【金版教程】2016文科数学第一轮高考总复习课件-第三章-八节-解三角形的应用

高考总复习数学（文科）第三章三角函数与解三角形第八节解三角形的应用考纲要求考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．考纲要求考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接课前自修考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接一、实际问题中的相关术语、名称课前自修1．方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角[如图（1）].2．方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏北60°等．3．仰角与俯角：指视线与水平线的夹角，视线在水平线上方的角叫仰角．视线在水平线下方的角叫俯角[如图(2)]．基础回顾考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接课前自修4．坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数[如图(3)，角θ为坡角]．坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比[如图(3)，i＝hl为坡比]．(3)考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接二、正、余弦定理可以解决的实际问题课前自修距离或宽度(有障碍物)、高度(底部或顶部不能到达)、角度(航海或航空定位)、面积等．考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接课前自修基础自测考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接1.已知A，B两地的距离为a，B，C两地的距离为3a，现测得∠ABC为锐角，且sin∠ABC＝223，则A，C两地的距离是（）A.2aB.3aC.22aD.23aC课前自修考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接解析：由∠ABC为锐角，sin∠ABC＝223得cos∠ABC＝13.余弦定理知AC2＝a2＋9a2－2a·3a·cos∠ABC＝10a2－6a2×13＝8a2，所以AC＝22a.故选C.课前自修2.如图所示，为测量一棵树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60m，则树的高度h为()A．(15＋33)mB．(30＋153)mC．(30＋303)mD．(15＋303)mC解析：由正弦定理可得60sin（45°－30°）＝PBsin30°，即PB＝60×12sin15°＝30sin15°，h＝PBsin45°＝30sin45°sin15°＝(30＋303)m．故选C.考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接课前自修考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接3.在地面上一点D测得一电视塔尖的仰角为45°，再向塔底方向前进100m，又测得塔尖的仰角为60°，则此电视塔高约为.解析：如图，∠D＝45°，∠ACB＝60°，DC＝100m，∠DAC＝15°，因为AC＝DC·sin45°sin15°，所以AB＝AC·sin60°＝100·sin45°·sin60°sin15°＝100×22×326－24＝50(3＋3)m.答案：50(3＋3)m课前自修考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接4.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为.3akm课前自修考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接解析：易知∠ACB＝120°，在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°＝2a2－2a2×－12＝3a2，∴AB＝3a(km)．考点探究考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点1高度问题考点探究【例1】如图，用同样高度的两个测角仪AB和CD同时望见气球E在它们的正西方向的上空，分别测得气球的仰角是α和β，已知B、D间的距离为a，测角仪的高度是b，求气球的高度．考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究思路点拨：在Rt△EGA中求解EG，只有角α一个条件，需要再有一边长被确定，而△EAC中有较多已知条件，故可在△EAC中考虑EA边长的求解，而在△EAC中有角β，∠EAC＝180°－α两角与BD＝a一边，故可以利用正弦定理求解EA.自主解答：点评：高度的测量借助于两个或者多个三角形进行，基本思想是把测量的高所在线段纳入到一个(或两个)可解三角形中．测量底部不可到达的物体的高度，通常在基线上选取两个观测点，在同一平面内至少测量三个数据(角边角)，解两个三角形，运用解方程思想解决问题．考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究解析：在△ACE中，AC＝BD＝a，∠ACE＝β，∠AEC＝α－β，根据正弦定理，得AE＝asinβsin（α－β），在Rt△AEG中，EG＝AEsinα＝asinαsinβsin（α－β），∴EF＝EG＋b＝asinasinβsin（α－β）＋b.故气球的高度是asinαsinβsin（α－β）＋b.考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究变式探究1.某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m)．如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h＝4m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β，该小组已经测得一组α、β的值，算出了tanα＝1.24，tanβ＝1.20，请据此算出H的值．考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究解析：由AB＝Htanα，BD＝htanβ，AD＝Htanβ及AB＋BD＝AD，得Htanα＋htanβ＝Htanβ，解得H＝htanαtanα－tanβ＝4×1.241.24－1.20＝124.因此，电视塔的高度H是124m.考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点2距离问题考点探究考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接【例2】如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，在河岸选取相距40米的C，D两点，测得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA＝60°，则A，B间距离为米.