第2章-守恒定律

1第二章守恒定律§2.1动量与冲量质点的动量定理（牛顿第二定律积分形式一：动量定理）微分形式的牛顿第二定律是关于力与加速度的瞬时关系，对于中间的每个过程必须考虑。某些情况下，并不需要考虑中间过程，可以由几个状态求解问题。这时候，采用积分形式的牛顿第二定律更有效。这就是动量定理与动能定理。1.动量定理（单个质点）重写牛顿第二定律的微分形式2121ddpppFttt考虑一过程，时间从t1-t2，两端积分pFddt12pp航天飞机动量定理左侧积分表示力对时间的累积量，叫做冲量。21dtttFI于是得到积分形式12ppI这就是动量定理：物体在运动过程中所受到的合外力的冲量，等于该物体动量的增量。动量定理的几点说明：(1)冲量的方向：冲量的方向一般不是某一瞬时力的方向，而是所有元冲量的合矢量的方向。IiFtFd21dtttF(2)在直角坐标系中将矢量方程改为标量方程xxttxxmvmvtFI1221dyyttyymvmvtFI1221dzzttzzmvmvtFI1221d(3)动量定理在打击或碰撞问题中用来求平均力。t2t1tFF动量定理打击或碰撞，力的方向保持不变，曲线与t轴所包围的面积就是t1到t2这段时间内力的冲量的大小，根据改变动量的等效性，得到平均力。FF(4)对于多个质点组成的质点系，不考虑内力。(5)动量定理是牛顿第二定律的积分形式，因此其使用范围是惯性系。(6)动量定理在处理变质量问题时很方便。动量定理ifififnjjjttppttttFF1)(平均冲力例：一篮球质量0.58kg，从2.0m高度下落，到达地面后，以同样速率反弹，接触时间仅0.019s，求：对地平均冲力？解：篮球到达地面的速率3628922..ghv（m/s）2108301903658022....tmvFF或（N）1.内力和外力§2.2质点系的动量定理1m2m12F1F21F2F内力外力1011112121)(vmvmdtFFtt2022221221)(vmvmdtFFtt)()()()()()()(2021012211212022210111212121212121vmvmvmvmdtFFvmvmvmvmdtFFdtFFtttttt2.质心系的动量定理对于两个质点：两式相加：12202101221121)()()(21PPvmvmvmvmdtFFttiiimvPcvm=常矢量如果系统所受的外力之和为零（即），则系统的总动量保持不变。这个结论叫做动量守恒定律。0iF条件0iF定律§2.3动量守恒定律直角坐标系下的分量形式nxnxxvmvmvm2211=常量nynyyvmvmvm2211=常量nznzzvmvmvm2211=常量火箭飞行前苏联东方1号火箭长征三号运载火箭火箭发射设在某一瞬时，火箭的质量为，速度为，在其后到时间内，火箭喷出了质量为的气体，是质量在时间内的增量，喷出的气体相对于火箭的速度为，使火箭的速度增加了。tmvtttdmdmdmtduvd喷气前总动量为：vm喷气后火箭的动量为：)d)(d(vvmm所喷出燃气的动量为：))(d(uvmvvvdMt时刻t+dt时刻M-dmdmu由于火箭不受外力的作用，系统的总动量保持不变。根据动量受恒定律))(d()d)(d(uvmvvmmmv设燃气相对于火箭的喷气速度是一常量mmuvdd化简2121ddmmvvmmuv2112lnmmuvvMMummuvMM0lnd0设火箭开始飞行的速度为零，质量为，燃料烧尽时，火箭剩下的质量为，此时火箭能达到的速度是0MM火箭的质量比多级火箭iininNuvln1iu第i级火箭喷气速率iN第i级火箭质量比例题如图所示,设炮车以仰角发射一炮弹，炮车和炮弹的质量分别为M和m，炮弹的出口速度为v，求炮车的反冲速度V。炮车与地面间的摩擦力不计。解把炮车和炮弹看成一个系统。发炮前系统在竖直方向上的外力有重力和地面支持力，而且，在发射过程中并不成立（想一想为什么？），系统所受的外力矢量和不为零，所以这一系统的总动量不守恒。NGNGNGvmMVvu它的水平分量为Vvuxcos于是，炮弹在水平方向的动量为m(vcos-V)，而炮车在水平方向的动量为-MV。根据动量守恒定理有经分析，对地面参考系而言，炮弹相对地面的速度，按速度变换定理为ucosvMmmV由此得炮车的反冲速度为0cosVvmMV解物体的动量原等于零，炸裂时爆炸力是物体内力，它远大于重力，故在爆炸中，可认为动量守恒。由此可知，物体分裂成三块后，这三块碎片的动量之和仍等于零，即例题一个静止物体炸成三块，其中两块质量相等，且以相同速度30m/s沿相互垂直的方向飞开，第三块的质量恰好等于这两块质量的总和。试求第三块的速度（大小和方向）。所以，这三个动量必处于同一平面内，且第三块的动量必和第一、第二块的合动量大小相等方向相反，如图所示。因为v1和v2相互垂直所以0332211vmvmvmm3v3m2v2m1v1222211233)()()(vmvmvmsmvvv/2.21303021212222213由于和所成角由下式决定：1v3v0180,45,1012vvtg因所以0135即和及都成且三者都在同一平面内01353v1v2v由于,所以的大小为3vmmmmm2,3211.角动量rpmo质点对圆心的角动量mvrprL§2.4质点的角动量定理和角动量守恒定律O行星在公转轨道上的角动量pprrddpdLsinprr定义：质点对点的角动量为（翘翘板？）