【小学奥数题库系统】1-2-2-1-分数裂项.教师版

1-2-2-1.分数裂项.题库教师版page1of17本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。分数裂项一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1ab×形式的，这里我们把较小的数写在前面，即ab，那么有1111()abbaab=−×−(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)nnn×+×+，1(1)(2)(3)nnnn×+×+×+形式的，我们有：1111[](1)(2)2(1)(1)(2)nnnnnnn=−×+×+×+++1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)nnnnnnnnnn=−×+×+×+×+×++×+×+裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：分数裂项计算教学目标知识点拨1-2-2-1.分数裂项.题库教师版page2of17（1）11abababababba+=+=+×××（2）2222ababababababba+=+=+×××裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。【例1】111111223344556++++=×××××。【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】美国长岛，小学数学竞赛【解析】原式111111115122356166=−+−++−=−=提醒学生注意要乘以(分母差)分之一，如改为：111113355779+++××××，计算过程就要变为：111111113355779192+++=−×××××．【答案】56【巩固】111......101111125960+++×××【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【解析】原式111111111()()......()101111125960106012=−+−++−=−=【答案】112【巩固】2222109985443++++=××××【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【解析】原式111111112910894534=×−+−++−+−112310=×−715=【答案】715【例2】111111212312100++++++++++【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的代入有112(11)11122==+××，112(12)212232==+×+×，……，原式22221200992(1)1122334100101101101101=++++=×−==××××【答案】991101【例3】111113355799101++++=××××【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算例题精讲1-2-2-1.分数裂项.题库教师版page3of17【解析】111111111150(113355799101233599101101++++=×−+−++−=××××…）【答案】50101【巩固】计算：1111251335572325×++++=××××【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】2009年，迎春杯，初赛，六年级【解析】原式11111125123352325=××−+−++−11251225=××−2524225=×12=【答案】12【巩固】2512512512512514881212162000200420042008+++++×××××【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】2008年，台湾，小学数学竞赛，初赛【解析】原式2511111116122334500501501502=×+++++×××××251111111111622334501502=×−+−+−++−2515015012115165023232=×==【答案】211532【巩固】计算：3245671255771111161622222929++++++=××××××【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】原式1111111111111255771111161622222929=−+−+−+−+−+−+12=【答案】12【例4】计算：11111111()1288244880120168224288+++++++×=【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】2008年，101中学【解析】原式11111282446681618=++++×××××（）1111111128224461618=×−+−++−×（）1164218=−×（）4289=【答案】4289【巩固】11111111612203042567290+++++++=_______【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】2008年，第六届，走美杯，初赛，六年级【解析】根据裂项性质进行拆分为：1-2-2-1.分数裂项.题库教师版page4of1711111111612203042567290+++++++1111111123344556677889910112==2105=+++++++××××××××−【答案】25【巩固】11111113610152128++++++=【考点】分数裂项【难度】6星【题型】计算【关键词】2008年，第6届，走美杯，6年级，决赛【解析】原式111111212312341234567=+++++++++++++++++2221233478=++++×××111111122233478=+−+−++−1218=×−74=【答案】74【巩固】计算：1111111112612203042567290−−−−−−−−＝【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【关键词】2006年，第4届，走美杯，6年级，决赛【解析】原式111111111()223344556677889910=−+++++++××××××××1111111()22334910=−−+−++−111()2210=−−110=【答案】110【巩固】11111104088154238++++=。【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】原式11111255881111141417=++++×××××111111111113255881111141417=×−+−+−+−+−1115321734=×−=【答案】5341-2-2-1.分数裂项.题库教师版page5of17【例5】计算：1111135357579200120032005++++××××××××【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【关键词】2005年，第10届，华杯赛，总决赛，二试【解析】原式11111114133535572001200320032005=−+−++−××××××11110040034132003200512048045=×−=××【答案】100400312048045【例6】74.50.1611111813153563133.753.23×+×+++=−×【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【关键词】2007年，仁华学校【解析】原式791611111182901133557791331.2540.83−×+=×+++××××−×××71111111461123357913123+=××−+−+⋅⋅⋅+−−4631824429=×××23=36【答案】2336【例7】计算：11111123420261220420+++++【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【关键词】第五届，小数报，初赛【解析】原式()1111112320261220420=++++++++++11111210122334452021=++++++×××××11111112101223342021=+−+−+−++−12021012102121=+−=【答案】2021021【巩固】计算：11111200820092010201120121854108180270++++=。【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】2008年，学而思杯，6年级，1试【解析】原式1111120082009201020112012366991212151518=+++++++++×××××1-2-2-1.分数裂项.题库教师版page6of171111111201059122356=×+×−+−++−51005054=【答案】51005054【巩固】计算：1122426153577++++=____。【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】2009年，学而思杯，6年级【解析】原式132537511726153577−−−−=++++1111111112233557711=+−+−+−+−11011111=−=【答案】1011【巩固】计算：1111111315356399143195++++++【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】分析这个算式各项的分母，可以发现它们可以表示为：232113=−=×，2154135=−=×，……，21951411315=−=×，所以原式11111111335577991111131315=++++++×××××××11111111121323521315=×−+×−++×−1112115=×−715=【答案】715【巩固】计算：15111929970198992612203097029900+++++++=．【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【关键词】2008年，四中【解析】原式1111111126129900=−+−+−++−11199122399100=−+++×××1111199122399100=−−+−++−1991100=−−198100=【答案】1981001-2-2-1.分数裂项.题库教师版page7of17【例8】111123234789+++××××××【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】首先分析出()()()()()()()()11111111211211nnnnnnnnnnnn+−−==−−××+−××+−××+原式11111111121223233467787889=×−+−++−+−××××