概率论与数理统计总结讲解

第一章随机事件与概率第一节随机事件及其运算1、随机现象：在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象2、样本空间：随机现象的一切可能基本结果组成的集合，记为Ω={ω},其中ω表示基本结果，又称为样本点。3、随机事件：随机现象的某些样本点组成的集合常用大写字母A、B、C等表示，Ω表示必然事件，∅表示不可能事件。4、随机变量：用来表示随机现象结果的变量，常用大写字母X、Y、Z等表示。5、时间的表示有多种：（1）用集合表示，这是最基本形式（2）用准确的语言表示（3）用等号或不等号把随机变量于某些实属联结起来表示6、事件的关系（1）包含关系：如果属于A的样本点必属于事件B，即事件A发生必然导致事件B发生，则称A被包含于B，记为A⊂B;（2）相等关系：若A⊂B且B⊃A，则称事件A与事件B相等，记为A＝B。（3）互不相容：如果A∩B=∅，即A与B不能同时发生，则称A与B互不相容7、事件运算（1）事件A与B的并：事件A与事件B至少有一个发生，记为A∪B。（2）事件A与B的交：事件A与事件B同时发生，记为A∩B或AB。（3）事件A对B的差：事件A发生而事件B不发生,记为A－B。用交并补可以表示为BABA。（4）对立事件：事件A的对立事件（逆事件），即“A不发生”，记为A。对立事件的性质：BABA,。8、事件运算性质：设A，B，C为事件，则有（1）交换律：A∪B=B∪A，AB=BA（2）结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C=A∪B∪CA(BC)=(AB)C=ABC（3）分配律：A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)、A(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)=AB∪AC（4）棣莫弗公式（对偶法则）：BABABABA9、事件域：含有必然事件Ω，并关于对立运算和可列并运算都封闭的事件类ξ称为事件域，又称为σ代数。具体说，事件域ξ满足：（1）Ω∈ξ;(2)若A∈ξ，则对立事件A∈ξ；（3）若An∈ξ，n=1,2，···，则可列并1nnAξ。10、两个常用的事件域：（1）离散样本空间（有限集或可列集）内的一切子集组成的事件域；（2）连续样本空间（如R、R2等）内的一切博雷尔集（如区间或矩形）逐步扩展而成的事件域。第二节概率的定义及其确定方法1、概率的公理化定义：定义在事件域ξ上的一个实值函数P（A）满足：（1）非负性公理：若A∈ξ，则P(A)≥0；（2）正则性公理：P(Ω)＝1（3）可列可加性公理：若A,，A2，···，A3互不相容，则有11)(iiiiAPAP，即)()()()(2121nnAPAPAPAAAP，则称P（A）为时间A的概率，称三元素（Ω，ξ，P）为概率空间2、确定概率的频率方法：（是在大量重复试验中，用频率的稳定值去获得频率的一种方法）它的基本思想是：（1）与考察事件A有关的随机现象可大量重复进行；（2）在n次重复试验中，记n(A)为事件A出现的次数，称fn(A)=nn）（A，为事件A出现的频率；（3）频率的稳定值就是概率；（4）当重复次数n较大时，可用频率作为概率的估计值。3、确定概率的古典方法：它的基本思想是：（1）所涉及的随机现象只有有限个样本点，譬如为n个；（2）每个样本点发生的可能性相等（等可能性）；（3）若事件A含有k个样本点，则事件A的概率为P（A）基本事件总数所包含的基本事件数A=nk。4、确定概率的几何方法：它的基本思想是：（1）如果一个随机现象的样本空间充满某个区域，其度量（长度、面积、体积等）大小可用Sn表示；（2）任意一点落在度量相同的子区域内是等可能的；（3）若事件A为中某个子区域，且其度量为SA,则事件A的概率为P（A）=SSA.5、确定概率的主观方法：一个事件A的概率P（A）使人们根据经验，对该事件发生的可能性大小所做出的个人信念。6、概率是定义在事件域ξ上的集合函数，且满足三条公理。前三种确定概率的方法自动满足三条公理，而主观方法确定概率要加验证，若不满足三条公理就不能称为概率。第三节概率的性质：1、P(Φ)＝02、有限可加性：若有限个事件A,，A2，···，A3互不相容，则有11)(iiiiAPAP，3、对立事件的概率：对任一事件A，有)(1)(APAP4、减法公式（特定场合）：若AB,则P(A－B)＝P(A)－P(B)5、单调性：若AB，则P（A）P（B）6、减法公式（一般场合）：对任意两个事件A、B，有P(A－B)＝P(A)－P(AB)7、加法公式：对任意两个事件A、B，有P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)。对任意n个事件A1，A2，···，An，有niajiakjinnkjijiiAAAPAAAPAAPAPAP111211n1ii)()1()()()()(8、半可加性：对任意两个事件A、B，有)()(BPAPBAP）（.9、事件序列的极限：（1）对ξ中任一单调不减的事件序列n21FFF，称为可列并1nnF为极限{Fn}的极限事件，记为1nnnnlimFF。（2）对ξ中任一单调不增的事件序列n21EEE，称为可列交1nnE为极限{En}的极限事件，记为nnlimE1nnE。若)lim()(limnnnnEPEP,则称概率P是上连续的10、概率的连续性：若P为事件域ξ上的概率，则P既是上连续的，又是下连续的11、若P是ξ上满足P（Ω）=1的非负集合函数，则P是可列可加性的充要条件是P具有有限可加性和下连续性。第四节条件概率1、条件概率：设A、B是两个事件，若P(A)0，则称P(A|B)=)()(BPABP为事件B发生条件下，事件A发生的条件概率。条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。