考点探究考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接点评：1.距离问题的类型及解法：（1）类型：测量距离问题分为三种类型：两点间不可达又不可视、两点间可视但不可达、两点都不可达.（2）解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正余弦定理求解.2.解三角形应用题的两种情形：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.考点探究考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接解析：观察AB所在的三角形，根据已知条件求出有关的边角再求解．(1)由已知得，∠BCD＝30°＋60°＝90°，又因为∠BDC＝45°，CD＝40米，所以BD＝402米，在△ADC中，∠ADC＝60°＋45°＝105°，所以∠CAD＝180°－105°－30°＝45°，由正弦定理，得AD＝CD·sin∠ACDsin∠CAD＝40×sin30°sin45°＝202.考点探究考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接在△ADB中，由余弦定理，得AB2＝AD2＋DB2－2AD·DBcos∠ADB＝(202)2＋(402)2－2×202×402cos60°＝2400，所以AB＝206(米)．答案：206考点探究变式探究2.某观测站C在城A的南偏西20°的方向上，由A城出发有一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得距C为31千米的公路上B处有一人正沿公路向A城走去，走了20千米后，到达D处，此时C、D间距离为21千米，问还需走多少千米到达A城？考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究解析：据题意得下图，其中BC＝31千米，BD＝20千米，CD＝21千米，∠CAB＝60°.设∠ACD＝α，∠CDB＝β.在△CDB中，由余弦定理得：cosβ＝CD2＋BD2－BC22·CD·BD＝212＋202－3122×21×20＝－17，sinβ＝1－cos2β＝437.sinα＝sin(180°－∠CAD－∠CDA)＝sin(180°－60°－180°＋β)＝sin(β－60°)＝sinβcos60°－cosβsin60°＝437×12＋17×32＝5314.在△ACD中得AD＝CDsinA·sinα＝21sin60°×5314＝2132×5314＝15.所以还得走15千米到达A城．考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点3角度问题考点探究【例3】(2013·江西临川模拟)如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sinα的值．考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究思路点拨：要求渔船甲的速度，关键是求出BC，而AB＝12，AC就是船乙2小时走的距离，因此AC＝20，故可用余弦定理求得BC，注意α＝∠ACB，因此可在△ABC中求sin∠ACB或cos∠ACB，从而获得sinα的值．解析：(1)依题意，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784.解得BC＝28.所以渔船甲的速度为BC2＝14(海里/时)．考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究(2)方法一在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得ABsinα＝BCsin120°.即sinα＝ABsin120°BC＝12×3228＝3314.方法二在△ABC中，因为AB＝12，AC＝20，BC＝28，∠BCA＝α，由余弦定理，得cosα＝AC2＋BC2－AB22AC×BC，即cosα＝202＋282－1222×20×28＝1314.因为α为锐角，所以sinα＝1－cos2α＝1－13142＝3314.考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究点评：(1)测量角度，首先应明确方位角、方向角等各类角的含义；(2)在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究变式探究3．在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处(3－1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距离A处2海里的C处的缉私船奉命以每小时103海里的速度追截走私船．此时，走私船正以每小时10海里的速度从B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向能最快追上走私船？考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究解析：设缉私船用t小时在D处追上走私船，则有CD＝103t，BD＝10t，在△ABC中，AB＝3－1，AC＝2，∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝(3－1)2＋22－2(3－1)×2cos120°＝6.∴BC＝6，且sin∠ABC＝ACBC·sin∠BAC＝26×32＝22.∴∠ABC＝45°.∴BC与正北方向垂直．∵∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝BD·sin∠CBDCD＝10tsin120°103t＝12，∴∠BCD＝30°，即缉私船沿东偏北30°方向能最快追上走私船．考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接感悟高考考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接感悟高考高考方向1.应用正、余弦定理及面积公式解三角形有可能会成为高考考查的热点.2.可能与角度、方向、距离及测量等有关的实际问题相结合命题.3.三种题型都有可能出现，属中低挡题.考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接感悟高考品味高考考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接1.（2014·四川卷）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（）A.240（3－1）mB.180（2－1）mC.120（3－1）mD.30（3＋1）mC感悟高考考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接解析：因为∠