永冻土层热传导问题数学建模

1摘要本文针对永冻土层上关于路基热传导的问题，通过对不同材料层的密度、比热容、传热系数进行研究，建立微分方程模型，利用Matlab与Lingo软件进行求解。问题一，考虑在分析各材料层进行后，给出空气温度传入路基规律，以及各材料层的温度分布。同时，已知外界的温度是关于时间的函数，冻土层的温度是不变的零下温度。首先，我们通过中国选矿技术网以及中国天气网分别获得各材料层的密度、比热容、传热系数等数据，和拉萨最近24小时的温度数据。通过拟合得到温度与时间的关系函数，建立一维热传导方程的微分方程模型。随后利用向前差分的方法求出方程的近似数值解，因为界面处的热传导率处于平衡，且温度相等，则可以一层一层向下计算得出各材料层的温度分布规律。问题二，考虑在一些设备的支架不能固定在解冻土层上，必须固定在永冻土层中的情况下，地下土层的解冻位置，并给出解冻砂土与冻结砂土的分界线。由问题一的求解可以计算出4L的值，在已知上界x值与下界的0C温度值后，同问题一的求解方法可以给出解冻砂土与冻结砂土的分界线。问题三，考虑结合温度分布、成本及耐用性，给出各层材料的最佳厚度。结合铁路建设施工保障，我们将耐用性作为出发点，分别从压强及压实度考虑耐用性的约束条件。由于压实度与含水量存在联系，而含水量与温度存在关系，故建立起压实度与温度的相关关系。将成本作为目标函数，压实度与压强的限制作为约束条件，建立线性规划模型，由此解出最少成本为46334.72元。问题四，考虑在以上问题的基础上，结合我国青藏铁路永冻土层地基进行仿真，并为施工单位提出合理建议。因为本题的前三问即是在查阅青藏铁路路基修建相关数据的基础上进行的，故问题四的仿真即已经得到相应的解决。通过对以上问题的求解进行合理性分析，即可对施工单位给出合理建议。为了简化计算量，提高求解速度，本题中的微分方程模型使用向前差分的方法求出近似数值解，而且对模型的可行性及有效性进行了一定的分析，所得结果十分合理。本文的优点在于利用差分方法求解一维热传导微分方程模型的近似数值解，使得材料内界面的条件处理得较为容易。同时，在前三个问题的求解中，将问题背景设定在青藏铁路的修建中，在一定程度上对问题四的求解提供了较大的帮助。关键词：热传导问题抛物型方程数值模拟21问题重述在永冻土地上铺设道路、飞机跑道和某些结构的地基。分析这类地基的结构，有沥青层、混凝土层、干砂层、石子层、绝缘材料层，再下面是湿的沙土层和冻土层（参见图1）。已知，外界的温度是关于时间的函数，冻土层的温度是不变的零下温度。请回答以下问题：外界温度α（t）K1K2K3K4K5永冻土层温度T0图1：永冻土地地基结构图（1）分析空气温度传入路基规律，各材料层的温度分布；（2）由于一些设备的支架不能固定在解冻土层上，必须固定在永冻土层中，因此确定地下土层的解冻位置非常重要，请给出解冻砂土与冻结砂土的分界线；（3）请给出各层材料的最佳厚度（结合温度分布、成本和耐用性）；（4）请结合我国青藏铁路永冻土层地基进行仿真，并给施工单位给出合理建议。2问题分析本问题要求建立模型和设计算法，在永冻土地上铺设道路、飞机跑道和某些结构的地基的问题背景中，结合温度分布、成本和耐用性，给出各层材料的最佳厚度，并对我国青藏铁路永冻土层地基进行仿真。由于问题的局限性，我们首先应该找到合理的数据来对相关背景进行一定的了解，定位模型的求解方法，循序渐进地对此问题进行合理的求解。问题一中，要求在题中所给的情况下，分析空气温度传入路基规律，以及各材料层的温度分布。经过分析，我们发现建立模型所需的数据不足，故应首先搜集题目中各材料热传导相关的密度、导热系数、比热容以及环境温度等数据。问题二中，要求确定地下土层的解冻位置，给出解冻砂土与冻结砂土的分界线，以应对由于一些设备的支架不能固定在解冻土层上，必须固定在永冻土层中的情况。由问题一建立的模型，本问题即是求出温度为0C时所对应的距离。