二重积分及其简单应用一

二重积分及其简单应用【二重积分的概念】1.曲顶柱体0xyz(,)zfxyD非负且连续函数.设是定义在有界闭区域上D),(yxfz我们称以曲面为顶,),(yxfz面上xoy的区域为底,D以平行于轴z且沿着底面区域的边界D曲线的直线围成的立体称为曲顶柱体.二重积分及其简单应用2.曲顶柱体的体积),(yxfzD特点：平顶.曲顶柱体体积=？特点：曲顶.底面积高柱体体积=二重积分及其简单应用求曲顶柱体的体积的步骤：n,,,21i的面积为①分割:xzyo),(yxfz将区域任意D分割成个小n区域：第块小区域ii二重积分及其简单应用iii),(②求近似代替:任取一点xzyo),(yxfzi),(iiiViiif),(③求和:iiniif),(1niiVV1二重积分及其简单应用iiniifV),(lim10④取极限:令的直径ini{max1},则3.二重积分的概念设是定义在有界闭区域上的),(yxfD有界函数.将任意分成个小区域Dn,,,,21n区域的面积.其中表示第块小ii在每个小区域上任取i一点,),(iiiD作乘积,),(iiif并作和,),(1iiinif}.{max1的直径iniD令当时,0和式的极限存在.niiiif1),(且其值与D的分法和点的选法无关,),(ii并称此极限值为在D上的二重积分.),(yxf记作即,),(Ddyxf二重积分及其简单应用niiiiDfdyxf10),(lim),(其中“”称为二重积分符号,D称为积分区域,二重积分及其简单应用称为被积函数,),(yxf面积元素,d称为niiiif1),(称为积分和.和式yx,称为积分变量.二重积分及其简单应用说明:1、定义中对区域D的划分是任意的.2、若在闭区域D上连续,则函数),(yxf在该区域上可积.3、在直角坐标系中,Dxyo一般用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，则面积元素为dxdyd二重积分及其简单应用故二重积分可表示为DDdxdyyxfdyxf),(),(4.二重积分的几何意义①当被积函数大的体积．二重积分是柱体xzyoD),(yxfzi),(ii于零时.二重积分及其简单应用②当被积函数小于零时.xzyo),(yxfzDi),(ii的体积的负值．二重积分是柱体③当被积函数有正有负时.二重积分的值就等于各个部分区域上曲顶柱体体积的代数和.不等式确定的闭区域，设,其中是由练习DdyxI32212122yx0I0I0I0I则必有（）B．C．D．A．D二重积分及其简单应用C二重积分及其简单应用【二重积分的性质】性质2被积函数中的常数因子可以提到积分号外面,即DDdyxfkdyxkf),(),((k为常数)性质1有限个函数代数和的二重积分等于各个函数二重积分的代数和,二重积分及其简单应用即DDDdyxgyxfdyxgyxf)],(),()],(),([性质3若积分区域被一曲线分成两个D部分区域和则在上的二重积1D,2DD分等于在和上二重积分的和.1D2D即21),(),(),(DDDdyxfdyxfdyxf二重积分及其简单应用性质4若在区域上,且的面D,1),(yxfD积为则,Ddyxf),(性质5若在区域上,恒有D),,(),(yxgyxf则DDdyxgdyxf),(),(二重积分及其简单应用的大小.其中是三角形闭区域,三比较积分与例1DDdyx)ln(Ddyx2)][ln(个顶点分别为)0,2(),1,1(),0,1(解oxy121D如图所示2yx三角形斜边方程在内有Dyx12)ln(yx01)0(21012xy2yx1yx二重积分及其简单应用1)ln(0yx)ln(yx2)][ln(yxDDdyxdyx2)][ln()ln(由性质得练习设D是第一象限内的一个有界闭区域，且若,10y,,221DDxdyIyxdIDxdyI213则的大小顺序为（）321,,III321III312III213III123IIIB．C．D．A．B二重积分及其简单应用性质6设分别是函数在上的mM,D),(yxfz为的面积,则D最大值和最小值,MdyxfmD),(例2不作计算，估计的值.deIDyx)(22其中为圆域122yxD解：如图所示，积分域的边界D211022yx22yxe,e1deeDyx)(22deIDyx)(22为圆周区域的面积为DyxoD1在上有D11122yxee即二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用性质7若函数在有界闭区域上连续，),(yxfD为的面积，则在内至少存在一DD),(),(fdyxfD点使得),,(【二重积分的计算】二重积分及其简单应用类型1积分区域是边平行于坐标轴的矩形域D设二元函数是定义于:D),(yxf,bxadyc上的连续函数,则二重积分Ddyxf),(dcdyyxf),(badx][badxyxf),(dcdy][一、利用直角坐标计算二重积分注1、二重积分的计算就是分别对变量和作两次定积分的计算.xy2、化二重积分为二次积分的关键是:选择积分次序和确定积分上、下限即积分区域D是一矩形时,