计算。3、倒序相加法：前两种方法不行时考虑倒序相加法例：等差数列求和：n123n2n1nnnn1n2321S=aaaaaaS=aaaaaa两式相加可得：n1n2n13n23n22n11n2S=aaaaaaaaaaaa即：1n2naanS所以等比数列·例题解析【例1】已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝pn(p∈R，n∈N*)，那么数列{an}．[]A．是等比数列B．当p≠0时是等比数列C．当p≠0，p≠1时是等比数列D．不是等比数列【例2】已知等比数列1，x1，x2，…，x2n，2，求x1·x2·x3·…·x2n．1nnaa2nS【例3】{a}(1)a=4an25等比数列中，已知，＝－，求通项公12式；(2)已知a3·a4·a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．【例4】已知a＞0，b＞0且a≠b，在a，b之间插入n个正数x1，x2，…，xn，使得a，x1，x2，…，xn，b成等比数列，求证…＜．xxxabnn122【例5】设a、b、c、d成等比数列，求证：(b－c)2＋(c－a)2＋(d－b)2＝(a－d)2．【例6】求数列的通项公式：(1){an}中，a1＝2，an+1＝3an＋2(2){an}中，a1=2，a2＝5，且an+2－3an+1＋2an＝0【例7】aaaa(aa)a2a(aa)aaa=0aaaa1234122242213422321234若实数、、、都不为零，且满足＋－＋＋＋求证：、、成等比数列，且公比为．【例8】若a、b、c成等差数列，且a＋1、b、c与a、b、c＋2都成等比数列，求b的值．【例9】已知等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是d，又知d≠1，且a4=b4，a10=b10：(1)求a1与d的值；(2)b16是不是{an}中的项？【例10】{a}b=(12)bbb=218bbb=18nnan123123设是等差数列，，已知＋＋，，求等差数列的通项．【例11】三个数成等比数列，若第二个数加4就成等差数列，再把这个等差数列的第3项加32又成等比数