2020届高考总复习数学-文科-第五章--三角函数第四节-三角函数的图象与性质

第五章三角函数、解三角形第四节三角函数的图象与性质最新考纲考情索引核心素养1.能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性．2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、以及与x轴的交点等)，理解正切函数在－π2，π2内的单调性.2018·全国卷Ⅰ，T82018·全国卷Ⅱ，T102018·全国卷Ⅲ，T62018·江苏卷，T72017·全国卷Ⅱ，T3，T132017·全国卷Ⅲ，T61.数学运算2.逻辑推理3.直观想象1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，π2，1，(π，0)，__________，(2π，0)．(2)余弦函数y＝cosx，x∈[0，2π]图象中，五个关键点是：(0，1)，π2，0，__________，3π2，0，(2π，1)．3π2，－1(π，－1)2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR{x|x∈R，且x≠kπ＋π2}值域___________________周期性_________奇偶性________________奇函数[－1，1][－1，1]R2π2ππ奇函数偶函数递增区间__________________________________________递减区间_____________________________无对称中心________________kπ2，0对称轴方程________________无2kπ－π2，2kπ＋π2[2kπ－π，2kπ](kπ－π2，kπ＋π2)2kπ＋π2，2kπ＋3π2[2kπ，2kπ＋π](kπ，0)kπ＋π2，0x＝kπ＋π2x＝kπ1．对称与周期．(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．2．要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时A和ω的符号，尽量化成ω0时情况，避免出现增减区间的混淆．3．对于y＝tanx不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)内为增函数．1．概念思辨判断下列说法的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)余弦函数y＝cosx的对称轴是y轴．()(2)正切函数y＝tanx的定义域内是增函数．()(3)已知y＝ksinx＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.()(4)y＝sin|x|是偶函数．()解析：(1)余弦函数y＝cosx的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条．(2)正切函数y＝tanx在每一个区间kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数．(3)当k0时，ymax＝k＋1；当k0时，ymax＝－k＋1.答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．教材衍化(1)(人A必修4·P46A组T2，3改编)若函数y＝2sin2x－1的最小值正周期为T，最大值为A，则()A．T＝π，A＝1B．T＝2π，A＝1C．T＝π，A＝2D．T＝2π，A＝2(2)(人A必修4·P47T2改编)函数y＝－tan2x－3π4的单调递减区间为________．解析：(1)最小正周期T＝2π2＝π，最大值A＝2－1＝1.(2)因为y＝tanx的单调递增区间为－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)，所以由－π2＋kπ2x－3π4π2＋kπ(k∈Z)，得π8＋kπ2x5π8＋kπ2(k∈Z)，所以y＝－tan2x－3π4的单调递减区间为π8＋kπ2，5π8＋kπ2(k∈Z)．答案：(1)A(2)π8＋kπ2，5π8＋kπ2(k∈Z)3．典题体验(1)(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝tanx1＋tan2x的最小正周期为()A.π4B.π2C．πD．2π(2)(2017·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝15sinx＋π3＋cosx－π6的最大值为()A.65B．1C.35D.15(3)(2018·江苏卷)已知函数y＝sin(2x＋φ)(－π2＜φ＜π2)的图象关于直线x＝π3对称，则φ的值为________．解析：(1)由已知得f(x)＝tanx1＋tan2x＝sinxcosx1＋（sinxcosx）2＝sinxcosxcos2x＋sin2xcos2x＝sinx·cosx＝12sin2x，所以f(x)的最小正周期为T＝2π2＝π.(2)因为f(x)＝15sinx＋π3＋cosx－π6＝1512sinx＋32cosx＋32cosx＋12sinx＝110sinx＋310cosx＋32cosx＋12sinx＝35sinx＋335cosx＝65sinx＋π3，所以当x＝π6＋2kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值65.故选A.(3)由题意得f(π3)＝sin(2π3＋φ)＝±1，所以2π3＋φ＝kπ＋π2，所以φ＝kπ－π6，k∈Z.因为φ∈(－π2，π2)，所以取k＝0得φ＝－π6.