专题20-空间直线、平面平行位置关系的证明方法

第20讲：空间直线、平面平行位置关系的证明方法【考纲要求】1、理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理。◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内。◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。理解以下性质定理，并能够证明。◆如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行。（记为线面平行，则线线平行）◆如果两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线都和另外一个平面平行。（记为面面平行，则线面平行）◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行。◆垂直于同一个平面的两条直线平行。3、能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。4、空间向量的应用①理解直线的方向向量与平面的法向量.②能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.【基础知识】一、空间直线、平面平行位置关系的判定和证明空间直线、平面平行位置关系的判定和证明一般有两种方法。方法一（几何法）：线线平行错误!未找到引用源。线面平行错误!未找到引用源。面面平行，它体现的主要是一个转化的思想。位置关系定义判定定理性质定理直线和平面平行直线和平面没有公共点。如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（记为：线线平行，则线面平行）如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行。（记为：线面平行，则线线平行）平面和平面平行如果两个平面没有公共点，则这两个平面互相平行[来源:学科网ZXXK]①如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行。（记为：线面平行，则面面平行）②如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行。[来源:学*科*网]①如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任何一条直线平行于另一个平面。（记为：面面平行，则线面平行）②如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。③平行于同一个平面的两个平面平行。④两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例。⑤夹在两个平行平面间的两条平行线段相等。方法二（向量法）：它体现的是数学的转化的思想和向量的工具性。其中向量错误!未找到引用源。是直线错误!未找到引用源。的方向向量，且错误!未找到引用源。向量错误!未找到引用源。是平面错误!未找到引用源。的法向量，且错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。例1如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点S是平面ABCD外一点，M是SC的中点，在DM上取一点G，过G和AS作平面交平面BDM于GH，求证：AS∥GH.证明：连结AC交BD于O，连结MO.因为四边形ABCD是平行四边形，所以O为AC的中点.又M为SC的中点，所以OM∥SA，所以SA∥平面BMD.又平面SAHG∩平面BMD=GH，所以AS∥GH.例2如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB,PC的中点.[来源:Z#xx#k.Com](Ⅰ)证明：EF∥平面PAD；(Ⅱ)求三棱锥E—ABC的体积V.解：(Ⅰ)在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC.又BC∥AD,∴EF∥AD,又∵AD平面PAD,EF平面PAD,∴EF∥平面PAD.(Ⅱ)连接AE,AC,EC,过E作EG∥PA交AB于点G,则BG⊥平面ABCD,且EG=12PA.在△PAB中，AD=AB,PAB°,BP=2,∴AP=AB=2,EG=22.∴S△ABC=12AB·BC=12×2×2=2,∴VE-ABC=13S△ABC·EG=13×2×22=13.【变式演练2】在长方体ABCD－A1B1C1D1中，DA＝DC＝2，DD1＝3，E是C1D1的中点，F是CE的中点．(1)求证：EA∥平面BDF；(2)求证：平面BDF⊥平面BCE；(3)求二面角D－EB－C的正切值．例3如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO解：当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥PA.∵P、O为DD1、DB的中点，∴D1B∥PO.又PO∩PA=P，D1B∩QB=BD1B∥平面PAO，QB∥平面PAO∴平面D1BQ∥平面PAO.1）BF∥HD12）EG∥平面BB1D1D3）平面BDF∥平面B1D1H.例4如图，平面PAC平面ABC，ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，,,EFO分别为PA，PB，AC的中点，16AC，10PAPC．（I）设G是OC的中点，证明：//FG平面BOE；（II）证明：在ABO内存在一点M，使FM平面BOE，并求点M到OA，OB的距离．证明：（I）如图，连结OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，.则0,0,0,(0,8,0),(8,0,0),(0,8,0),OABC(0,0,6),(0,4,3),PE4,0,3F，由题意得，0,4,0,G因(8,0,0),(0,4,3)OBOE，因此平面BOE的法向量为(0,3,4)n，(4,4,3FG得0nFG，又直线FG不在平面BOE内，因此有//FG平面BOE（II）设点M的坐标为00,,0xy，则00(4,,3)FMxy，因为FM平面BOE，所以有//FMn，因此有0094,4xy，即点M的坐标为94,,04，在平面直角坐标系xoy中，AOB的内部区域满足不等式组008xyxy，经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在ABO内存在一点M，使FM平面BOE，由点M的坐标得点M到OA，OB的距离为94,4．.