OrL)(vmrPrL角动量大小（面积）sinrmvLLvLvm角动量方向（1）质点对点的角动量，不但与质点运动有关，且与参考点位置有关。讨论（2）方向的确定LLvrLvrrOmrvL（3）做圆周运动时，由于，质点对圆心的角动量大小为vrrmvLLL质点对圆心O的角动量为恒量v2.角动量守恒定律F1v2v2r1rom1122rvrv1122rmvrmv表明小球对圆心的角动量保持不变实验中发现行星绕太阳的运动常量pd常矢量pr表明行星在运动过程中，对太阳的角动量保持不变。OpprrddPrL对t求导)(ddddPrttLtprPtrdddd0)(dd,ddvmvptrvtrFrtprtLdddd质点的角动量定理：如果作用在质点上的外力对某给定点的力矩为零，则质点对点的角动量在运动过程中保持不变。这就叫做角动量守恒定律。)(Froo角动量守恒定律1.功的概念功是表示力对空间累积效应的物理量。物体在力的作用下发生一无限小的位移(元位移)时,此力对它做的功定义为:力在力的位移上的投影和此元位移大小的乘积。Frdrd)cos(dFA其中为力与位移的夹角。可以把上式写成两个矢量的标积rFddA功是标量，没有方向，但有正负。§2.5功动能定理当0/2时，dA0，力对物体做正功。当=/2时，dA=0，力对物体不做功。当/2时，dA0，力对物体做负功。功率：力在单位时间内做的功，用P表示tAPddtddrFvF功率是反映力做功快慢的物理量。功率越大，做同样的功花费的时间就越少。在国际单位制中，功的单位是Nm，叫做焦(J)，功率的单位是J/s，叫做W(瓦)。动能定理2.能量能量是反映各种运动形式共性的物理量，各种运动形式的相互转化用能量来量度。各种运动形式的相互转化遵循能量的转换和守恒定律。到十九世纪，能量概念才逐步由力的概念中分离出来。实际上，只有在能量的转换和守恒定律发现以后，人们才认识功、动能和势能的真实含义。二十世纪初，爱因斯坦建立了狭义相对论，得到了“质能关系”，进一步揭示能量和质量的相当性，对于能量的认识才更深入了一步。与机械运动直接相关的能量是机械能。动能定理3.牛顿第二定律的又一积分形式(1)变力的功ba物体在变力的作用下从a运动到b。怎样计算这个力的功呢？采用微元分割法动能定理iirFiAΔiirFiiiabAAΔ第i段近似功：总功近似：第2段近似功：第1段近似功：222rFA111rFA1F2F3FiF4Fba3rΔ1rΔ2rΔirΔ4rΔ动能定理当时,可用表示,称为元位移;用表示,称为元功。0irrdiAAd微分形式：rFAddrrFFi0ridlimbaiabA积分形式：rFdbaabA总功精确值：在数学形式上，力的功等于力沿路径L从a到b的线积分。F动能定理例：光滑的水平桌面上有一环带，环带与小物体的摩擦系数m，在外力作用下小物体（质量m）以速率v做匀速圆周运动，求转一周摩擦力做的功。r解：小物体对环带压力走一段小位移s所做的功2vWmsrm转一周222iiivWWmsmvrmm2vfmr(2)质点动能定理根据功的积分形式baabArFdbaτsmad222121abmvmv221mvEk定义质点的动能为：stvmbadddbaτsFdbavvvmvd动能定理kkakbabEEEA质点动能定理:合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。a.合力做正功时，质点动能增大；反之，质点动能减小。d.功是一个过程量，而动能是一个状态量，它们之间仅仅是一个等量关系。b.动能的量值与参考系有关。c.动能定理只适用于惯性系。几点注意：动能定理多个质点组成的质点系，既要考虑外力，又要考虑质点间的相互作用力（内力）。1F2F12f21fm1m2二质点组成的系统多个质点组成的系统两个质点在外力及内力作用下如图所示：推广(3)质点系动能定理动能定理对m1运用质点动能定理：1F2F12f21fm1m2对m2运用质点动能定理：动能定理111111121221111Fdrfdr1122bbaabamvmv222222212222222Fdrfdr1122bbaabamvmv作为系统考虑时，得到：动能定理质点系动能定理：所有外力与所有内力对质点系做功之和等于质点系总动能的增量。动能定理kkakbEEEAA内外121112111122121212222211221122FdrFdrfdrfdr1111()()2222bbbbaaaabbaamvmvmvmv※迄今，最不可思议的动能是，宇宙射线中有些质子的动能达到1019eV，是其静止能量的1010倍。例：炸弹爆炸，过程内力和为零，但内力所做的功转化为弹片的动能。例：有一面为1/4凹圆柱面（半径R）的物体（质量M）放置在光滑水平面，一小球（质量m），从静止开始沿圆面从顶端无摩擦下落（如图），小球从水平方向飞离大物体时速度v，求：1）重力所做的功；2）内力所做的功。RMm解：重力只对小球做功0mvMV水平方向无外力，系统保持水平方向动量守恒。cosWmgsmgh重力WmgR重力smgh对m，内力所做的功221122WWMVmv重力累力212mvmgR对M，内力所做的功222122mvMVM*本例中实际内力对两个物体分别所做功互相抵消。1.保守力功的大小只