答案：(1)C(2)A(3)－π6考点1三角函数的定义域、值域(最值)(自主演练)【例1】函数f(x)＝－2tan2x＋π6的定义域是()A.xx≠π6B.xx≠－π12C.xx≠kπ＋π6，k∈ZD.xx≠kπ2＋π6，k∈Z解析：由正切函数的定义域，得2x＋π6≠kπ＋π2，k∈Z，即x≠kπ2＋π6，k∈Z，故选D.答案：D【例2】函数y＝sinx－cosx＋π6的值域为________．解析：因为y＝sinx－cosx＋π6＝sinx－32cosx＋12sinx＝32sinx－32cosx＝3sinx－π6，所以函数y＝sinx－cosx＋π6的值域为[－3，3]．答案：[－3，3]【例3】(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋3cosx－34x∈0，π2的最大值是________．解析：f(x)＝1－cos2x＋3cosx－34＝－cosx－322＋1.因为x∈0，π2，所以cosx∈[0，1]，所以当cosx＝32时，f(x)取得最大值，最大值为1.答案：11．求三角函数的定义域其实质是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数的图象求解．2．求三角函数的值域(最值)常见三种类型．(1)形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；(3)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)．考点2三角函数的单调性(讲练互动)【例1】(2018·全国卷Ⅱ)若f(x)＝cosx－sinx在[0，a]是减函数，则a的最大值是()A.π4B.π2C.3π4D．π解析：因为f(x)＝cosx－sinx＝－2sin(x－π4)，所以当x－π4∈－π2，π2，即x∈－π4，3π4时，sin(x－π4)单调递增，－2sin(x－π4)单调递减，所以－π4，3π4是f(x)在原点附近的单调减区间，结合条件得[0，a]⊆－π4，3π4，所以a≤3π4，即amax＝3π4.故选C.答案：C【例2】(2017·浙江卷)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－23sinxcosx(x∈R)．(1)求f2π3的值；(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．解：(1)由sin2π3＝32，cos2π3＝－12，得f2π3＝322－－122－23×32×－12，所以f2π3＝2.(2)由cos2x＝cos2x－sin2x与sin2x＝2sinxcosx得f(x)＝－cos2x－3sin2x＝－2sin2x＋π6，所以f(x)的最小正周期是π.由正弦函数的性质得π2＋2kπ≤2x＋π6≤3π2＋2kπ，k∈Z，解得π6＋kπ≤x≤2π3＋kπ，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间是π6＋kπ，2π3＋kπ(k∈Z)．1．求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．2．对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷．[变式训练]1．函数y＝cosπ4－2x的单调递减区间为________．解析：由y＝cosπ4－2x＝cos2x－π4，令2kπ≤2x－π4≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ＋π8≤x≤kπ＋5π8(k∈Z)，所以函数的单调递减区间为kπ＋π8，kπ＋5π8(k∈Z)．答案：kπ＋π8，kπ＋5π8(k∈Z)2．[一题多解]若函数f(x)＝sinωx(ω＞0)在区间0，π3上单调递增，在区间π3，π2上单调递减，则ω＝________．解析：法一由于函数f(x)＝sinωx(ω0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，π3为函数f(x)的14周期，故2πω＝4π3，解得ω＝32.法二由题意，得f(x)max＝fπ3＝sinπ3ω＝1.由已知并结合正弦函数图象可知，π3ω＝π2，解得ω＝32.答案：32考点3奇偶性、周期性与对称性(多维探究)角度三角函数的周期性【例1】(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则()A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4解析：因为f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝1＋cos2x－1－cos2x2＋2＝32cos2x＋52，所以f(x)的最小正周期为π，最大值为4.故选B.答案：B【例2】已知函数f(x)＝sinωx－ωπ(ω＞0)的最小正周期为π，则fπ12等于()A.12B．－12C.32D．－32解析：因为T＝π，所以ω＝2πT＝2ππ＝2，所以f(x)＝sin(2x－2π)＝sin2x，所以fπ12＝sinπ6＝12.答案：A角度三角函数的奇偶性【例3】设函数f(x)＝sin12＋θ－3cos12x＋θ|θ|π2的图象关于y轴对称，则θ＝()A．－π6B.π6C．－π3D.π3解析：f(x)＝sinx2＋θ－3cosx2＋θ＝2sinx2＋θ－π3.依题设知，f(x)是偶函数．所以θ－π3＝kπ＋π2(k∈Z)，则θ＝kπ＋5π6(k∈Z)．又|θ|π2，所以取k＝－1，得θ＝－π6.答案：A角度三角函数图象的对称性【例4】(2019·武汉模拟)若函数y＝cosωx＋π6(ω∈N*)图象的一个对称中心是π6，0，则ω的最小值为________．解析：由