高二数学选修4-4第一章检测题(含答案北师大版)

实用精品文献资料分享高二数学选修4-4第一章检测题(含答案北师大版)综合检测(一)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013•许昌模拟)将曲线y＝sin2x按照伸缩变换x′＝2xy′＝3y后得到的曲线方程为()A．y＝3sinxB．y＝3sin2xC．y＝3sin12xD．y＝13sin2x【解析】由伸缩变换，得x＝x′2，y＝y′3.代入y＝sin2x，有y′3＝sinx′，即y′＝3sinx′.∴变换后的曲线方程为y＝3sinx.【答案】A2．极坐标方程sinθ＝12(ρ∈R，ρ≥0)表示的曲线是()A．两条相交直线B．两条射线C．一条直线D．一条射线【解析】∵sinθ＝12，所以θ＝π6(ρ≥0)和θ＝56π(ρ≥0)，故其表示两条射线．【答案】B3．极坐标方程ρ＝cosθ化为直角坐标方程为()A．(x＋12)2＋y2＝14B．x2＋(y＋12)2＝14C．x2＋(y－12)2＝14D．(x－12)2＋y2＝14【解析】由ρ＝cosθ得ρ2＝ρcosθ，所以x2＋y2＝x，即(x－12)2＋y2＝14.故选D.【答案】D4．点A的球坐标为(2，34π，34π)，则它的直角坐标为()A．(－1,1，－2)B．(－1,1，2)C．(－1，－1，2)D．(1,1，－2)【解析】x＝rsinφcosθ＝2sin34πcos34π＝－1，y＝rsinφsinθ＝2sin34πsin34π＝1，z＝rcosφ＝2cos34π＝－2.所以直角坐标为(－1,1，－2)，故选A.【答案】A5．与点A(－1,0)和点B(1,0)连线的斜率之和为－1的动点P的轨迹方程是()A．x2＋y2＝3B．x2＋2xy＝1(x≠±1)C．y＝1－x2D．x2＋y2＝9(x≠0)【解析】设P(x，y)，则kPA＝yx＋1(x≠－1)，kPB＝yx－1(x≠1)．又kPA＋kPB＝－1，即yx＋1＋yx－1＝－1，得x2＋2xy＝1(x≠±1)，故选B.【答案】B6．在极坐标中，与圆ρ＝4sinθ相切的一条直线方程为()A．ρsinθ＝2B．ρcosθ＝2C．ρcosθ＝4D．ρcosθ＝－4【解析】圆ρ＝4sinθ的圆心为(2，π2)，半径r＝2，逐个验证知，B正确．【答案】B7．(2013•驻马店质检)圆ρ＝4cosθ的圆心到直线tanθ＝1的距离为()A.22B.2C．2D．22【解析】圆ρ＝4cosθ的圆心C(2,0)，如右图，|OC|＝2，在Rt△COD中，∠ODC＝π2，∠COD＝π4，∴|CD|实用精品文献资料分享＝2.即圆ρ＝4cosθ的圆心到直线tanθ＝1的距离为2.【答案】B8．点M(1，7π6)关于直线θ＝π4(ρ∈R)的对称点的极坐标为()A．(1，4π3)B．(1，2π3)C．(1，π3)D．(1，－7π6)【解析】点M(1，7π6)的直角坐标为(cos7π6，sin7π6)＝(－32，－12)，直线θ＝π4(ρ∈R)，即直线y＝x，点(－32，－12)关于直线y＝x的对称点为(－12，－32)，再化为极坐标，即(1，4π3)．【答案】A9．在球坐标系中，集合M＝{(r，φ，θ)|2≤r≤6,0≤φ≤π2，0≤θ＜2π}表示的图形的体积为()A.4163πB.1463πC.6143πD.4613π【解析】由球坐标中r，φ，θ的含义知，该图形的体积是两个半径分别为6,2的半球体积之差．∴V＝12(43π×63－43π×23)＝12×43π×208＝4163π.故选A.【答案】A10．圆ρ＝r与圆ρ＝－2rsin(θ＋π4)(r＞0)的公共弦所在直线的方程为()A．2ρ(sinθ＋cosθ)＝rB．