大学物理学电子教案---氢原子的量子理论简介

大学物理学电子教案量子物理（5）19-9氢原子的量子理论简介•氢原子的定态薛定谔方程•三个量子数•氢原子在基态时的径向波函数和电子的分布概率19-10多电子原子中的电子分布•电子自旋自旋磁量子数•四个量子数•多电子原子中的电子分布复习•波函数概率密度•薛定谔方程•一维势阱问题•对应原理•一维方势垒隧道效应19-9氢原子的量子理论简介•氢原子是最简单的原子，核外只有一个电子绕核运动。量子力学对氢原子问题有完满的论述，但是数学运算仍十分复杂，超过了大学物理的教学要求。•量子力学能够给出原子系统中电子状态的描述并且自然地得出量子化的结果。•通过对氢原子量子特性的讨论，能使我们对原子世界有一个较为清晰的图象。一、氢原子的定态薛定谔方程设氢原子中电子的质量为m，电荷为-e，它与原子核之间的距离为r。取原子核为原点O，则电子的势能为reEP024定态薛定鄂方程为rErrem02224204802222rreEhmr在球坐标系下zyxcossinrxsinsinrycosrz定态薛定鄂方程为048sin1sinsin1102222222222reEhmrrrrrr分离变量rRr2221lmdd1sinsin1sin22llddddml1481022222llreEhmrdrdRrdrdR二、三个量子数1、能量量子化与主量子数求解氢原子波函数的径向方程，根据波函数满足单值、有限和连续的条件，可得氢原子的能量是量子化的,3,2,112422204nnmeEn13.6eV242204me,3,2,1eV6.132nnEnE1E2E3En讨论：•由解薛定鄂方程得到的能量公式与波耳理论的结果相同，氢原子的能量只能取分立值，即能量是量子化的。称n为主量子数;•n=1的能级称为基态能级，n1的能级称为激发态能级2、角动量量子化与角量子数求解氢原子波函数的经度方程，可得氢原子中电子的角动量是量子化的1,,2,1,0121nlllhllL其中l叫做轨道角动量量子数或角量子数。讨论：•波耳理论的L=nh/2，最小值为h/2；而量子力学得出角动量的最小值为0。实验证明，量子力学得结论是正确的；•角量子数要受到主量子数得限制：处于能级En的原子，其角动量共有n种可能的取值，即l=0,1,2,…,n-1；•通常用主量子数和代表角量子数的字母一起来表示原子的状态。1s表示原子的基态：n=1,l=0，2p表示原子处于第一激发态：n=2,l=1，l=0sl=1pl=2dl=3f氢原子内电子的状态l=0l=1l=2l=3l=4l=5spdfghn=11sn=22s2pn=33s3p3dn=44s4p4d4fn=55s5p5d5f5gn=66s6p6d6f6g6h3、空间量子化与磁量子数求解氢原子波函数的纬度方程，可得氢原子中电子的角动量在某特定方向的分量是量子化的lmhmLllz,2,1,02ml叫做轨道角动量磁量子数，简称磁量子数。角动量的这种取向特性叫做空间量子化。说明：对于一定大小的角动量，ml=0,±1,±2,…±l，共有2l+1种可能的取值。对每一个ml，角动量L与Z轴的夹角应满足1cosllmLLlzml=0ml=1ml=2ml=2ml=1塞曼效应1896年，塞曼发现在磁场中谱线分裂的现象。塞曼和洛伦兹用用经典理论作了分析。为此，他们于1902年共同获得了诺贝尔物理学奖金。但是只有量子力学才能对塞曼效应作出全面解释。l=1l=0ml=0ml=-1ml=1塞曼效应可以用空间量子化来说明。如图所示，在外磁场中，对于l=1的能级，共有三个量子态，即ml=0,±1，于是从能级l=1的三个量子态分别跃迁到能级l=0时，就产生了三条谱线，这种现象，称为正常塞曼效应。反常塞曼效应：有些元素，例如钠谱线在弱磁场中分裂为四条、六条谱线，这种现象称为反常塞曼效应。1926年，海森伯考虑了电子的自旋后，才用量子力学对反常塞曼效应给出了正确的说明。三、氢原子在基态时的径向波函数和电子的分布概率对于基态氢原子，主量子数n=1，角量子数l=n-1=0，因而氢原子处于基态时的径向波函数方程为0481022222reEhmrdrdRrdrdR方程的解为1/rrCeRmEhr22218024812022rRrhme上式恒等于零0102201529.010529.0Ammehr玻尔半径eVmrhE6.1382122基态能量1、氢原子在基态时的径向波函数根据波函数的归一化条件，求常数C电子出现在r→r+dr，方向角为→+d、→+d的概率为ddrdrRdVsin22222电子出现在r→r+dr的概率为drrRdddrrRpdr222020222sin由归一化条件10pdr102/221drreCrr2/1314rC1/2/1314)(rrerrR基态波函数126534赖曼系巴耳末系帕邢系布喇开系氢原子光谱图2、电子的概率分布电子出现在r→r+dr的概率为drrerpdrrr2/23114rr10drdp1rr在r=r1时，径向概率最大。在半径r到r+dr的球壳内找到电子的概率径向概率密度为：激发态电子的概率分布drrdrrRdddrrRdrpnlnlmmlmnlnll2222020222sinr1s2s3s4sr2p3p4pr3d4d19-10多电子原子中的电子分布一、电子自旋自旋磁量子数1、斯特恩－盖拉赫实验银原子通过狭缝，经过不均匀磁场后，打在照相底板上。