1.2.2组合习题课

一、组合与组合数（一）组合数的公式及其性质：(1)(2)(1)!mmnnnmAnnnnmCAm!!()!mnnCmnm组合数性质1：mnmnnCC11mmmnnnCCC2：01nnnCC特别地：______,4A3A2918nnn则已知7__________3337410ACC0________,231010xCCxx则1,或5_______9910098999799CCC5050练习一129999CCC（5）求的值（1）（2）（3）（4）5111231112!3!4!!!nnn求证：例题解读!(1)!(1)(1)!nnnn证明：11(1)(1)!!!nnnn因为左边=111111112!2!3!3!4!(1)!!nn注意阶乘的变形形式：11!n=左边，评注：(1)!(1)!nnn所以等式成立练习精选：证明下列等式：1)!1(!!33!22!1nnn（1）11122110mmnmmnnnnCCCCC（2）例1．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：（1）分给甲、乙、丙三人，每人2本；解：（1）根据分步计数原理得到：22264290CCC种二、等分组与不等分组问题例1．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：(2)分为三份，每份2本；解析：(2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有种方法．根据分步计数原理所以．222642CCC33A可得：22236423CCCxA2226423315CCCxA因此，分为三份，每份两本一共有15种方法所以．点评：本题是分组中的“均匀分组”问题．一般地：将mn个元素均匀分成n组（每组m个元素）,共有mmmmnmnmmnnCCCA种方法例1．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：（3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；（4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本；解：（3）这是“不均匀分组”问题，一共有种方法．12365360CCC（4）在（3）的基础上再进行全排列，所以一共有种方法．12336533360CCCA例1．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：（5）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本解：（5）可以分为三类情况：①“2、2、2型”的分配情况，有种方法；22264290CCC②“1、2、3型”的分配情况，有种方法；12336533360CCCA③“1、1、4型”，有种方法，436390CA所以，一共有90+360+90＝540种方法．例1、6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法；（6）分给5个人，每人至少一本；（7）6本相同的书，分给甲乙丙三人，每人至少一本。2565CA25C练习：1、今有10件不同奖品,从中选6件分成三份,二份各1件,另一份4件,有多少种分法?2、今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每人二件有多少种分法?解:1、2、641111062123150CCCC62221064218900CCCC三、元素相同问题隔板策略例.有10个运动员名额，再分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个空隙。在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有___________种分法。一班二班三班四班五班六班七班69C将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为11mnC例2、（1）10个优秀指标分配给6个班级，每个班级至少一个，共有多少种不同的分配方法？（2）10个优秀指标分配到1、2、3三个班，若名额数不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？分析：（1）这是同种元素的“不平均分组”问题.本小题可构造数学模型，用5个隔板插入10个指标中的9个空隙，既有种方法。按照第一个隔板前的指标数为1班的指标，第一个隔板与第二个隔板之间的指标数为2班的指标，以此类推，因此共有种分法.59C59126C（2）先拿3个指标分给二班1个，三班2个，然后，问题转化为7个优秀指标分给三个班，每班至少一个.由（1）可知共有种分法注：第一小题也可以先给每个班一个指标，然后，将剩余的4个指标按分给一个班、两个班、三个班、四个班进行分类，共有种分法.2615C1234666623126CCCC练习：3、从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法?解:采用“隔板法”得:5294095C4、将8个学生干部的培训指标分配给5个不同的班级，每班至少分到1个名额，共有多少种不同的分配方法？47C5、从一楼到二楼的楼梯有17级，上楼时可以一步走一级，也可以一步走两级，若要求11步走完，则有多少种不同的走法？511C例3．马路上有编号为1，2，3，…，10的十盏路灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中3盏灯关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，有多少种不同的关灯方法？解：（插空法）本题等价于在7只亮着的路灯之间的6个空档中插入3只熄掉的灯，故所求方法总数为种方法3620C四、不相邻问题插空法练习、某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有（）（A）种（B）种（C）种（D）种38C38A39C311CA五、混合问题，先“组”后“排”例4、对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？