复习专题：导数

1导数一、导数公式（1）、几种常见的导数①C；②()x()R；③'()xa=；④'()xe；⑤'(log)ax=；⑥'(ln)x；⑦'(sin)x；⑧；'(cos)x（2）、导数运算规则：①'[()]kfx；②'[()()]fxgx；③'[()()]fxgx；④'()()fxgx；练习：1、函数sinxyx的导数为________________；2、若2()lnfxxx,则'()fx3、若()sincosfxx,则'()f二、函数的单调性(),()fxCfx在区间A单调递增()0fx在A恒成立(),()fxCfx在区间A单调递减()0fx在A恒成立作用：可求单调区间解不等式；或判定函数在某区间单调；常识：看到单调，就想到导数大于等于（或小于等于）0在给定区间恒成立练习：1、已知13)(23xxaxxf在R上是减函数，则a的取值范围是2、设()fx是函数()fx的导函数，()yfx的图象如图（1）所示，则()yfx的图象最有可能为（）23、已知函数()yfx,()ygx的导函数的图象如下图，那么()yfx,()ygx的图象可能是（）4、已知对任意实数x，有()()()()fxfxgxgx，，且0x时，()0()0fxgx，，则0x时（）A．()0()0fxgx，B．()0()0fxgx，C．()0()0fxgx，D．()0()0fxgx，5、若1)1(2131)(23xaaxxxf在（1，4）内为减函数，在（6，+∞）上为增函数，则a的范围是三、极值和极值点（1）、极值点的判别法-----函数草图中的转折点或导数草图中与x轴的交点函数的草图导数的草图注意点：①如图，11(,())xfx是边界点不是极值点；22(,())xfx，33(,())xfx是转折点，才是极值点，其中22(,())xfx极大值点，33(,())xfx极小值点，2()fx是极大值，3()fx极小值；------极大值、极小值统称极值------是函数值②由于极值点由横坐标决定，因此，常称2x为极大值点，3x极小值点；所以求极值点---求横坐标（即()0fx的解）③导数的草图需画x轴；x轴上方，导数大于0，函数单调递增；下方导数小于0，函数单调递减-----画x轴32O1（2）、求函数()yfx的极值的方法：①求出()0fx的根ix；②利用导数草图判定ix是极大值点还是极小值点；③求出极值（3）求最值的方法①求出()0fx的根ix；②作出导数草图；③作出函数草图；④计算比较得到最值练习：1、①已知函数3()128fxxx在区间[3,3]上的最大值为M，则M.②2()2fxxx在（，）的值域是2、已知32()fxxbxcx。如图，()yfx的图象过点（1，0），（2，0），则下列说法中：不正确的有①32x时，函数()yfx取到极小值；②函数()yfx有两个极值点；③6c；④1x时，函数()yfx取到极大值；3、设ab，函数2()()yxaxb的图像可能是（）AobayxBobayxCobayxDobayx44、若函数2()1xafxx在1x处取极值，则a四、切线：曲线()yfx在0xx处切线的斜率0()kfx，切点00(,())xfx，从而切线方程为000()()()yfxfxxx---------求切线方程----关键在求切点的横坐标练习：1、设点(,)Pxy是3yxx上一点，则在P点处的斜率取值范围是2、曲线21xyxex在点（0,1）处的切线方程为3、已知曲线23ln4xyx的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为4、设P为曲线C：223yxx上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为04，，则点P横坐标的取值范围为5、在曲线323610yxxx的切线中，则斜率最小的切线方程是6、若曲线y=2xaxb在点（0，b）处的切线方程式1xy=0，则a，b7、若曲线2fxaxInx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是解答题1、已知函数daxbxxxf23)(的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为076yx.（Ⅰ）求函数)(xfy的解析式；（Ⅱ）求函数)(xfy的单调区间.2、已知()fx是二次函数，不等式()0fx的解集是(0,5),且()fx在区间1,4上的最大值是12。（I）求()fx的解析式；（II）是否存在自然数,m使得方程37()0fxx在区间(,1)mm内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由。53、设函数22()21(0)fxtxtxtxtR，．