s态的原子射线，在不加磁场时，出现狭缝的原子沉积。加上磁场后，底板上呈现两条原子沉积。结论：原子具有磁矩，在磁场力的作用下发生偏转并且在外磁场中只有两可能的取向，即空间取向是量子化的。无磁场有磁场上述磁矩不可能是电子绕核作轨道运动的磁矩。因为当角量子数为l时，磁矩在磁场方向的投影有(2l+1)个不同的值，因而在底片上的原子沉积应该有奇数条，而不可能只有两条。2、电子自旋的假设1925年，当时年龄还不到25岁的两位荷兰莱顿大学的学生乌仑贝克和高德斯密特提出电子自旋的假设，认为电子除了作绕核的轨道运动之外，还有自旋运动，相应地有自旋角动量和自旋磁矩，且自旋磁矩在外磁场中只有两个可能的取向。电子自旋角动量21hssS＝s自旋角动量量子数，简称自旋量子数，它只能取一个值s=1/2自旋角动量在外磁场方向的投影2hmSszms称为自旋磁量子数，它只能取两个值ms=±1/2O3、斯特恩－盖拉赫实验的解释对于s态的银原子，l=0，即处于轨道角动量及相应的磁矩皆为零的状态，因而只有自旋角动量和自旋磁矩，所以在非均匀磁场中，原子射线分裂成两条。二、四个量子数•主量子数n，n=0,1,2,…，决定原子中电子的能量；•角量子数l，l=0,1,2,…,n-1，决定电子绕核运动的角动量的大小；•磁量子数ml，ml=0,±1,±2,…,±l，决定电子绕核运动的角动量在外磁场中的取向；•自旋量子数ms，ms=±1/2，决定电子自旋角动量在外磁场中的取向。三、多电子原子中的电子分布１、原子的壳层结构1916年，W.Kossel提出多电子原子中核外电子按壳层分布的形象化模型。他认为主量子数n相同的电子组成一个主壳层，对应于n=1,2,3,4,5,6,…的各个主壳层分别用大写字母K,L,M,N,O,P,….等表示；在每一主壳层内，又按角量子数l分为若干支壳层，l=0,1,2,3,4,5,…的支壳层分别用小写字母s,p,d,f,g,h,…表示。•对于确定的n和l，用nl表示，如1s,2s,2p,…；•当一个原子的每个电子组态n和l均被指定后，则称该原子具有一定的电子组态，例如：Cu:1s22s22p63s23p64s13d10•在光谱学中，谱线的命名与角量子数有关，相应于一定角动量的线系都赋予一定的名字，如对于跃迁hn=E2-E1，E1的角量子数l=0的谱线称为锐线系s——sharpE1l=1主线系p——principalE1l=2漫线系d——diffuseE1l=3基线系f——fundamental2、基态原子的核外电子排布服从的规律泡利（W.Pauli，1900-1958）瑞士籍奥地利物理学家。他21岁获得博士学位，并由导师索末菲推荐为《数学科学百科全书》写了关于相对论的长篇综述文章，受到爱因斯坦的高度赞许。25岁那年，他提出了后来以泡利命名的“不相容原理”，从而把早期量子论发展到极高的地步。这给当时许多正在探索原子内电子分布问题的物理学家提供了一把金钥匙，并进而得以阐明元素的周期律。他45岁时，因发现“泡利不相容原理”，而获得诺贝尔物理学奖金。至今，这个原理仍是量子力学的量子统计等微观领域的重要基础之一。•泡利不相容原理•泡利不相容原理问题：原子中的电子可以分布在不同的壳层上，每一主壳层和支壳层上能容纳多少电子呢？泡利不相容原理：1925年，泡利提出：在一个原子中，不可能有两个或两个以上的电子具有完全相同的量子态，即原子中的任何两个电子不可能有完全相同的一组量子数(n,l,ml,ms)。每一壳层上容纳的电子数：•对于每一支壳层，对应的量子数n,l，它们的磁量子数ml=0,±1,±2,…,±l，共有(2l+1)种可能值；对于每一个ml值又有两种ms值。所以在同一支壳层上可容纳的电子数为2(2l+1)•对于某一主壳层n，角量子数可取l=0,1,2,…,(n-1)，共n种可能值，而对于每一l值，可容纳电子数2(2l+1)种，故在主壳层n上可容纳的电子数为2102122nlNnln0123456spdfghi1K222L2683M2610184N261014325O26101418506P2610141822727Q26101418222698Nn例题：试确定基态氦原子中电子的量子数。解：氦原子有两个电子，这两个电子处于1s态，即n=1,l=0，因而ml=0。根据泡利不相容原理，这两个电子的量子数不能完全相同，所以它们的自旋量子数分别为1/2和-1/2。因此基态氦原子中两个电子的四个量子数分别为(1,0,0,1/2)和(1,0,0,-1/2)。•能量最小原理当原子处于正常状态时，原子中的电子尽可能地占据未被填充的最低能级，这一结论叫做能量最低原理。可见，能量较低的壳层首先被电子填充，只有当低能级的壳层被填充满后，电子才依次向高能级的壳层填充。•洪特定则在等价轨道上排布的电子将尽可能占据不同的轨道，并且自旋平行。洪特定则表明，等价轨道半充满时，元素的原子是比较稳定的。Cr:4s13d5而不是4s23d6Nb:5s13d4而不是5s24d31s,2s,2p,3s,3p,4s,3d,4P,5s,4d,5p,6s,4f,5d,6p,……小结•氢原子的量子理论简介•氢原子的定态薛定谔方程•三个量子数•氢原子在基态时的径向波函数和电子的分布概率•多电子原子中的电子分布•电子自旋自旋磁量子数•四个量子数•多电子原子中的电子分布作业：思考题：P31035习题：P31229，30，31，32预习：19-11，19-12，19-13