直线与圆的位置关系(含答案)

直线与圆的位置关系·圆与圆的位置关系【知识清单】：1．直线与圆的位置关系(半径r，圆心到直线的距离为d)相离相切相交图形量化方程观点Δ＜0Δ＝0Δ＞0几何观点d＞rd＝rd＜r2．圆与圆的位置关系(两圆半径r1，r2，d＝|O1O2|)相离外切相交内切内含图形量的关系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|d＜|r1－r2|题组一：1．(教材习题改编)直线y＝ax＋1与圆x2＋y2－2x－3＝0的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．随a的变化而变化解析：选B∵直线y＝ax＋1恒过定点(0,1)，又点(0,1)在圆(x－1)2＋y2＝4的内部，故直线与圆相交．2．(教材习题改编)已知过点M(－3，－3)的直线l被圆x2＋y2＋4y－21＝0所截得的弦长为45，则直线l的方程为________．答案：x＋2y＋9＝0或2x－y＋3＝03．已知圆C：x2＋y2－6x＋8＝0，则圆心C的坐标为________；若直线y＝kx与圆C相切，且切点在第四象限，则k＝________.解析：圆的方程可化为(x－3)2＋y2＝1，故圆心坐标为(3,0)；由|3k|1＋k2＝1，解得k＝±24，根据切点在第四象限，可得k＝－24.答案：(3,0)－24注意：1．对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率k不存在的情形．2．两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形．题组二：1．过点(2,3)与圆(x－1)2＋y2＝1相切的直线的方程为________．解析：设圆的切线方程为y＝k(x－2)＋3，由圆心(1,0)到切线的距离为半径1，得k＝43，所以切线方程为4x－3y＋1＝0，又直线x＝2也是圆的切线，所以直线方程为4x－3y＋1＝0或x＝2.答案：x＝2或4x－3y＋1＝02．若圆x2＋y2＝1与圆(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则常数a＝________.答案：±25或0【考点突破】：考点一直线与圆的位置关系基础送分型考点——自主练透1．(2016·湖北七市联考)将直线x＋y－1＝0绕点(1,0)沿逆时针方向旋转15°得到直线l，则直线l与圆(x＋3)2＋y2＝4的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．相交或相切解析：选B依题意得，直线l的方程是y＝tan150°(x－1)＝－33(x－1)，即x＋3y－1＝0，圆心(－3,0)到直线l的距离d＝|－3－1|3＋1＝2，因此该直线与圆相切．2．(易错题)(2016·西安一模)直线(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)与圆x2＋y2－2x＋2y－7＝0的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定解析：选B法一：x2＋y2－2x＋2y－7＝0化为圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝9，故圆心坐标为(1，－1)，半径r＝3，圆心到直线的距离d＝|a＋1－a－1＋2a|a＋12＋a－12＝|2a＋2|2a2＋2.再根据r2－d2＝9－4a2＋8a＋42a2＋2＝7a2－4a＋7a2＋1，而7a2－4a＋7＝0的判别式Δ＝16－196＝－180＜0，故有r2＞d2，即d＜r，故直线与圆相交．法二：由(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)整理得x－y＋a(x＋y＋2)＝0，则由x－y＝0，x＋y＋2＝0，解得x＝－1，y＝－1，即直线(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)过定点(－1，－1)，又(－1)2＋(－1)2－2×(－1)＋2×(－1)－7＝－5＜0，则点(－1，－1)在圆x2＋y2－2x＋2y－7＝0的内部，故直线(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)与圆x2＋y2－2x＋2y－7＝0相交．3．(2015·大连双基测试)圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点的充要条件是________．解析：法一：将直线方程代入圆方程，得(k2＋1)x2＋4kx＋3＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是Δ＝16k2－12(k2＋1)＜0，解得k∈(－3，3)．法二：圆心(0,0)到直线y＝kx＋2的距离d＝2k2＋1，直线与圆没有公共点的充要条件是d＞1，即2k2＋11，解得k∈(－3，3)．答案：k∈(－3，3)[谨记通法]：判断直线与圆的位置关系的2大策略(1)若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法．(2)若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数法．考点二切线、弦长问题重点保分型考点——师生共研1．(2015·广东高考)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是()A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0B．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0D．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0解析：选A∵所求直线与直线2x＋y＋1＝0平行，∴设所求的直线方程为2x＋y＋m＝0.∵所求直线与圆x2＋y2＝5相切，∴|m|1＋4＝5，∴m＝±5.即所求的直线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0.2．(2015·宜昌二模)若圆x2＋y2＝a2与圆x2＋y2＋ay－6＝0的公共弦长为23，则a的值为()A．2B．±2C．1D．±1解析：选B设圆x2＋y2＝a2的圆心为O，半径r＝|a|，将x2＋y2＝a2与x2＋y2＋ay－6＝0联立，可得a2＋ay－6＝0，即公共弦所在的直线方程为a2＋ay－6＝0，原点O到直线a2＋ay－6＝0的距离为6a－a，根据勾股定理可得a2＝3＋6a－a2，解得a＝±2.[由题悟法]1．圆的切线方程的2种求法(1)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.