2.3.2--离散型随机变量的方差

有A，B两种不同品牌的手表，它们的“日走时误差”分别为X，Y（单位：s），X，Y的分布列如下：01.03100.03101.03150.03100.03150.031X～Y～(1)分别计算X，Y的均值，并进行比较；(2)这两个随机变量的分布有什么不同，如何刻画这种不同？分析理解根据X，Y的分布列计算可以得到EX=EY=0，也就是说这两种表的平均日走时误差都是0.因此仅仅根据平均误差，不能判断出哪一种品牌的表更好.但进一步观察，我们可以发现A品牌的表的误差只有±0.01s，而B品牌的表的误差为±0.05s，A品牌的表要好一些.除了均值外，还有其他刻画随机变量特点的指标吗？2.3.2离散型随机变量的方差1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.（重点）2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．（重点）3.掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差.（难点）一、学习目标：1min二、自学指导：(8min)从P64～P66例4以上部分1.离散型随机变量的方差的定义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值与方差.2.掌握两点分布、二项分布的方差特点和计算公式3.离散型随机变量的方差的性质D（Y）＝a2D（X），4.会利用离散型随机变量的方差反映离散型随机变量偏离均值的平均水平，解决一些相关的实际问题三、自学检测：6minP68练习1，21.直接用公式：E(X)=22.直接用公式：D（X）=[c-E(X)]2×1=0＝1.2301.25XDX21()[()]niiiDxxEXp探究点1离散型随机变量的方差的概念0.100.270.310.200.090.03P1098765X1问题一：统计甲、乙两名射手以往的成绩，得其击中目标靶的环数X1，X2的分布列分别如下：0.330.410.200.050.01P98765X2如果仅从平均射击成绩比较，能否区分甲、乙两人的射击水平？E(X1)＝E(X2)＝8，不能区分.问题二：考察X1和X2的分布列图，甲、乙两人的射击水平有何差异？乙的射击成绩更集中于8环，相对较稳定.5678910X1P0.10.20.3O56789X2P0.10.20.30.4O问题三：从分布列图象观察随机变量相对于均值的偏离程度，只是一种直观的定性分析，有时难以区分，理论上需要有一个定量指标来反映.类似样本方差，能否用一个与样本方差类似的量来刻画随机变量的稳定性？一般地，若离散型随机变量X的分布列为pn…pi…p2p1Pxn…xi…x2x1X称DXX为随机变量X的标准差.2221122()[()][()][()]nnDXxEXpxEXpxEXp为随机变量X的方差.n个积之和21[()]niiiDXxEXpΣ简记为：已知X的分布列为则D(X)等于()A.0.7B.0.61C.-0.3D.0X-101P0.50.30.2【即时训练】【解】E(X)=－1×0.5＋0×0.3＋1×0.2=－0.3,D(X)=(－1＋0.3)2×0.5＋(0＋0.3)2×0.3＋0.2×(1＋0.3)2=0.61.B想一想：你能类比样本数据方差的计算公式，理解离散型随机变量方差的计算公式吗？提示设x1、x2、…、xn为样本的n个数据，x－＝x1＋…＋xnn，则该样本数据的方差s2＝i＝1n(xi－x－)2·1n，由于x－相当于离散型随机变量中的E(X)，而1n相当于每个数据出现的频率(概率)pi，故离散型随机变量X的方差可定义为：D(X)＝i＝1n(xi－E(X))2·pi(i＝1，2，…，n)．问题四：方差或标准差的大小变化，对随机变量X偏离于均值E(X)的平均程度产生什么影响？方差或标准差越小(大)，表示随机变量偏离于均值的平均程度越小(大).问题五：随机变量的方差与样本数据的方差有何联系和区别？联系：都是反映离散程度和稳定性的定量指标.区别：随机变量的方差是常数，样本的方差是随机变量，随着样本容量的增加，样本方差愈接近总体方差.问题一：若随机变量X服从两点分布B(1，p)，则D(X)等于什么？∵E(X)＝p.∴D(X)＝p(1－p)＝(1－p)E(X).探究点2特殊分布列的方差及离散型随机变量的方差的性质D(X)＝[0-E(x)]2(1－p)+[1-E(x)]2p＝p2(1－p)+[1-p]2p＝p(1－p)[p+(1-p)]＝p(1－p)∵E(X)＝2p.∴D(X)＝2p(1－p)＝(1－p)E(X).探究点2特殊分布列的方差及离散型随机变量的方差的性质D(X)＝[0-E(x)]2q2+[1-E(x)]22pq,+[2-E(x)]2p2＝4p2q2+(1-2p)22pq+(2-2p)2p2＝4p2q2+(1-2p)22pq+4(1-p)2p2＝2pq[2pq+(1-2p)2+2pq]＝2pq(4pq+1－4p+4p2)＝2pq＝2p(1-p)问题二：若随机变量X服从二项分布B(2，p)，则D(X)等于什么？X012p0022Cpq1112Cpq2202CpqX01…k…np……00nnCpq111nnCpqkknknCpq0nnnCpq问题三：据归纳推理，若随机变量X服从二项分布B(n，p)，则D(X)等于什么？∵E(X)＝np.D(X)＝np(1－p)＝(1－p)E(X).问题四：若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则D(Y)与D(X)有什么关系？由此可得什么结论？问题四：若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则D(Y)与D(X)有什么关系？由此可得什么结论？D(aX＋b)＝a2D(X).D(Y)＝a2D(X),归纳：一、离散型随机变量方差定义1.两点分布B(1，p)，则D(X)=(1-p)E(X)=(1-p)p2.