2、乘法公式：（1）若P(B)0,P(AB)=P(B)P(A|B)（2）若P(A1A2…An-1)0，则有21(AAP…)nA)|()|()(213121AAAPAAPAP……21|(AAAPn…)1nA。3、全概率公式：设事件nBBB,,,21互不相容，且n1iiB，如果),,2,1(0)(niBPi，则对任一事件A有)|()()(n1ijiBAPBPAP，i=1,2,···，n。)|()()|()()|()()(2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAP。4、贝叶斯共公式：设事件1B，2B，…，nB互不相容，且n1iiB，如果P（A）0，),,2,1(0)(niBPi,则n1jjjiii)|()()|()(|BAPBPBAPBPABP）（，i=1，2，…n。此公式即为贝叶斯公式。)(iBP，（1i，2，…，n），通常叫Bi的先验概率。)/(ABPi，（1i，2，…，n），通常称为Bi的后验概率。第五节独立性1、两个事件的独立性：如果满足)()()(BPAPABP，则称事件A、B是相互独立的，简称A与B独立。否则称A与B不独立或相依。若事件A、B相互独立，且0)(AP，则有)()()()()()()|(BPAPBPAPAPABPABP2、若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。必然事件和不可能事件Ø与任何事件都相互独立。Ø与任何事件都互斥。3、多个事件的独立性：设有n个事件A1，A2，···，An，如果对任意的1Ijk···n，以下等式均成立)()()()()()()()()()()()(jijijijijijinknkkkAPAPAPAPAAAAPAPAPAPAAAPAPAPAAP则称此n个事件A1，A2，···，An相互独立。4、若n个事件相互独立，则其任一部分与另一部分也相互独立。特别把其中部分换为对立事件后，所得诸事件亦相互独立。5、试验的独立性：假如实验E1的任一结果（事件）与试验E2的任一结果（事件）都是相互独立的事件，则称这两个试验相互独立。6、n重独立重复试验：假如一个试验重复进行n次，并各次试验间相互独立，则称其为n次独立重复试验。假如一个试验只可能有两个结果：A与A，则称其为伯努利试验。假如一个伯努利试验重复进行n次，并各次试验间相互独立，则称其为n重伯努利试验。第二章随机变量及其分布第一节随机变量及其分布1、随机变量：定义在样本空间Ω上的实值函数X=X(ω)称为随机变量。（1）离散随机变量：仅取有限个或可列个值的随机变量（2）连续随机变量:取值充满某个空间（a，b）的随机变量。这里a可为-∞，b可为+∞。2、分布函数：设X是一个随机变量，对任意实数x，称函数}{)(xXPxF为X的分布函数，记为X~F(x)。分布函数具有如下三条基本性质：（1）单调性：F（x）是单调非减函数，即对任意的x1x2,有F(x1)F(x2)；（2）右连续性：F（x）是x的右连续函数，即对任意的x0，有)x(xlim0xx0FF）（，即F(x0+0)=F(x0)；（3）有界性:对任意的x，有0≤F(x)≤1，且F(-∞)=)(lim-xxF=0，F(+∞)=）（xlimxF=1可以证明：具有上述三条性质的函数F（x）一定是某一个随机变量的分布函数。如果将X看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数F(x)的值就表示X落在区间],(x内的概率3、离散型随机变量的概率分布列:若离散型随机变量X的可能取值为xn(n=1,2,…)则称X取xi的概率为Pi=P(xi=)P(X=xi)，i=1,2,…，则称上式为离散型随机变量X的概率分布列，简称分布列。有时也用列表的形式给出：,,,,,,,,|)(2121kkkpppxxxxXPX。分布列具有两条基本性质：（1）非负性;，，）（2,1i0xpi，（2）正则性:1ii1xp）（。离散随机变量X的分布函数xxiixp)x(）（F，它是有限级或可列有限级阶梯函数。离散随机变量X取值于区间（a，b]上的概率为P(aX≤b)=F(a)-F(b).常数c可看作仅取一个值的随机变量X，即P(X=c)=1，它的分布常称为单点分布或退化分布。4、连续随机变量的概率密度函数:记连续随机变量X的分布函数是F(x)，若存在非负可积函数p（x），对任意实数x，有x-dttpx）（）（F，则称X为连续型随机变量。p（x）称为X的概率密度函数，简称密度函数。密度函数p（x）具有下面2个基本性质：（1）非负性:0xp）（;（2）正则性：-1)(pdxx。5、离散分布：分布在离散场合可以是分布列或分布函数；连续分布：分布在连续场合可以是密度函数或分布函数。存在既非离散又非连续的分布。6、设随机变量X的分布函数F(x)，则可用F(x)表示下列概率：（1）P(X≤a)=F(a)；（2）P(Xa)=F(a-0)；（3）P(Xa)=1-P(X≤a)=1-F(a)；(4)P(X=a)=P(X≤a)-P(Xa)=F(a)-F(a-0);(5)P(X≥a)=1-P(Xa)=1-F(a-0);(6)P(|X|a)=P(-aXa)=P(Xa)-P(X≤-a)=F(a-0)-F(-a).第二节随机变量的数学期望1、数学期望：设随机变量X的分布列p（xi）或用密度函数p（x）表示，若-iiidxxxpxp|x|为连续随机变量，当）（为离散随机变量，当）（XX，则称E(X)=-iiidxxxpxpx为连续随机变量，当）（为离散随机变量，当）（XX为X的数学期望，简称期望或均值，且称X的数学期望存在。否则数学期望不存在。数学期望是有分布决定的，它是分布的位置特征。如果两个随机变量同分布，则其数学期望（存在的话）是相等的。期望相当于重心。2、数学期望的性质：假设数学期望存在，（1）X的某一函数g（X）的数学期望为-iiidxxpxgxpxg]g[，