一阶系统的时域分析

自动控制原理第三章线性系统时域分析法•3-1系统时间响应的性能指标•3-2一阶系统的时域分析•3-3二阶系统的时域分析•3-4高阶系统的时域分析•3-5线性系统的稳定性分析•3-6线性系统的稳态误差设计3-2一阶系统的时域分析•1.一阶系统的数学模型•2.一阶系统的单位阶跃响应•3.一阶系统的单位脉冲响应•4.一阶系统的单位斜坡响应•5.一阶系统的单位加速度响应(1)、通过对一阶系统的分析，掌握如何应用时域指标的概念来计算上述五个动态指标。(2)、通过一阶系统在三个典型信号（阶跃、斜坡、加速度）的响应，引出系统对信号的跟踪概念（稳态误差）重点分析阶跃、斜坡信号作用于一阶系统时的响应、误差表达式、稳态误差。1、一阶系统的数学模型i(t)RCr(t)c(t))()()(0)0()()()()()(trtcdttdcT　cdttdcCtitrtctRi　　　　　　　　　　　　　　　　　列方程：图3-2一阶控制系统如RC电路C(t)为输出电压，r(t)为输入电压，C(0)=0一阶系统：以一阶微分方程作为运动方程的控制系统。其中，T＝RC为时间常数；取拉氏变换)()()(sRsCsTsC(3-2))(1)()()()()()(:sICssCsCsCsIRsCsRsI　　或画方框图则一阶系统的传递函数为：)()()(sRsCsTsC11)()()(TssRsCs(3-3)R1Cs1R(s)C(s)I(s)-i(t)RCr(t)c(t)(a)(b)2、一阶系统的单位阶跃响应设输入信号为单位阶跃输入于是单位阶跃响应h(t)为：h(t)=1－e-t/T，t≥011)(TssssRttr1)(),(1)()1(1111)()()(TssTsssRssHTssTsTs/11111(3-4)注意：R(s)的极点形成系统响应的稳态分量。传递函数的极点是产生系统响应的瞬态分量。这一个结论不仅适用于一阶线性定常系统，而且也适用于高阶线性定常系统。⑴可用时间常数T度量系统输出量的数值。当t=0，h(0)=0；当t→∞，h(∞)=1。如：当t=T，h(T)=0.632；t=2T，h(2T)=0.865t=3T，h(3T)=0.95图3-4指数响应曲线1063.2%86.5%95%98.2%99.3%T2T3T4T5T0.632tc(t)=1-ec(t)h(t)h(t)=1－e-t/T一阶系统的单位阶跃响应为非周期响应，具备如下两个重要特点：图3-3一阶系统的单位阶跃响应曲线一阶系统响应曲线在t=0时的斜率为1/T；其斜率随时间下降，当t＝∞时，动态过程结束，但工程上习惯取t=(3-5)T，认为过渡过程结束。∴T反映了系统的响应速度。图3-4指数响应曲线1063.2%86.5%95%98.2%99.3%T2T3T4T5T0.632tc(t)=1-ec(t)h(t)h(t)=1－e-t/TTeTethtTttTtt1)1()1()(0/0/0⑵一阶系统的响应曲线斜率t=0时，TeTthTtTtTt1368.0)1()(/t=T时，0)1()(/tTtTteTtht=∞时，根据动态指标定义，求一阶系统的动态性能指标a.求延迟时间td：因为h(∞)=1，由td的定义，当t=td时，h(td)=0.5代入一阶系统阶跃响应表达式，　；　　；　则　　　　2ln2,15.0TteedTtTtddTtTtdd69.0,2ln所以：b.求上升时间tr由上升时间的定义，分别求出h(t1)=0.1；h(t2)=0.9得：t1=0.1T；t2=2.3T所以：tr=t2－t1=2.2Tc.同理可求出ts=3T（误差范围：±5%）d.一阶系统没有超调，所以不需要求tp和σ%。讨论：动态指标与时间常数T有关，T越小，其响应过程越快，即惯性越小，一阶系统又称为“惯性系统”。