（Ⅰ）求()fx的最小值()ht；（Ⅱ）若()2httm对(02)t，恒成立，求实数m的取值范围．4、已知函数32()2fxxmxnx的图象过点（－1，－6），且函数()()6gxfxx的图象关于y轴对称.(Ⅰ)求m、n的值及函数y=f(x)的单调区间；(Ⅱ)若a＞0，求函数y=f(x)在区间（a-1,a+1）内的极值.5、已知函数f（x）=3213xxaxb的图像在点P（0,f(0)）处的切线方程为y=3x-2(Ⅰ)求实数a,b的值；(Ⅱ)设g（x）=f(x)+1mx是[2,]上的增函数。（i）求实数m的最大值；(ii)当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线若能与曲线y=g(x)围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由。6、已知函数1()ln1()afxxaxaRx（I）当1a时，求曲线()yfx在点(2,(2))f处的切线方程；（II）当12a时，讨论()fx的单调性7、已知函数0()(2xxaxxf，常数)aR．①讨论函数)(xf的奇偶性，并说明理由；②若函数)(xf在[2)x，上为增函数，求a的取值范围．8、已知函数3()fxxx．①求曲线()yfx在点(())Mtft，处的切线方程；②设0a，如果过点()ab，可作曲线()yfx的三条切线，证明：()abfa．9、已知函数42()32(31)4fxaxaxx（I）当16a时，求()fx的极值;（II）若()fx在1,1上是增函数，求a的取值范围6二阶导数的意义二阶导数就是对一阶导数再求导一次，意义如下：（1）斜线斜率变化的速度，表示的是一阶导数的变化率（2）函数的凹凸性。（3）判断极大值极小值。结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于零，而二阶导数大于零时，为极小值点；当一阶导数等于零，而二阶导数小于零时，为极大值点；当一阶导数、二阶导数都等于零时，为驻点。一、用二阶导数判断极大值或极小值定理设)(xf在0x二阶可导，且0)(,0)(00xfxf．(1)若0)(0xf，则)(xf在0x取得极大值；(2)若0)(0xf，则)(xf在0x取得极小值．例试问a为何值时，函数xxaxf3sin31sin)(在3x处取得极值？它是极大值还是极小值？求此极值．解xxaxf3coscos)(．由假设知0)3(f，从而有012a，即2a．又当2a时，xxxf3sin3sin2)(，且703)3(f，所以xxxf3sin31sin2)(在3x处取得极大值，且极大值3)3(f．例求函数593)(23xxxxf的极大值与极小值．解)(xf在]4,2[上连续，可导．令0)3)(1(3963)(2xxxxxf，得1x和3x，思考：)(xf在1x取得极大还是极小值？在3x取得极大还是极小值？'()66fxx-1代入二阶导数表达式为-12，)(xf在1x取得极大值3代入二阶导数表达式12，在3x取得极小值三、函数图像凹凸定理若)(xf在),(ba内二阶可导，则曲线)(xfy在),(ba内的图像是凹曲线的充要条件是0)(xf，),(bax．曲线)(xfy在),(ba内的图像是凸曲线的充要条件是0)(xf，),(bax。几何的直观解释：如果如果一个函数f(x)在某个区间I上有''()0fx恒成立，那么在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段，这两点之间的函数图象都在该线段的下方，反之在该线段的上方。8ooxxyy１.曲线的凸性对函数的单调性、极值、最大值与最小值进行了讨论，使我们知道了函数变化的大致情况．但这还不够，因为同属单增的两个可导函数的图形，虽然从左到右曲线都在上升，但它们的弯曲方向却可以不同．如图1—1中的曲线为向下凸，而图1—2中的曲线为向上凸．图1—1图1—21212()()()22fxfxxxf定义4.5.1设)(xfy在),(ba内可导，若曲线)(xfy位于其每点处切线的上方，则称它为在),(ba内下凸(或上凹)；若曲线)(xfy位于其每点处切线的下方，则称它在),(ba内上凸(或下凹)．相应地，也称函数)(xfy分别为),(ba内的下凸函数和上凸函数(通常把下凸函数称为凸函数)．从图1—1和图1—2明显看出，下凸曲线的斜率)(tanxf(其中为切线的倾角)随着x的增大而增大，即)(xf为单增函数；上凸曲线斜率)(xf随着x的增大而减小，也就是说，)(xf为单减函数．但)(xf的单调性可由二阶导数)(xf来判定，因此有下述定理．定理4.5.1若)(xf在),(ba内二阶可导，则曲线)(xfy在),(ba内下凸(凹函数)的充要条件是0)(xf),(bax．