其积分次序可交换二重积分及其简单应用211xxydydxxyxdx1221]2[二重积分及其简单应用3、几种写法的比较dxyD⑴、已知:10x(221y)1xdx10xdxxx)(211031024)2141(21xxdxxydyx101)(81dxx)2121(2dxyD211xxydydxxyxdx1221]2[比较dyxyy22122212yxdxydy212yxydxdy])2[(2212yxydy二重积分及其简单应用dxyD⑵、已知:dyxydxy212)(dxyD比较dyxyy2122])2[(dxyD二重积分及其简单应用dxdyyxD)341(例3计算其中为矩形：D11,22yx解法一：dxdyyxD)341(——先对再对的累yx次积分.11)341(dyyx22[dx]——对积分时要固定yx为常数.y22[(yx4dxy])61112dxx)22(22222)412(xx8二重积分及其简单应用解法二：dxdyyxD)341(22)341(dxyx11[dy]——先对再对的累xy次积分.——对积分时要固定xy为常数.x11[(281xdyxy])322dyy)344(11112)384(yy8二重积分及其简单应用说明:1、若函数可积，dycbxaD,:且，则12(,)()()fxyfxfyDdyxf,10)(xdx4121211010xydxdy如badxxf])([1]])([2dcdyyf)(10ydy10221x10221y二重积分及其简单应用2、有的题用两种方法均可,且难移程度相同,但有的题只能对一种可行,另一种则不行或难移程度不同.例4计算积分其中D是正方形,ddyexyDyx区域：10,20yx解:Dyxddyexy20xydyex10dy1020xy)d(ey102y1)d-(ey102)2(yey23212e二重积分及其简单应用9803、计算其中D是练习1、计算积分其中D是正方形区域：20,10yx,22dxdyyxD,)cos(2dxdyyxxyD}20,20),{(yxyx2、计算其中D是矩形：11,22yxdxdyyxD)1(22364二重积分及其简单应用解:dxdyyxD221、)()(102022dyydxx1033x2033y383198dxdxyx、D)1(222dxdyyx])1([222211dxyyyx])31[(223112dxx)3284(112364二重积分及其简单应用dxdyyxxyD)cos(32、dyyxxydx)cos(22020dxxy])sin21[(20220dxx)4sin21(20204cos81x0)(cos2220xydyx2120dx二重积分及其简单应用注:㈠、利用直系计算二重积分的步骤：（1）画出积分区域的图形,求出边界（3）确定积分限，化为二次定积分（2）根据积分域类型,确定积分次序（4）计算两次定积分，即可得出结果曲线交点坐标二重积分及其简单应用ba[㈡、积分限确定法:域中一线插,域边两线夹，内限定上下，外限依靠它.xxyoba1()yx2()yxdxdyyxfD),(dyyxf),()(1x)(2xdx]yxocd二重积分及其简单应用此时D称为Y—型区域.若积分区域D用来表示.dycyxy)()(21)(2yx)(1yxDcdcd)(2yx)(1yxD类型2二重积分及其简单应用Y型区域的特点：区域边界相交不多于两个交点.计算公式：Ddxdyyxf,穿过区域且平行于轴的直线与x)(2)(1),(yydxyxfdc[dy]dcyydxyxfdy)()(21),(二重积分及其简单应用例5围成的第一象限的区域0,2yxy计算积分其中D由和2xy,Dxydxdy解:解方程组22xyxy如图所示xy0y=x+2y=x2112解得交点)1,1(Dxydxdyxydxyy210dy)1,1(二重积分及其简单应用yyxydxdy21010102])2[(21dyyyy2451023)34(21dyyyy10234)233441(21yyyy[(dyxyy])2122二重积分及其简单应用练习1、计算积分其中D由围成的区域.2,2xyyx,ydxD围成的区域.xyxy,2,12、计算积分其中D由,ydxD84589二重积分及其简单应用xyo2421)1,1()2,4(D解:1、如图解方程组22xyyxDxyd解得交点)2,4(),1,1(21dyxydx2y2ydyxyyy22122)2(dyyyy])2[(214212845216234)6123441(21yyyy二重积分及其简单应用2、如图xy211xyo2解方程组2,1xxyyxy解得交点)2,2(),1,1(Dxyd221yxydxdydyxyy2212)2(dyyy)4(212212142)412(21yy89二重积分及其简单应用若积分区域D用来表示.byaxxx)()(21类型3此时D称为X—型区域.)(2xyabD)(1xyDba)(2xy)(1xy二重积分及其简单应用X型区域的特点：计算公式：Ddxdyyxf,穿过区域且平行于轴的直线与y)(2)(1),(xxdyyxfba[dx]baxxdyyxfdx)()(