图3-4指数响应曲线1063.2%86.5%95%98.2%99.3%T2T3T4T5T0.632tc(t)=1-ec(t)h(t)h(t)=1－e-t/T稳态性能指标:一阶惯性系统的单位阶跃响没有静态误差011)(1)()(limhthtretss3、一阶系统单位脉冲响应当输入为单位脉冲函r(t)=δ(t)，求其脉冲响应。)(11)(11)(sTSsRTSsK因为R(s)=1，则系统的输出为：)0(111)()(11teTTSLSLtkTt　　(3-5)图3-4一阶系统的单位脉冲响应曲线k(t)一阶系统的脉冲响应为一单调下降指数曲线，其衰减到初始值5%所需时间仍为ts=3T。故系统的惯性越小，响应过程的快速性越好。202011)(TeTdttdktTtt响应曲线的各处斜率为：21368.0)(TdttdkTt0)(tdttdk备注：在初始条件为零的情况下，一阶系统的单位脉冲响应与系统闭环传递函数包含了相同的动态信息。这一特点同样适用于其他各阶线性定常系统。因此，工程上常用测量系统的单位脉冲响应，来求出被测系统的传递函数。工程上无法得到理想单位脉冲函数，一般用具有一定脉宽b和有限幅度的矩形脉动函数来代替。一般要求b0.1T。)(11)(11)(sTSsRTSsK4、一阶系统的单位斜坡响应当输入为单位斜坡函数r(t)=t，tr(t)=tc(t)11)1(1)(11)(222TSTSTSTSSsRTSsC21)(ssR＝　　　0)()(1tTeTtsCLtcTt　　所以：单位斜坡响应为：讨论：(1).斜坡响应有二部分：稳态分量：t－T响应曲线比输入曲线延迟T瞬态分量：随时间的增加而减小。TtTe(3-6)TtTtTeTTeTtttctrte)()()(误差与时间常数T有关，惯性T越小，系统的速度跟踪误差越小，精度越高。(2).输出误差tr(t)=tc(t)当t=0时，e(0)=0；t→∞时，e(∞)=T一阶系统时域分析无零点的一阶系统Φ(s)=Ts+1k,T时间常数(画图时取k=1,T=0.5)单位脉冲响应k(t)=T1e-Ttk(0)=T1K’(0)=T12单位阶跃响应h(t)=1-e-t/Th’(0)=1/Th(T)=0.632h(∞)h(3T)=0.95h(∞)h(2T)=0.865h(∞)h(4T)=0.982h(∞)单位斜坡响应T?c(t)=t-T+Te-t/Tr(t)=δ(t)r(t)=1(t)r(t)=t问1、3个图各如何求T？2、调节时间ts=？3、r(t)=vt时，ess=？4、求导关系k(0)=T1K’(0)=T12tcdtdthdtdtkttdtdtdtdt22211）（小结:等价对应关系表明：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数；或者，系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分，而积分常数由零输出初始条件确定。此特征适用于任何阶线性定常系统。因此，研究线性定常系统的时间响应,只用一种典型输入信号进行研究即可。5、一阶系统单位加速度响应221)(ttr)0()1(21)(122teTTtttctT)1()()()(12tTeTTttctrte上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。31)(ssR11)(TSs3111)()()(sTSsRssC一阶系统暂态响应小结1.对于单位阶跃响应，当t→∞时，系统的稳态误差e(t)→0,说明一阶系统能跟踪单位阶跃输入。2.对于单位斜坡响应，当t→∞时，系统的稳态误差e(t)＝T，说明一阶系统在单位斜坡信号作用下，存在一个跟踪误差，而且T越小，误差越小。3.一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪，t→∞时，e(t)→∞。4.一阶系统的快速性和稳态误差都与T的大小有关系。谢谢