问题三中，要求结合温度分布、成本和耐用性，给出各层材料的最佳厚度。在分析问题一、二后，则是对各目标进行权重约束，以求得最佳的厚度。问题四中，要求结合我国青藏铁路永冻土层地基进行仿真，并给施工单位给出合理建议。L0L1L2L3L4L5χ沥青层混凝土层干砂石层防水隔温层半冻砂土层33模型假设1、假设环境温度不会发生突变，没有极端天气出现；2、假设路基材料分布均匀；3、假设考虑压实度时，可以将半冻砂土层以上的四层材料合并为一层；4、假设对于各层只考虑重力所产生的压强。4符号说明a()t外界的温度关于时间的函数0T冻土层的温度(1,2,,5)iki每个材料层的热传导率ic每个材料层的比热i每个材料层的密度iu要求解的第i个材料层的温度分布x地下某一点距地面的距离t时刻值li每层材料的厚度其他局部符号在引用时给出了具体说明。5模型的建立与求解5.1模型一的建立与求解问题一中要求分析空气温度传入路基规律，以及各材料层的温度分布。我们知道，一切稳定的数学物理问题都可以用椭圆型微分方程模型来描述，若在稳态之前有一个过程，则讨论这种渐进稳定的数学物理过程可以用抛物型为方程模型来描述[1]。5.1.1模型一的建立分析题目可知，地基的结构有沥青层，混凝土层，干砂石层，防水隔温层，半冻砂土层，外界的温度是关于时间的函数a()t，冻土层的温度是不变的零下温度0T，每个材料层都有热传导率(1,2,,5)iki，问题一则要分析空气温度传入4路基的规律，以及各材料层的温度分布[2]。首先，由于路基各材料层是均匀的，所以要分析的热传导方程可归为一维的热传导方程研究。路基各材料层则化为一维热传导方程为22iiiiiiukutcx（1）其中，iu是要求解的第i个材料层的温度分布；ik，ic，i为此材料层的传热系数，比热和密度，它们都是已知的常数，且0iiikc。由模型假设可知，层与层的界面处传导率处于平衡，且温度相等，即111,,,(1,2,3,4)iiiiiiiuukkuuxLixx（2）基于以上分析，在半冻砂土层假设为湿砂层（5k是其传热系数）的情况下，所建立的路基热传导微分方程模型为221110550),,,(1,2,3,4(0,)()(,)iiiiiiiiiiiiukutcxuukkuuxLixxutatuLtT（3）5.1.2模型一的求解由以上所建立的抛物型微分方程模型进行分析，对问题一的求解我们给出了如下的具体步骤：（1）依据题意，我们在中国选矿技术网中找到沥青层，混凝土层，干砂石层，防水隔温层和半冻砂土层的密度，比热容和热导系数等值，部分难以确定的材料选取了最接近的材料进行替代，所找到的数据材料如下表。表1各层材料相关参数表各材料层干密度i3(/)Kgm热导系数2(/)wmk比热容C/KJKgK价格p/t元沥青层（石油沥青）14000.271.682800混凝土层（c30混凝土）23001.510.92770.5干砂石16000.581.01705防水隔温层（乳化沥青膨胀珍珠岩）4000.121.551000砂土层（湿砂土）23501.421.07500以上则为各材料层的密度、热导系数、比热容和价格（价格因素在问题三中需要考虑，故在这里一起给出）的数据。此外，由于温度的传导涉及到冻土地带的环境温度，故我们结合青藏铁路的修建，选取拉萨最近24小时内的温度[3]。考虑到中国天气网只可以给出最近24小时的较精确温度，故我们问题的季节背景选择在夏秋之交[4]。表2拉萨24小时各时刻温度表时刻000102030405060708091011温度121212131313131313121313时刻121314151617181920212223温度151718192122222120161312以上则为拉萨最近24小时各时刻的温度表。（2）通过查阅铁路建设国家规范，我们将沥青层的厚度设定为4cm，混凝土层设定为10cm，干砂石层设定为7cm，防水隔温层设定为10cm[5]。