2ρ(sinθ＋cosθ)＝－rC.2ρ(sinθ＋cosθ)＝rD.2ρ(sinθ＋cosθ)＝－r【解析】圆ρ＝r的直角坐标方程为x2＋y2＝r2，①圆ρ＝－2rsin(θ＋π4)＝－2r(sinθcosπ4＋cosθsinπ4)＝－2r(sinθ＋cosθ)．两边同乘以ρ得ρ2＝－2r(ρsinθ＋ρcosθ)，∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2，∴x2＋y2＋2rx＋2ry＝0.②①－②整理得2(x＋y)＝－r，即为两圆公共弦所在直线的普通方程．再将直线2(x＋y)＝－r化为极坐标方程为2ρ(cosθ＋sinθ)＝－r.【答案】D二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)11．在极坐标系中，点P(2,0)与点Q关于直线θ＝π3对称，则|PQ|＝________.【解析】直线θ＝π3的直角坐标方程为y＝3x.设点P到直线的距离为d，则|PQ|＝2d＝2×231＋3＝23.【答案】2312．(2012•陕西高考)直线2ρcosθ＝1与圆ρ＝2cosθ相交的弦长为________．【解析】直线2ρcosθ＝1可化为2x＝1，即x＝12；圆ρ＝2cosθ两边同乘ρ得ρ2＝2ρcosθ，化为直角坐标方程是x2＋y2＝2x.将x＝12代入x2＋y2＝2x得y2＝34，∴y＝±32.∴弦长为2×32＝3.【答案】313．在极坐标系中，极点到直线l：ρsin(θ＋π4)＝2的距离是________．【解析】由ρsin(θ＋π4)＝2，得ρsinθ＋ρcos实用精品文献资料分享θ＝2，即直线直角坐标方程为x＋y＝2，又极点的直角坐标为(0,0)，∴极点到直线的距离d＝|0＋0－2|2＝2.【答案】214．已知点M的柱坐标为(2π3，2π3，2π3)，则点M的直角坐标为________，球坐标为________．【解析】设点M的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(r，θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)，由x＝rcosθ，y＝rsinθ，z＝z得x＝2π3cos2π3＝－π3，y＝2π3sin2π3＝33π，z＝2π3，由r＝x2＋y2＋z2，cosφ＝zr，得r＝22π3，cosφ＝22，即r＝22π3，φ＝π4.所以点M的直角坐标为(－π3，3π3，2π3)，球坐标为(22π3，π4，2π3)．【答案】(－π3，33π，23π)(223π，π4，23π)15．已知极坐标系中，极点为O，将点A(4，π6)绕极点逆时针旋转π4得到点B，且|OA|＝|OB|，则点B的直角坐标为________．【解析】依题意，点B的极坐标为(4，5π12)，∵cos5π12＝cos(π4＋π6)＝cosπ4cosπ6－sinπ4•sinπ6＝22•32－22•12＝6－24，sin5π12＝sin(π4＋π6)＝sinπ4cosπ6＋cosπ4sinπ6＝22•32＋22•12＝6＋24，∴x＝ρcosθ＝4×6－24＝6－2，∴y＝ρsinθ＝4×6＋24＝6＋2，∴点B的直角坐标为(6－2，6＋2)．【答案】(6－2，6＋2)三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤)图116．(本小题满分12分)设极点O到直线l的距离为d，由点O向直线l作垂线，由极轴到垂线OA的角度为α(如图1所示)．求直线l的极坐标方程．【解】在直线l上任取一点M(ρ，θ)．在直角三角形OMA中，由三角知识得ρcos(α－θ)＝d，即ρ＝－这就是直线l的极坐标方程．17．