[来源:学#科#网Z#X#X#K]xyz【变式演练4】如图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知A1B1＝B1C1＝l，∠AlBlC1＝90°，AAl＝4，BBl＝2，CCl＝3。（I）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；（II）求二面角B—AC—A1的大小；（Ⅲ）求此几何体的体积；【高考精选传真】1.【2012高考真题四川理6】下列命题正确的是（）A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行[来源:学科网]B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【解析】A.两直线可能平行，相交，异面故A不正确；B.两平面平行或相交；C.正确；D.这两个平面平行或相交.2、（2012高考真题辽宁理18）.如图，直三棱柱-'''ABCABC，=90BAC，=='ABACAA，点,MN分别为'AB和''BC的中点（1）证明：//''MNAACC平面；（2）若二面角'--AMNC为直二面角，求的值【解析】（1）连结','ABAC，由已知=90,=BACABAC三棱柱-'''ABCABC为直三棱柱，所以M为'AB中点.又因为N为''BC中点所以//'MNAC，又MN平面''AACC'AC平面''AACC，因此//''MNAACC平面……6分（2）以A为坐标原点，分别以直线,,'ABACAA为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系-Oxyz，如图所示设'=1,AA则==ABAC，A错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。因为'--AMNC为直二面角，所以2=0,-3+-1-1+=0mn即，解得=2……12分3．（2012年高考真题江苏理16）如图，在直三棱柱111ABCABC中，1111ABAC，DE，分别是棱1BCCC，上的点（点D不同于点C），且ADDEF，为11BC的中点．求证：（1）平面ADE平面11BCCB；（2）直线1//AF平面ADE．[来源:学科网ZXXK]（2）∵1111ABAC，F为11BC的中点，∴111AFBC。又∵1CC平面111ABC，且1AF平面111ABC，∴11CCAF。又∵111CCBC，平面11BCCB，1111CCBCC，∴1AF平面111ABC。由（1）知，AD平面11BCCB，∴1AF∥AD。又∵AD平面1,ADEAF平面ADE，∴直线1//AF平面ADE【反馈训练】1．关于线、面的四个命题中不．正确的是()[来源:]A．平行于同一平面的两个平面一定平行B．平行于同一直线的两条直线一定平行C．垂直于同一直线的两条直线一定平行D．垂直于同一平面的两条直线一定平行2．设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是()A．若a，b与α所成的角相等，则α∥bB．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC．若a⊂α，b⊂β，α∥b，则α∥βD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，是a⊥b3．设α、β是两个平面，l、m是两条直线，下列命题中，可以判断α∥β的是()A．l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥βB．l⊂α，m⊂β，且m∥αC．l∥α，m∥β且l∥mD．l⊥α，m⊥β，且l∥m4．a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合平面，现给出六个命题①a∥cb∥c⇒a∥b②a∥γb∥γ⇒a∥b③α∥cβ∥c⇒α∥β④α∥γβ∥γ⇒α∥β⑤α∥ca∥c⇒α∥a⑥a∥γα∥γ⇒α∥a其中正确的命题是()A．①②③B．①④⑤C．①④D．①③④5．已知m、n是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，下列命题中正确的是()A．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥nB．若m∥n，n⊂α，m⊄α，则m∥αC．若α⊥β，m⊥α，则m∥β[来源:Zxxk.Com]D．若m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β6．已知m、n为直线，α、β为平面，给出下列命题：①m⊥αm⊥n⇒n∥α②m⊥βn⊥β⇒m∥n③m⊥αm⊥β⇒α∥β④m⊂αn⊥βα∥β⇒m∥n其中正确的命题序号是（）A．③④B．②③C．①②D．①②③④8．棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C、M、D1作正方体的截面，则截面的面积是________．9．如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是一直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E为PC中点，则BE与平面PAD的位置关系为________．13．如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.14．在四棱锥P－ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E为PC中点，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC＝90°，AB＝AD＝PD＝1，CD＝2．(Ⅰ)求证：BE∥平面PAD；(Ⅱ)求证：BC⊥平面PBD；(Ⅲ)设Q为侧棱PC上一点，λ，试确定λ的值，使得二面角Q－BD－P为45°．【变式演练详细解析】【变式演练1详细解析】已知：错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，求证：错误!未找到引用源。证：过错误!未找到引用源。作面错误!未找到引用源。交面错误!未找到引用源。于错误!未找到引用源。∵错误!未找到引用源。∴错误!未找到引用源。同理，过错误!未找到引用源。作错误