（3）通过拟合数据得到外界温度关于时间的关系式，根据问题一中建立的第一种边界的一维抛物型方程，考虑到解析解不易求得，故在这里我们利用差分的方法求出其近似的数值解[6]。差分求解抛物型偏微分方程的过程则是首先对xt平面进行网格剖分，分别取h，为x方向和t方向的步长，用两族平行直线(1,2,)kxxkhk，(0,1,2,)jttjj，将xt平面剖分成矩形网格，节点为(,)kjxt，为简单起见，记(,)(,)kjkjxt，(,)(,)kjukjuxt，则在网格内点(,)kj处，对ut采取向前差商公式，对22ux采用二阶中心差商公式，可得到一维热传导方程的差分近似：2(,1)(,)(1)2()(1)0iiikukjukjukukukch（4）（4）求出第一层底部的温度后，令k1，依据公式（2）即可求得下一层底部的温度，以下每一层材料温度的求解依次循环以上步骤。5.1.3模型一的结果及分析针对5.1.2中的求解步骤，运用Matlab编程求解。针对附录一（1）中的程序文件，运行可得到如下结果。外界环境温度随时间的变化函数为：a(t)=15.11+2.216cos(1.757t)+3.687sin(1.757t)-1.895cos(3.514t)+1.728sin(3.514t)（5）外界温度随时间变化的函数如下图：6图1外界温度随时间变化的函数第一层求解所得的温度随距离或时间变化的图像分别为：图2第一层温度随距离分布图图3第一层温度随时间分布图其他层温度随时间，随距离的变化图像见附录一（2）。由上可知，当固定另7一因素时，温度随着与路基表面距离的增加越来越小，其随时间的变化则呈现先增加后减少的趋势。5.2模型二的建立与求解根据题意，问题二中要求确定地下土层的解冻位置，给出解冻砂土与冻结砂土的分界线，以应对由于一些设备的支架不能固定在解冻土层上，必须固定在永冻土层中的情况。由问题一建立的模型，本问题即是求出0C时所对应的距离。5.2.1问题二模型的建立根据问题一中所建立的模型，即可得出第五层温度随着距离变化的图像关系。由图分析，即可给出0C时所对应的距离[7]。5.2.2问题二模型的求解问题二中建立的模型用来确定第五层的解冻位置，即在已知上界的x值与下界温度后，给出解冻砂土与冻结砂土的分界线。由函数图象分析，即可给出0C时所对应的距离。5.2.3问题二模型的结果分析针对5.2.2中的求解步骤，依据问题一中所得的第四层温度随距离的图像分析进行求解。所得图像如下图：图4第五层温度随距离变化图像解得解冻砂土与冻结砂土之间的分界线为路面下120cm-140cm。结合国家公路施工技术规范，分析数据可知所得结果比较合理，故可作为问题而的求解答案。5.2.4模型二的误差分析因为差分法是对数值解得近似，所以对最后结果的误差分析十分重要。依据附录二中的程序文件，得出如下的误差分析图像：8图5数值解与精确解比较图像由上可知，数值解与精确解的最大相对误差非常小，为0.42877%，且数值解的求解结果是稳定收敛的，故该结果可以作为本问题的求解。5.3模型三的建立与求解由题目可知，问题三需要在问题一、二的求解启发中，结合温度分布、成本和耐用性，给出各层材料的最佳厚度。在分析问题一、二后，则是对各目标进行权重约束，以求得最佳的厚度。5.3.1问题三模型的建立由于题目中所给相关数据较少，由此我们思考对最佳厚度设置约束条件。对于耐用性，我们从压实度和压强两方面进行考虑。首先将上面四层材料合为一层以简化计算，查阅文献可知：=100%=1+实际密度压实度试验干密度试验干密度实际密度（含水率）而实际干密度则与温度、水分等条件相关，则在此时将温度分布考虑进模型的建立。由此，需要拟合温度与水分的关系[8]。而对于压强，我们假设这里路基的承重来源只有上部材料的重力，则可得出如下推导公式：PFmgVgSlglgSSSS（6）对上述公式中