二项分布X～B(n，p)，则D(X)=(1-p)E(X)=(1-p)np三、离散型随机变量方差的性质：若y=ax+b,则D(Y)=a2D(X)为随机变量X的方差，2221122()[()][()][()]nnDxxEXpxEXpxEXp21()[()](1,2,,)niiiDxxEXpin…二、特殊分布列的方差n个积之和n个积之和简记为：【解析】由m+2m=1得m=【即时训练】已知某离散型随机变量X服从的分布列如下表,则随机变量X的方差D(X)等于________.X01Pm2m1.312201333，222122201.33339()()29E(X)=所以D(X)=P66例4随机抛掷一枚质地均匀的骰子，求向上一面的点数X的均值、方差和标准差.解：抛掷骰子所得点数X的分布列为X123456P616161616161;5.3616615614613612611)(XE.71.1)(;92.261)5.36(61)5.35(61)5.34(61)5.33(61)5.32(61)5.31()(222222XDXD已知X的分布列为X－101P求：(1)E(X)，D(X)；(2)设Y＝2X＋3，求E(Y)，D(Y)．【变式练习】1111(1)()1012363EX解：2221111115()(1)(0)(1)3233369DX7(2)()2()33EYEX2220()()2()9DYaDXDX121316P67例5有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：获得相应职位的概率P10.10.20.30.41800160014001200甲单位不同职位月工资X1/元0.10.20.30.42200180014001000乙单位不同职位月工资X2/元获得相应职位的概率P2根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得1E(X)12000.414000.316000.218000.11400，22122D(X)(12001400)0.4(14001400)0.3(16001400)0.2(18001400)0.140000;2E(X)10000.414000.318000.222000.11400，22222D(X)(10001400)0.4(14001400)0.3(18001400)0.2(22001400)0.1160000.因为E(X1)=E(X2),D(X1)＜D(X2),所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散.这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位.期望(1)()EaXbaEXb期望反映了X取值的平均水平。方差意义则EX=np2(1)()DaXbaDX(3)若X~B（n,p）则DX=np(1－p)计算公式(3)若X~B（n,p）(2)若X服从两点分布，则DX=p(1-p)方差反映了X取值的稳定与波动，集中与离散程度(2)若X服从两点分布，则EX=p【提升总结】【综合应用】某一大学毕业生参加某一公司的笔试,共有5个问题需要解答,如该同学答对每个问题的概率均为,且每个问题的解答互不影响.(1)求该同学答对问题的个数ξ的期望与方差.(2)设答对一个题目得10分,否则扣1分,求该同学得分η的期望与方差.23【解题指南】解答该5个问题可以认为是5次独立重复试验,答对问题的个数ξ服从二项分布,求η的期望与方差可通过ξ与η的线性关系间接求出.【自主解答】(1)由题意知,解答这5个问题,答对的个数ξ服从二项分布,即ξ～B由二项分布的期望与方差的公式有E(ξ)=np=5×D(ξ)=np(1-p)=5×(2)因为该同学的得分为η,η=10ξ+(5-ξ)×(-1)=11ξ-5,所以得分η的期望为E(η)=E(11ξ-5)=11E(ξ)-5=11×-5=方差D(η)=D(11ξ-5)=112×D(ξ)=121×2(5)3，，21033＝，22101.339(－)＝953，101210.99＝103【规律总结】离散型随机变量方差的性质应用及运算的注意点(1)简化运算:当求随机变量ξ的期望与方差时,可首先分析ξ是否服从二项分布,如果服从,则用公式求解,可大大减少运算量.(2)性质应用:注意利用E(aξ+b)=aE(ξ)+b及D(aξ+b)=a2D(ξ)求期望与方差.1．给出下列四个命题：①离散型随机变量ξ的均值E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值；②离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平；③离散型随机变量ξ的均值E(ξ)反映了ξ取值的平均水平；④离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值偏离于均值的平均程度．则正确命题应该是()A．①④B．②③C．①②D．③④D2.(2017·浙江高考)已知随机变量ξi满足P(ξi=1)=pi,P(ξi=0)=1-pi,i=1,2.若0p1p212,则()A.E(ξ1)E(ξ2),D(ξ1)D(ξ2)B.E(ξ1)E(ξ2),D(ξ1)D(ξ2)C.E(ξ1)E(ξ2),D(ξ1)D(ξ2)D.E(ξ1)E(ξ2),D(ξ1)D(ξ2)Aξ(,),【解析】根据已知得服从两点分布i=12i由两点分布的均值和方差知E(ξi)=pi,D()ξi=pi(1-pi),因为0p1p212,所以E()ξ1=p1p2=E(ξ2),D(ξ1)-D(ξ2)=p1-21p-()p2-=(p1-p2)()[1],已知p1p2,p1+p21,所以D(ξ1)-D(ξ2)0,即D(ξ1)D(ξ2)22p-12pp3.(2017·全国卷Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件数,则DX=.【解析】X～B(100,0.02),所以DX=np(1-p)=100×0.02×0.98=1.96.1