(2)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.[提醒]若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则过M点的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.2．弦长的2种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2r2－d2.[提醒]:代数法计算量较大，我们一般选用几何法．[即时应用]:1．(2016·重庆调研)过点(－2,3)的直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|取得最小值时l的方程为()A．x－y＋5＝0B．x＋y－1＝0C．x－y－5＝0D．2x＋y＋1＝0解析：选A由题意得圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，则圆心C(－1,2)．过圆心与点(－2,3)的直线l1的斜率为k＝3－2－2－－1＝－1.当直线l与l1垂直时，|AB|取得最小值，故直线l的斜率为1，所以直线l的方程为y－3＝x－(－2)，即x－y＋5＝0.2．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为()A．－53或－35B．－32或－23C．－54或－45D．－43或－34解析：选D点A(－2，－3)关于y轴的对称点为A(2，－3)，故可设反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.∵反射光线与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，∴圆心(－3,2)到直线的距离d＝|－3k－2－2k－3|k2＋1＝1，化简得24k2＋50k＋24＝0，解得k＝－43或－34.考点三圆与圆的位置关系题点多变型考点——纵引横联[典型母题](2015·合肥二模)已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相外切，则ab的最大值为()A．62B．32C．94D．23[解析]由圆C1与圆C2相外切，可得a＋b2＋－2＋22＝2＋1＝3，即(a＋b)2＝9，根据基本不等式可知ab≤a＋b22＝94，当且仅当a＝b时等号成立．[答案]C[变式1]母题条件不变，试求a2＋b2的最小值．解：由母题可知(a＋b)2＝9，又由基本不等式a2＋b22≥a＋b22，可知a2＋b2≥a＋b22，∴a2＋b2≥92，当且仅当a＝b时“＝”成立．∴a2＋b2的最小值为92.求解本题最小值的关键是掌握基本不等式a＋b22≤a2＋b22.[变式2]母题条件中“外切”变为“内切”，则ab的最大值为________．解析：由圆C1与圆C2内切，得a＋b2＋－2＋22＝1，即(a＋b)2＝1，又ab≤a＋b22＝14，当且仅当a＝b时等号成立，故ab的最大值为14.答案：14[变式3]母题条件“外切”变为“相交”，则公共弦所在的直线方程为________．解析：由题意得，把圆C1，圆C2的方程都化为一般方程．圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2＝0，①圆C2：x2＋y2＋2bx＋4y＋b2＋3＝0，②由②－①得(2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0，[破译玄机]即所求公共弦所在直线方程为(2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0.答案：(2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0[变式4]母题条件“外切”变为“若两圆有四条公切线”，则直线x＋y－1＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝1的位置关系是________．解析：由两圆存在四条切线，知两圆外离，则a＋b2＋－2＋22＞3.∴(a＋b)2＞9.即a＋b＞3或a＋b＜－3.又圆心(a，b)到直线x＋y－1＝0的距离d＝|a＋b－1|2＞1，∴直线x＋y－1＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝1相离．答案：相离[类题通法]:解决圆与圆位置关系问题的2大通法(1)处理两圆位置关系多用圆心距与半径和或差的关系判断，一般不采用代数法．(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．题组：1、设⊙O1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，⊙O2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0．两圆相交于A、B两点，其公共弦AB所在直线方程为：2、试分别判断下列圆与圆的位置关系：（1）221:(3)(2)1Cxy圆，222:(7)(1)36Cxy圆（2）221:2232y0Cxyx圆，222:33y0Cxyx圆3、过点)4,2(M向圆1)3()1(:22yxC引两条切线，切点分别为QP,.(1)求直线PQ的方程；(2)求切点弦PQ的长．本题的关键是由两圆公切线条数来确定两圆的位置关系．[破译玄机]【三维演练】：3．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a＜3)相交于A，B两点，若弦AB的中点为(－2,3)，则直线l的方程为()A．x＋y－3＝0B．x＋y－1＝0C．x－y＋5＝0D．x－y－5＝0解析：选C设直线的斜率为k，又弦AB的中点为(－2,3)，所以直线l的方程为kx－y＋2k＋3＝0，由x2＋y2＋2x－4y＋a＝0得圆的圆心坐标为(－1,2)，所以圆心到直线的距离为2，所以|－k－2＋2k＋3|k2＋1＝2，解得k＝1，所以直线l的方程为x－y＋5＝0.4．若圆x2＋y2＋mx－14＝0与直线y＝－1相切，其圆心在y轴的左侧，则m＝________.解析：圆的标准方程为x＋m22＋y2＝m2＋122，圆心到直线y＝－1的距离m2＋12＝|0－(－1)|，解得m＝±3，因为圆心在y轴的左侧，所以m＝3.答案：35．已知点P是圆C：x2＋y2＋4x－6y－3＝0上的一点，直线l：3x－4y－5＝0.若点P到直线l的距离为2，则符合题意的点P有________个．解析：由题意知圆的标准方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝42，∴圆心到直线l的距离d＝|－6－12－5|5＝235＞4，故直线与圆相离，则满足题意的点P有2个．答案：2二保高考，全练题型做到高考达标1．(2016·温州十校联考)对任意的