(本小题满分12分)(2013•安阳调研)在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换x′＝2xy′＝2y后，曲线C变为曲线(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1，求曲线C的方程，并判断其形状．【解】将x′＝2xy′＝2y代入(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1，得(2x－5)2＋(2y＋6)2＝1，即(x－52)2＋(y＋3)2＝14，故曲线C是以(52，－3)为圆心，半径为12的圆．18．(本小题满分12分)已知⊙C：ρ＝cosθ＋sinθ，直线l：ρ＝＋求⊙C上点到直线l距离的最小值．【解】⊙C的直角坐标方程是x2＋y2－x－y＝0，即(x－12)2＋(y－12)2实用精品文献资料分享＝12.又直线l的极坐标方程为ρ(cosθ－sinθ)＝4，所以直线l的直角坐标方程为x－y－4＝0.设M(12＋22cosθ，12＋22sinθ)为⊙C上任意一点，M点到直线l的距离d＝12＋22cosθ－＋－42＝4－＋，当θ＝7π4时，dmin＝32＝322.19．(本小题满分13分)如图2，花坛水池中央有一喷泉，水管O′P＝1m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2m，P距抛物线的对称轴1m，则水池的直径至少应设计为多少米(精确到整数位)?图2【解】如图建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．依题意，有P(－1，－1)，∴p＝12，故抛物线的方程为x2＝－y，设B(x，－2)，则x＝2，∴|O′B|＝1＋2.所以水池的直径为2(1＋2)≈5(m)．即水池的直径至少应设计为5m.20．(本小题满分13分)(1)在极坐标系中，求以点(1,1)为圆心，半径为1的圆C的方程；(2)将上述圆C绕极点逆时针旋转π2得到圆D，求圆D的方程．【解】(1)设M(ρ，θ)为圆上任意一点，如图，圆C过极点O，∠COM＝θ－1，作CK⊥OM于K，则|OM|＝2|OK|＝2cos(θ－1)，故圆C的极坐标为ρ＝2cos(θ－1)．(2)将圆C：ρ＝2cos(θ－1)按逆时针旋转π2得到圆D：ρ＝2cos(θ－1－π2)，即ρ＝－2sin(1－θ)，故ρ＝2sin(θ－1)为所求．21．(本小题满分13分)在极坐标系中，极点为O，已知曲线C1：ρ＝2与曲线C2：ρsin(θ－π4)＝2交于不同的两点A、B.(1)求|AB|的值；(2)求过点C(1,0)且与直线AB平行的直线l的极坐标方程．【解】(1)法一∵ρ＝2，∴x2＋y2＝4.又∵ρsin(θ－π4)＝2，∴y＝x＋2.∴|AB|＝2r2－d2＝24－＝22.法二设A(ρ，θ1)，B(ρ，θ2)，θ1，θ2∈[0,2π)，则sin(θ1－π4)＝22，sin(θ2－π4)＝22，∵θ1，θ2∈[0,2π)，∴|θ1－θ2|＝π2，即∠AOB＝π2，又|OA|＝|OB|＝2，∴|AB|＝22.(2)法一∵曲线C2的斜率为1，∴过点(1,0)且与曲线C2平行的直线l的直角坐标方程为y＝x－1，∴直线l的极坐标为ρsinθ＝ρcosθ－1，即ρcos(θ＋π4)＝22.法二设点P(ρ，θ)为直线l上任一点，因为直线AB与极轴成π4的角，则∠PCO＝3π4或∠PCO实用精品文献资料分享＝π4，当∠PCO＝3π4时在△POC中，|OP|＝ρ，|OC|＝1，∠POC＝θ，∠PCO＝3π4，∠OPC＝π4－θ，由正弦定理可知：－＝ρsin34π，即ρsin(π4－θ)＝22，即直线l的极坐标方程为：ρsin(π4－θ)＝22.同理，当∠PCO＝π4极坐标方程也为ρsin(π4－θ)＝22.当P为点C时显然满足ρsin(π4－θ)＝22.综上，所求直线l的极坐标方程为ρsin(π4－θ)＝22.