解：由题意知前5次测试恰有4次测到次品，且第5次测试是次品。故有：种可能。576441634ACC例5．（1）四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共有多少种不同的放法？（2）四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法有多少种？解：（1）根据分步计数原理：一共有种方法；44256（2）（捆绑法）第一步：从四个不同的小球中任取两个“捆绑”在一起看成一个元素有种方法；第二步：从四个不同的盒中任取三个将球放入有种方法，所以，一共有＝144种方法24C34A24C34A练习：6、某学习小组有5个男生3个女生，从中选3名男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1人参加，则有不同参赛方法______种.解：采用先组后排方法:312353431080CCCA7、3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检,每校分配1名医生和2名护士,不同的分配方法共有多少种?解法一：先组队后分校（先分堆后分配）223364540CCA解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医生和护士.5401)()(24122613CCCC8．一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有（）A．24种B．36种C．48D．72种B9．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面。不同的安排方法共有（）A.20种B.30种C.40种D.60种A10．某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如题（16）图所示的6个点A、B、C、A1、B1、C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有种（用数字作答）.2161．5个人分4张同样的足球票，每人至多分一张，而且票必须分完，那么不同的分法种数是．2．某学生要邀请10位同学中的6位参加一项活动，其中有2位同学要么都请，要么都不请，共有种邀请方法.3.一个集合有5个元素，则该集合的非空真子集共有个.4.平面内有两组平行线，一组有m条，另一组有n条，这两组平行线相交，可以构成个平行四边形.5．空间有三组平行平面，第一组有m个，第二组有n个，第三组有t个，不同两组的平面都相交，且交线不都平行，可构成个平行六面体455C9830222mntCCC22mnCC课堂练习：6.高二某班第一小组共有12位同学，现在要调换座位，使其中有3个人都不坐自己原来的座位，其他9人的座位不变，共有种不同的调换方法7.某兴趣小组有4名男生，5名女生：（1）从中选派5名学生参加一次活动，要求必须有2名男生，3名女生，且女生甲必须在内，有种选派方法；（2）从中选派5名学生参加一次活动，要求有女生但人数必须少于男生，有____种选派方法；（3）分成三组，每组3人，有_______种不同分法.3122440C3645280课堂练习：8.九张卡片分别写着数字0，1，2，…，8，从中取出三张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问可以组成多少个三位数？解：可以分为两类情况：①若取出6，则有种方法；②若不取6，则有种方法，211182772()ACCC1277CA根据分类计数原理，一共有+＝602种方法211182772()ACCC1277CA课堂练习：9.某餐厅供应盒饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种.现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜_____种.(结果用数值表示)7【解题回顾】由于化为一元二次不等式n2－n－40≥0求解较繁，考虑到n为正整数，故解有关排列、组合的不等式时，常用估算法.10.某电视台邀请了6位同学的父母共12人，请这12位家长中的4位介绍对子女的教育情况，如果这4位中恰有一对是夫妻，那么不同选择方法的种数是()(A)60(B)120(C)240(D)270C11.某次数学测验中，学号是i(i=1、2、3、4)的四位同学的考试成绩f(i)∈{86,87,88,89,90}，且满足f(1)＜f(2)≤f(3)＜f(4)，则四位同学的成绩可能情况有()(A)5种(B)12种(C)15种(D)10种CB12.表达式可以作为下列哪一问题的答案()(A)n个不同的球放入不同编号的n个盒子中，只有一个盒子放两个球的方法数(B)n个不同的球放入不同编号的n个盒子中，只有一个盒子空着的方法数(C)n个不同的球放入不同编号的n个盒子中，只有两个盒子放两个球的方法数(D)n个不同的球放入不同编号的n个盒子中，只有两个盒子空着的方法数211nnnnCA1．按元素的性质进行分类、按事件发生的连续过程分步，是处理组合应用题的基本思想方法；2．对于有限制条件的问题，要优先安排特殊元素、特殊位置；3．对于含“至多”、“至少”的问题，宜用排除法或分类解决；4．按指定的一种顺序排列的问题，实质是组合问题.课堂小结5.需要注意的是，均匀分组（不计组的顺序）问题不是简单的组合问题，如：将3个人分成3组，每组一个人，显然只有1种分法，而不是种,一般地，将m、n个不同元素均匀分成n组，有种分法；1113216CCC(-1)mmmmnnmmmmCCCA课堂练习：2、从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中至多有一个人参加，则有不同的选法种数为。32328778.()()ACCCC32328778.()()BCCCC32328778.CCCCC3218711.DCCC3、要从8名男医生和7名女医生中选5人组成一个医疗队，如果其中至少有2名男医生和至少有2名女医生，则不同的选法种数为（）4、从7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共